Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAralarında Asal Sayılar
AA ve BB aralarında asal pozitif tam sayılar olmak üzere,
OKEK(A,B)=300OKEK(A, B) = 300

ve A>BA > B koşulları sağlanmaktadır.

Buna göre, AA sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?

  1. A
    2
  2. B
    3
  3. 4Cevap
  4. D
    6
  5. E
    8

Cevap

4 farklı değer alabilir.
A ve B aralarında asal olduğundan çarpımları OKEK olan 300'e eşittir. 300 sayısı 22⋅31⋅522^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 şeklinde asal çarpanlarına ayrılır. A ve B'nin ortak böleni olmaması için, her bir asal çarpanın tüm kuvveti (blok olarak) ya A'da ya da B'de bulunmalıdır. Yani elimizde dağıtılacak 3 bağımsız blok ({4}, {3}, {25}) vardır. Bu 3 blok ile 23=82^3 = 8 farklı (A, B) sıralı ikilisi oluşturulabilir. Simetri gereği bu ikililerin yarısında A > B, diğer yarısında B > A'dır. Dolayısıyla A > B koşulunu sağlayan 4 farklı durum vardır: (300, 1), (100, 3), (75, 4) ve (25, 12).

Adım Adım Çözüm

1
OKEK ve aralarında asallık ilişkisini kullanın.
A ve B aralarında asal ise OKEK(A, B) = A · B = 300 olur.
Aralarında asal sayıların en küçük ortak katı, bu sayıların çarpımına eşittir.
2
300 sayısını asal çarpanlarına ayırın.
300 = 2² · 3¹ · 5² = 4 · 3 · 25
Çarpanların aralarında asal olabilmesi için aynı asal sayının tüm kuvvetleri (blok halinde) tek bir sayıda bulunmalıdır.
3
Asal çarpan gruplarını (blokları) belirleyin.
Gruplar: {4}, {3}, {25}. Bu üç grup bölünmeden A veya B sayılarına dağıtılmalıdır.
Örneğin 2² ifadesini 2 ve 2 diye ayıramayız, çünkü o zaman A ve B'nin her ikisi de 2'ye bölünür ve aralarında asal olmazlar.
4
Olası (A, B) ikililerini oluşturun ve A > B şartını kontrol edin.
Toplam 2³ = 8 durum vardır. A > B olanlar: (300, 1), (100, 3), (75, 4), (25, 12).
Simetriden dolayı 8 durumun yarısında A > B, diğer yarısında B > A olacaktır.

Anahtar Kavram

Aralarında asal sayıların çarpımı OKEK'lerine eşittir ve asal çarpanlar sayılara paylaştırılırken aynı tabana sahip üslü ifadeler parçalanamaz.

İpuçları

1
Aralarında asal iki sayının OKEK'i, bu sayıların çarpımına eşittir.
2
300'ü asal çarpanlarına ayırın: 22⋅3⋅522^2 \cdot 3 \cdot 5^2. Aralarında asallık bozulmasın diye 222^2, 33 ve 525^2 bloklarını parçalamadan A veya B'ye dağıtmalısınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, çarpımları sabit bir sayı olan aralarında asal sayıların toplamının en küçük değeri sorulabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Aralarında Asal Sayılar

Bu konudan daha fazla soru