A ve B, E evrensel kümesinin boş kümeden farklı iki alt kümesidir. A' ve B', sırasıyla A v… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

$A$ ve $B$ , $E$ evrensel kümesinin boş kümeden farklı iki alt kümesidir. $A'$ ve $B'$ , sırasıyla $A$ ve $B$ kümelerinin tümleyenlerini göstermektedir.

Buna göre,

[(A \cup B') \setminus (A \cap B)] \cap A

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

$A \setminus B$ Cevap
B
$B'$
C
$A \cap B$
D
$B \setminus A$
E
$E$

Cevap

İfadenin en sade hali

A \setminus B

dir.

Verilen ifadede öncelikle fark işlemi kesişim ve tümleyen cinsinden yazılır (

X \setminus Y = X \cap Y'

). Ardından

(A \cap B)'

ifadesine De Morgan kuralı uygulanarak

A' \cup B'

elde edilir. İfade

[(A \cup B') \cap (A' \cup B')]

haline gelir. Burada

B'

ile birleşim işlemi ortak olduğu için dağılma özelliği tersten işletilerek

B' \cup (A \cap A')

elde edilir.

A \cap A' = \emptyset

olduğundan köşeli parantezin içi

B'

olur. Son olarak dışarıdaki

A

ile kesişim alındığında

B' \cap A

elde edilir ki bu da

A \setminus B

demektir.

Adım Adım Çözüm

Fark işlemi özelliğini (

X \setminus Y = X \cap Y'

) parantez içindeki ifadeye uygulayalım.

[(A \cup B') \cap (A \cap B)'] \cap A

Küme işlemlerinde fark işlemini kesişim ve tümleyen cinsinden yazmak sadeleştirmeyi kolaylaştırır.

De Morgan kuralını (

(A \cap B)' = A' \cup B'

) uygulayalım.

[(A \cup B') \cap (A' \cup B')] \cap A

Tümleyen işlemini parantez içine dağıtarak ortak terimleri görmeyi sağlarız.

Ortak olan

B'

terimini dağılma özelliği ile parantez dışına alalım.

[B' \cup (A \cap A')] \cap A

Her iki parantezde de

B'

birleşim işlemi ortaktır (

X \cup Y

Z \cup Y

yapısı).

Bir küme ile tümleyeninin kesişiminin boş küme (

A \cap A' = \emptyset

) olduğunu kullanalım.

[B' \cup \emptyset] \cap A = B' \cap A

Boş küme ile birleşme işlemi etkisizdir.

Elde edilen ifadeyi fark işlemi tanımına geri çevirelim.

A \cap B' = A \setminus B

Sonuç şıklarda genellikle fark işlemi formatında verilir.

Anahtar Kavram

Kümelerde İşlemler ve De Morgan Kuralları

İpuçları

Fark işlemini (

X \setminus Y

), kesişim ve tümleyen kullanarak

X \cap Y'

şeklinde yazarak başlayın.

İkinci kısımdaki

(A \cap B)'

ifadesi için De Morgan kuralını uygulayın ve her iki tarafta ortak olan terimi (

B'

) parantez dışına almaya çalışın.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek bölgelere numara verilebilir.

A \setminus B

(bölge 1),

A \cap B

(bölge 2),

B \setminus A

(bölge 3) ve dışarıdaki bölge 4 olsun. Sorudaki her bir adımı bu bölgeler üzerinden takip ederek (Örn:

A \cup B' = \{1, 2, 4\}

) sonucu bulabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru