Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasit Eşitsizlikler

xx bir gerçel sayı olmak üzere, −2<x<5-2 < x < 5 eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, x2−6x+5x^2 - 6x + 5 ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    8
  2. 16Cevap
  3. C
    21
  4. D
    24
  5. E
    29

Cevap

İfadenin alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı 16'dır.
Verilen x2−6x+5x^2 - 6x + 5 ifadesi parabolik bir ifadedir ve tepe noktası x=3x=3 apsisindedir. Verilen −2<x<5-2 < x < 5 aralığı bu tepe noktasını kapsadığı için, ifadenin alabileceği en küçük değer tepe noktasında oluşur. Tam kareye tamamlama yöntemiyle (x−3)2−4(x-3)^2 - 4 elde edilir. Aralık (−5,2)(-5, 2)'ye dönüşür ve karesi alındığında [0,25)[0, 25) aralığı bulunur. Sonuçta ifade [−4,21)[-4, 21) aralığındadır. Buradan en küçük tam sayı -4, en büyük tam sayı 20 bulunur ve toplamları 16 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi tam kareye tamamlama yöntemiyle düzenle.
x2−6x+5=(x−3)2−9+5=(x−3)2−4x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4
İkinci dereceden ifadenin aralığını bulmak için tam kare formu, değişkenin tek bir yerde olmasını sağlar ve hata yapmayı engeller.
2
xx için verilen aralığı (x−3)(x-3) ifadesine dönüştür.
−2<x<5-2 < x < 5 eşitsizliğinin her yanından 3 çıkarılırsa: −5<x−3<2-5 < x-3 < 2 elde edilir.
Tam kare içindeki ifadenin aralığını belirlemek gereklidir.
3
(x−3)2(x-3)^2 ifadesinin aralığını bul.
−5<x−3<2-5 < x-3 < 2 aralığı 0'ı içerdiğinden, karenin en küçük değeri 0'dır. En büyük değer ise sınırların karelerinin büyüğü olan (−5)2=25(-5)^2 = 25'tir (dahil değil). Yani: 0≤(x−3)2<250 \le (x-3)^2 < 25.
Bir aralık negatiften pozitife geçiyorsa, karesinin alt sınırı daima 0 olur. Bu, sorunun en kritik noktasıdır.
4
Elde edilen eşitsizlikten 4 çıkararak sonuç aralığını bul.
0−4≤(x−3)2−4<25−4  ⟹  −4≤x2−6x+5<210 - 4 \le (x-3)^2 - 4 < 25 - 4 \implies -4 \le x^2 - 6x + 5 < 21.
İfadenin orijinal haline ulaşmak için son işlem yapılır.
5
Tam sayı değerlerini belirle ve topla.
En küçük tam sayı değeri: −4-4 (eşitlik var). En büyük tam sayı değeri: 2020 (21'den küçük). Toplam: 20+(−4)=1620 + (-4) = 16.
Soruda istenen değerler tespit edilir.

Anahtar Kavram

Bir eşitsizlik aralığının karesi alınırken, eğer aralık negatif ve pozitif sayıları içeriyorsa (örneğin −a<x<b-a < x < b), karenin alt sınırı daima 0 olur (0≤x20 \le x^2).

İpuçları

1
İkinci dereceden bir ifadenin alabileceği değerleri bulurken, ifadeyi (x−a)2+b(x-a)^2 + b şeklinde tam kareye tamamlamak işinizi kolaylaştırır.
2
x2−6x+5x^2 - 6x + 5 ifadesini (x−3)2−4(x-3)^2 - 4 olarak yazın. Şimdi −2<x<5-2 < x < 5 eşitsizliğini kullanarak (x−3)(x-3)'ün aralığını bulun.
3
−5<x−3<2-5 < x-3 < 2 aralığının karesini alırken dikkat edin! Aralık negatiften pozitife geçtiği için (0'ı içerdiği için), karenin en küçük değeri daima 0 olur.

Alternatif Yöntem

Türev veya Parabol Bilgisi ile: f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5 fonksiyonunun tepe noktası r=−b/2a=6/2=3r = -b/2a = 6/2 = 3'tür. x=3x=3 değeri verilen (−2,5)(-2, 5) aralığında olduğu için minimum değer f(3)=9−18+5=−4f(3) = 9 - 18 + 5 = -4'tür. Maksimum değer için sınırlara bakılır: f(−2)=21f(-2) = 21 ve f(5)=0f(5) = 0. Değer kümesi [−4,21)[-4, 21) olur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru