Examkin

Soru

Zorluk: ZorMutlak Değer
xx ve yy gerçel sayılar olmak üzere,
∣x−2∣<3|x - 2| < 3
∣3y+1∣≤7|3y + 1| \le 7
eşitsizlikleri veriliyor.

Buna göre, 2x−3y2x - 3y ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

  1. A
    21
  2. B
    24
  3. 25Cevap
  4. D
    26
  5. E
    27

Cevap

İfadenin alabileceği 25 farklı tam sayı değeri vardır.
Doğru cevap 25'tir. Soruda değişkenlerin 'gerçel sayı' olduğu belirtildiği için işlemler aralık (eşitsizlik) mantığıyla yapılmalıdır. xx ve yy için ayrı ayrı aralıklar bulunduktan sonra, hedef ifade (2x−3y2x-3y) için uygun aralıklar taraf tarafa toplanır. Sonuç aralığı (−8,18)(-8, 18) bulunur ve bu aralıktaki tam sayılar sayılarak sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
xx değişkeninin aralığını bulmak için mutlak değer eşitsizliğini çözme
−3<x−2<3  ⟹  −1<x<5-3 < x - 2 < 3 \implies -1 < x < 5
Mutlak değer eşitsizliği ∣u∣<a|u| < a ise −a<u<a-a < u < a şeklinde açılır.
2
2x2x ifadesinin aralığını elde etme
Eşitsizliği 2 ile çarparız: −2<2x<10-2 < 2x < 10
Hedef ifadeyi oluşturmak için xx aralığını katsayı ile genişletmemiz gerekir.
3
yy değişkeninin aralığını bulmak için ikinci eşitsizliği çözme
−7≤3y+1≤7  ⟹  −8≤3y≤6-7 \le 3y + 1 \le 7 \implies -8 \le 3y \le 6
Eşitsizliğin her tarafından 1 çıkarılarak 3y3y yalnız bırakılır.
4
−3y-3y ifadesinin aralığını elde etme
Eşitsizliği -1 ile çarparız (yön değiştirir): −6≤−3y≤8-6 \le -3y \le 8
Negatif sayı ile çarpma işleminde eşitsizlik yön değiştirir veya sınırlar yer değiştirir.
5
2x−3y2x - 3y ifadesinin çözüm aralığını bulmak için taraf tarafa toplama
Alt sınır: −2+(−6)=−8-2 + (-6) = -8
Üst sınır: 10+8=1810 + 8 = 18
Eşitsizlik türü: Biri açık, biri kapalı ise sonuç açık olur.
Sonuç: −8<2x−3y<18-8 < 2x - 3y < 18
Eşitsizliklerde taraf tarafa toplama yapılırken, en az bir sınır 'açık' (<<) ise toplamın sınırı da 'açık' olur.
6
Aralıktaki tam sayı adedini hesaplama
Değerler: {−7,−6,…,17}\{-7, -6, \dots, 17\}
Adet = (Son Terim - İlk Terim) + 1 = 17−(−7)+1=2517 - (-7) + 1 = 25
Açık aralık (−8,18)(-8, 18) arasındaki en küçük tam sayı -7, en büyük tam sayı 17'dir.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Eşitsizlikler ve Reel Sayı Aralıkları

İpuçları

1
Soruda 'gerçel sayılar' ifadesi geçtiği için, xx ve yy'ye doğrudan sayı değeri vermeyin. Eşitsizlik aralıklarını genişletmeniz gerekir.
2
∣x−2∣<3|x-2| < 3 ifadesini −3<x−2<3-3 < x-2 < 3 olarak açın ve 2x2x ifadesinin aralığını bulun. Benzer işlemi yy için de yapın.
3
−3y-3y ifadesini oluştururken eşitsizliği negatif sayıyla çarptığınız için yön değiştirmeyi veya sınırları yer değiştirmeyi unutmayın. Sonra taraf tarafa toplayın.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değer

Bu konudan daha fazla soru