Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTekrarlı Permütasyon

Bir kamu kurumunun arşiv biriminde, dosyaları numaralandırmak için özel bir etiketleme sistemi kullanılmaktadır. Her bir dosya numarası için elimizde şu rakam etiketleri bulunmaktadır:

{0,0,1,1,2,2,3} \{ 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3 \}

Bu etiketlerin tamamı kullanılarak oluşturulabilecek 7 basamaklı ve çift kaç farklı doğal sayı (dosya numarası) yazılabilir?

  1. A
    240
  2. 270Cevap
  3. C
    300
  4. D
    360
  5. E
    450

Cevap

Doğru cevap 270'tir.
Verilen kümede {0,0,1,1,2,2,3} rakamları vardır. Sayının çift olması için birler basamağı 0 veya 2 olmalıdır. Bu iki durum, kalan rakam havuzundaki 0 sayısını değiştirdiği için ayrı ayrı incelenmelidir. Birler basamağı 0 olduğunda hesaplanan 150 ihtimal ile birler basamağı 2 olduğunda hesaplanan 120 ihtimal toplanarak 270 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Problemin kısıtlarını analiz et
Rakamlar: {0,0,1,1,2,2,3}. Toplam 7 rakam. Sayı 7 basamaklı olmalı (Başa 0 gelemez). Sayı çift olmalı (Son basamak 0 veya 2 olmalı).
Permütasyon hesabını doğru kurgulamak için durumları belirlememiz gerekir.
2
1. Durum: Sayının son basamağının 0 olduğu durumları hesapla
Son basamak 0 ise geriye {0,1,1,2,2,3} kalır. Toplam dizilim: 6!/(2!2!) = 180. Başa 0 gelenler (İstenmeyen): 0 başta, 0 sonda ise geriye {1,1,2,2,3} kalır: 5!/(2!2!) = 30. Geçerli durum: 180 - 30 = 150.
Tekrarlı permütasyon formülü ve başa 0 gelmeme kuralı uygulanır.
3
2. Durum: Sayının son basamağının 2 olduğu durumları hesapla
Son basamak 2 ise geriye {0,0,1,1,2,3} kalır. Toplam dizilim: 6!/(2!2!) = 180. Başa 0 gelenler (İstenmeyen): 0 başta, 2 sonda ise geriye {0,1,1,2,3} kalır: 5!/(2!) = 60. Geçerli durum: 180 - 60 = 120.
Burada havuzda iki adet 0 kaldığı için başa gelme olasılığı daha yüksektir, bu yüzden sonuç 1. duruma göre daha az çıkar.
4
Toplam geçerli sayı adedini bul
1. Durum (150) + 2. Durum (120) = 270.
Ayrık durumlar toplanır.

Anahtar Kavram

Bu soru, tekrarlı permütasyon konusundaki 'sıfırın başa gelememesi' kuralı ile 'çift sayı olma' kuralının, eldeki rakamların adetlerine göre asimetrik sonuçlar doğurduğu durumları analiz etmeyi gerektirir.

İpuçları

1
Sayının çift olabilmesi için son basamağına {0, 2} rakamlarından biri gelmelidir. Bu iki durumu ayrı ayrı inceleyiniz.
2
Son basamağa 0 koyduğunuzda elinizde kalan rakamlar ile, son basamağa 2 koyduğunuzda elinizde kalan rakamlar birbirinden farklıdır (özellikle kalan 0 sayısı açısından).
3
Sona 0 geldiğinde kalan küme {0,1,1,2,2,3}'tür. Sona 2 geldiğinde kalan küme {0,0,1,1,2,3}'tür. Her iki durumda da başa 0 gelen dizilimleri toplam permütasyondan çıkarmayı unutmayınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı pekiştirmek için: {0,0,1,2,3,4,5} rakamları ile 7 basamaklı ve 5 ile bölünebilen kaç sayı yazılabileceği sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Tüm dizilimlerden (tekler dahil) istenmeyen durumları çıkarmak yerine, doğrudan istenen durumları inşa etmek (yapıcı metot) burada daha güvenlidir çünkü 'çift sayı' kısıtı çok belirleyicidir.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru