Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTekrarlı Permütasyon

Bir belediyenin çevre düzenleme birimi, bir parkın yürüyüş yolu kenarına 88 adet aydınlatma direği dikecektir. Bu direklerin 33 tanesi beyaz, 33 tanesi yeşil ve 22 tanesi kırmızı renktedir. Aynı renkli direkler kendi aralarında özdeştir.

Buna göre, kırmızı renkli direklerin yan yana gelmediği kaç farklı dizilim yapılabilir?

  1. A
    140
  2. B
    280
  3. 420Cevap
  4. D
    560
  5. E
    1120

Cevap

Kırmızı direklerin yan yana gelmediği toplam dizilim sayısı 420'dir.
Doğru çözüm için önce tüm dizilimler (560560) hesaplanır, ardından kırmızı direklerin tek bir blok olarak kabul edildiği yan yana olma durumları (140140) bu sayıdan çıkarılır. Sonuç olan 420420 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası dizilimlerin sayısını hesaplayın.
8!3!×3!×2!=403206×6×2=560 \frac{8!}{3! \times 3! \times 2!} = \frac{40320}{6 \times 6 \times 2} = 560
Toplam 8 nesnenin 3'ü beyaz, 3'ü yeşil ve 2'si kırmızı olduğundan tekrarlı permütasyon formülü kullanılır.
2
Kırmızı direklerin yan yana olduğu durumları hesaplayın.
7!3!×3!=504036=140 \frac{7!}{3! \times 3!} = \frac{5040}{36} = 140
İki kırmızı direk tek bir nesne gibi düşünülürse toplam nesne sayısı 7 olur (1 kırmızı paket + 3 beyaz + 3 yeşil).
3
Kırmızıların yan yana gelmediği durum sayısını bulun.
560−140=420 560 - 140 = 420
İstenen durum sayısı, tüm durumlardan istenmeyen (yan yana olma) durumların çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon ve Tüm Durumlar - İstenmeyen Durum Mantığı

İpuçları

1
Bu tür sorularda 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' mantığını kullanmak çözümü kolaylaştırır.
2
Tüm durumlar 8!3!3!2!\frac{8!}{3!3!2!} ile hesaplanırken, kırmızıların yan yana olduğu durumlar iki kırmızıyı tek bir nesne sayarak 7!3!3!\frac{7!}{3!3!} ile hesaplanır.
3
Alternatif olarak 'Boşluk Yöntemi'ni deneyebilirsiniz: Önce beyaz ve yeşil direkleri dizin, ardından oluşan boşluklara kırmızıları yerleştirin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, bir kelimenin harfleri arasında belirli harflerin yan yana gelmemesi şartıyla çözerek pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Boşluk Yöntemi: Önce 3 Beyaz ve 3 Yeşil direk 6!3!3!=20\frac{6!}{3!3!} = 20 farklı şekilde dizilir. Bu 6 direğin arasında ve uçlarında toplam 7 boşluk oluşur. 2 kırmızı direk bu 7 boşluğa (72)=21\binom{7}{2} = 21 farklı şekilde yerleştirilebilir. Sonuç: 20×21=42020 \times 21 = 420.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru