Examkin

Soru

Zorluk: ZorTekrarlı Permütasyon

Bir yayınevi deposunda, dağıtıma hazırlanan özdeş 4 adet Matematik, özdeş 3 adet Tarih ve özdeş 2 adet Coğrafya soru bankası tek bir raf üzerinde yan yana dizilecektir. Tarih kitaplarının tamamının bir arada olması, ancak Coğrafya kitaplarının birbirine temas etmemesi koşuluyla bu kitaplar kaç farklı şekilde dizilebilir?

  1. A
    30
  2. B
    45
  3. 75Cevap
  4. D
    105
  5. E
    150

Cevap

Kitaplar verilen koşullara göre 75 farklı şekilde dizilebilir.
Soruda iki temel kısıtlama vardır: Tarih kitaplarının ayrılmaması ve Coğrafya kitaplarının birleşmemesi. Önce Tarih kitapları (3 adet) tek bir paket (T) haline getirilir. Elimizde (T) paketi ve 4 adet Matematik (M) kitabı kalır. Coğrafya kitaplarını en son yerleştireceğimiz için kenara ayırırız. {T, M, M, M, M} kümesinin tekrarlı permütasyonu 5!4!1!=5\frac{5!}{4!1!} = 5 farklı şekilde sıralanır. Bu 5 nesne, aralarında ve uçlarında toplam 6 boşluk yaratır. Coğrafya kitaplarının yan yana gelmemesi için bu 6 boşluktan 2 tanesini seçip özdeş Coğrafya kitaplarını yerleştiririz: C(6,2)=15C(6,2) = 15. Çarpma kuralı gereği toplam dizilim 5×15=755 \times 15 = 75 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tarih kitaplarını bloklama
Tarih kitapları (T, T, T) bir arada olacağı için bunları tek bir nesne (X) gibi düşünelim. Elimizde yerleştirmemiz gereken diğer nesneler: 4 adet özdeş Matematik (M) kitabı.
'Bir arada olma' koşulu için bloklama yöntemi kullanılır.
2
Coğrafya kitapları hariç temel dizilimi hesaplama
Nesnelerimiz: {X, M, M, M, M}. Toplam 5 nesne var, 4'ü (M) özdeş. Permütasyon sayısı: 5!4!1!=5\frac{5!}{4!1!} = 5.
Ayraç (boşluk) yöntemini uygulamadan önce, ayrılacak nesneler dışındaki iskelet dizilim hesaplanır.
3
Coğrafya kitapları için boşlukları belirleme
5 nesnenin (X ve 4M) oluşturduğu dizilimde, Coğrafya kitaplarının gelebileceği toplam boşluk sayısı: _N_N_N_N_N_\_ N \_ N \_ N \_ N \_ N \_ şeklindedir. Toplam 6 adet uygun boşluk vardır.
n tane nesne yan yana dizildiğinde n+1 tane boşluk oluşur.
4
Coğrafya kitaplarını boşluklara yerleştirme
2 özdeş Coğrafya kitabını 6 boşluğa yerleştirmek için kombinasyon kullanılır: C(6,2)=6×52=15C(6, 2) = \frac{6 \times 5}{2} = 15.
Kitaplar özdeş olduğu için sadece yer seçimi yapılır (Kombinasyon), sıralama yapılmaz.
5
Sonucu hesaplama
Temel dizilim sayısı ile yerleşim sayısının çarpımı: 5×15=755 \times 15 = 75.
Saymanın çarpma kuralı gereği bağımsız aşamaların sonuçları çarpılır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon problemlerinde 'bir arada olma' koşulu için bloklama, 'yan yana gelmeme' koşulu için ise ayraç (boşluk) yöntemi birlikte kullanılır.
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru