Bir sporcu, 8 basamaklı bir merdiveni her bir adımda 1 basamak veya 2 basamak çıkarak tırm… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Bir sporcu, $8$ basamaklı bir merdiveni her bir adımda $1$ basamak veya $2$ basamak çıkarak tırmanmaktadır. Buna göre bu sporcu, merdivenin en üstüne toplam $6$ adım atarak kaç farklı şekilde çıkabilir?

A
$12$
$15$ Cevap
C
$21$
D
$28$
E
$30$

Cevap

Sporcu merdiveni 15 farklı şekilde çıkabilir.

Toplamda 8 basamağı 6 adımda çıkabilmek için sporcunun 2 adet '2 basamaklı' ve 4 adet '1 basamaklı' adım atması gerekir (2+2+1+1+1+1=8). Bu adımların kendi içindeki farklı dizilişleri, tekrarlı permütasyon formülü olan

\frac{6!}{2! \times 4!}

ile hesaplanır ve sonuç 15 bulunur.

Adım Adım Çözüm

Atılan adım türlerinin sayılarını belirlemek için değişkenler tanımlanır.

x

2

basamaklı adım sayısı,

y

1

basamaklı adım sayısı olsun.

Toplam adım ve toplam basamak sayılarını veren bir denklem sistemi kurmak için gereklidir.

Verilen bilgilere göre denklem sistemi kurulur ve çözülür.

x + y = 6

(Toplam adım) ve

2x + y = 8

(Toplam basamak). Bu sistem çözüldüğünde

x = 2

y = 4

bulunur.

Sporcunun kaç adet 1'lik ve kaç adet 2'lik adım attığını belirlemek için.

Belirlenen adım türlerinin sıralama sayısını bulmak için tekrarlı permütasyon formülü uygulanır.

\{2, 2, 1, 1, 1, 1\}

kümesinin sıralanış sayısı:

\frac{6!}{2! \times 4!} = \frac{720}{2 \times 24} = 15

Adımların hangi sırada atıldığı her bir farklı çıkış yolunu temsil eder.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon

İpuçları

Sporcunun kaç adet 1 basamaklı, kaç adet 2 basamaklı adım attığını bularak işe başlayın.

Toplam adım sayısı 6 ve toplam basamak sayısı 8 ise; iki bilinmeyenli bir denklem kurabilirsiniz.

İki adet 2'lik ve dört adet 1'lik adımın sıralanışı için tekrarlı permütasyon formülünü (

\frac{n!}{n_1! \times n_2!}

) kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, adım sayısı kısıtlaması olmadan tüm olasılıkları soran (Fibonacci dizisi mantığı) bir soruyla karşılaştırarak çözün.

Alternatif Yöntem

Olası durumları listeleyerek de kontrol edebilirsiniz: (2,2,1,1,1,1) dizilişinde 2'lerin yerlerini seçmek C(6,2) = 15 farklı durum verir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru