Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTekrarlı Permütasyon

Bir kamu kurumunun bilgi işlem dairesinde, 3 adet A marka, 3 adet B marka ve 2 adet C marka olmak üzere toplam 8 adet sunucu tek bir sıra halinde rafa dizilecektir.

Dizilişin en başında A marka bir sunucunun bulunması ve C marka sunucuların yan yana gelmemesi koşuluyla bu sunucular kaç farklı şekilde sıralanabilir?

  1. A
    100
  2. B
    120
  3. 150Cevap
  4. D
    180
  5. E
    210

Cevap

Sunucular verilen koşullara uygun olarak 150 farklı şekilde sıralanabilir.
Soruda iki temel kısıt vardır: İlk elemanın sabitlenmesi ve belirli elemanların (C) yan yana gelmemesi. Önce koşulsuz elemanlar (2 tane A, 3 tane B) sıralanır. Bu 5 eleman 5!/(2!3!)=105!/(2!3!) = 10 farklı 'iskelet' oluşturur. C marka sunucular bu iskeletin oluşturduğu boşluklara yerleştirilmelidir. Başta sabit bir A olduğu için, sabit A ile iskeletin ilk elemanı arası da geçerli bir boşluktur. Böylece 5 elemanın oluşturduğu 6 potansiyel boşluk (A_sabit _ E1 _ E2 _ E3 _ E4 _ E5 _) vardır. Özdeş 2 adet C sunucusu bu 6 boşluğa C(6,2)=15C(6,2)=15 farklı şekilde yerleşir. Çarpma kuralı ile 10×15=15010 \times 15 = 150 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit koşulu uygula ve kalan elemanları belirle.
Dizilişin başında 1 adet A marka sunucu sabitlenir. Geriye kalan düzenlenecek elemanlar: 2 adet A, 3 adet B, 2 adet C.
Sıralama problemini basitleştirmek için sabit elemanı ayırıp kalan havuza odaklanmalıyız.
2
'Yan yana gelmeme' koşulu olmayan elemanların (iskelet) sıralanmasını hesapla.
C'ler hariç kalan elemanlar (2 adet A, 3 adet B) için tekrarlı permütasyon: 5!/(2!×3!)=120/12=105! / (2! \times 3!) = 120 / 12 = 10 farklı durum.
Önce kısıtlamasız elemanları yerleştirerek C sunucuları için boşluklar yaratırız.
3
C sunucularının yerleşebileceği uygun boşluk sayısını belirle.
Başta sabit bir A var. Sonra sıralanan 5 eleman (Örn: A B B A B) gelir. Boşluklar: Sabit A'dan sonraki boşluk dahil, elemanların arası ve sonu. Toplam boşluk sayısı = 5+1=65 + 1 = 6.
Başlangıçtaki sabit A ile dizilen ilk eleman arasına da C gelebilir. Toplam 6 uygun yer vardır.
4
C sunucularını boşluklara yerleştir ve toplam sonucu bul.
6 boşluktan 2'sini seçip C'leri yerleştirme: C(6,2)=15C(6, 2) = 15. Toplam durum: 10×15=15010 \times 15 = 150.
Çarpma kuralı gereği, iskelet dizilim sayısı ile boşluk seçim sayısını çarparız.

Anahtar Kavram

Ayraç Yöntemi ve Sabit Elemanlı Tekrarlı Permütasyon

İpuçları

1
Önce koşulsuz olanları (A ve B'leri) yerleştirip bir 'iskelet' oluşturun, sonra C'leri aralara serpiştirin.
2
En baştaki A sunucusu sabittir, onu dizilişe dahil etmeyin. Kalan 2 A ve 3 B'yi kaç farklı şekilde dizersiniz?
3
2 A ve 3 B sunucusu 10 farklı şekilde dizilir. Bu dizilim 6 boşluk yaratır (baştaki sabit A'nın hemen sağı dahil). C'ler bu 6 boşluktan 2'sine yerleşmelidir.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 'KARAKARTAL kelimesinin harfleriyle sessiz harflerin yan yana gelmediği kaç kelime yazılabilir?' sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Tüm Durum - İstenmeyen Durum Yöntemi: Başta A olan tüm durumlar (210210) hesaplanır. Bundan, C'lerin yan yana olduğu durumlar (CC tek paket kabul edilip hesaplanır: 6!/(2!3!1!)=606!/(2!3!1!) = 60) çıkarılır. 210−60=150210 - 60 = 150.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru