Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAralarında Asal Sayılar
aa ve bb aralarında asal, iki basamaklı iki doğal sayıdır.
a+b=40a + b = 40
olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
  1. 399Cevap
  2. B
    400
  3. C
    391
  4. D
    375
  5. E
    351

Cevap

Çarpımın alabileceği en büyük değer 399'dur.
Toplamları 40 olan iki sayının çarpımının en büyük olması için sayılar birbirine en yakın seçilmelidir. Birbirine en yakın olan (20, 20) çifti aralarında asal olmadığından, bir sonraki en yakın çift olan (19, 21) seçilir. Bu sayılar hem iki basamaklıdır hem de EBOB(19,21)=1EBOB(19, 21)=1 şartını sağladığı için çarpımları olan 399 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Aralarında asal sayıların tanımını hatırla.
EBOB(a,b)=1EBOB(a, b) = 1
İki sayının aralarında asal olması, 1'den başka ortak bölenleri olmaması anlamına gelir.
2
Toplamları sabit olan sayıların çarpımının en büyük değerini bulma kuralını uygula.
Sayılar birbirine en yakın (mümkünse eşit) seçilmelidir.
Sayılar arasındaki fark azaldıkça çarpım artar.
3
a+b=40a+b=40 şartını sağlayan en yakın çiftleri aralarında asallık durumuna göre kontrol et.
20-20 (EBOB=20, olmaz), 19-21 (EBOB=1, olur).
20 ve 20 sayıları aralarında asal değildir. Bir sonraki en yakın çift olan 19 ve 21'in ortak böleni yoktur.
4
En yakın aralarında asal çiftin çarpımını hesapla.
19×21=39919 \times 21 = 399
Şartları sağlayan ve birbirine en yakın olan sayılar 19 ve 21'dir.

Anahtar Kavram

Toplamları verilen iki sayının çarpımının en büyük olması için sayılar birbirine en yakın seçilmeli ve aralarında asal olma şartı (EBOB=1) kontrol edilmelidir.

İpuçları

1
Çarpımın en büyük olması için sayıları birbirine mümkün olduğunca yakın seçmeye çalışın.
2
Seçtiğiniz iki basamaklı sayıların ortak böleni olup olmadığını (özellikle 2, 3, 5 gibi küçük asal sayılara bölünüp bölünmediklerini) kontrol edin.
3
Sayılar arasındaki fark 0 (20-20) olduğunda aralarında asallık bozulur. Farkı 2 yaparak (19-21) kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'toplamları 30 olan ve aralarında asal olan kaç farklı (a, b) doğal sayı çifti vardır?' şeklinde çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Toplamları çift (40) olan iki sayının aralarında asal olması için her iki sayının da tek sayı olması gerektiğini fark edebilirsiniz. Çünkü her ikisi çift olsaydı en azından 2'ye bölünürlerdi. 20'ye en yakın tek sayı çiftleri olan (19, 21) ve (17, 23) denenerek hızlıca sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 15s
Bu soruyu puanla

Konular

Aralarında Asal Sayılar

Bu konudan daha fazla soru