Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKümeler

Tam sayılar kümesi üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z∣40<x<340, x=4k, k∈Z}A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid 40 < x < 340, \: x = 4k, \: k \in \mathbb{Z} \}
B={x∈Z∣40<x<340, x=6m+4, m∈Z}B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid 40 < x < 340, \: x = 6m + 4, \: m \in \mathbb{Z} \}

Buna göre, A∖BA \setminus B fark kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    48
  2. B
    49
  3. 50Cevap
  4. D
    51
  5. E
    52

Cevap

A \setminus B kümesinin eleman sayısı 50'dir.
Doğru cevap 50'dir çünkü s(A)=74s(A)=74 ve s(A∩B)=24s(A \cap B)=24 olarak hesaplanır. s(A∖B)=74−24=50s(A \setminus B) = 74 - 24 = 50 sonucuna ulaşılır. Kesişim kümesi belirlenirken x=4kx = 4k ve x=6m+4x = 6m+4 koşullarının ortak çözümü olan x=12n+4x = 12n+4 dizisi kullanılır.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin eleman sayısını bulmak için aralıktaki 4'ün katı olan sayıları belirle.
40 < 4k < 340 eşitsizliğinden 10 < k < 85 elde edilir. k değeri 11'den 84'e kadar değer alır. Terim sayısı: 84 - 11 + 1 = 74.
Terim sayısı formülü: (Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı + 1.
2
A ve B kümelerinin kesişim kümesinin (A ∩ B) kuralını belirle.
x hem 4'ün katı (x=4k) hem de 6'ya bölündüğünde 4 kalanını veren (x=6m+4) bir sayı olmalıdır. Bu koşulu sağlayan sayılar 12'nin katının 4 fazlasıdır: x = 12n + 4.
4k = 6m + 4 denklemi sadeleştirildiğinde 2k = 3m + 2 olur. Buradan k sayısının 3n+1 formunda olması gerektiği bulunur. Yerine yazılırsa x = 4(3n+1) = 12n + 4 çıkar.
3
Kesişim kümesinin (A ∩ B) eleman sayısını hesapla.
40 < 12n + 4 < 340 eşitsizliğinden 36 < 12n < 336 ve 3 < n < 28 elde edilir. n değeri 4'ten 27'ye kadar değer alır. Terim sayısı: 27 - 4 + 1 = 24.
Sadece ortak elemanlar fark kümesinden çıkarılmalıdır.
4
Fark kümesinin eleman sayısını s(A \ B) = s(A) - s(A ∩ B) formülüyle hesapla.
74 - 24 = 50.
A kümesindeki elemanlardan, B kümesinde de olan (kesişim) elemanlar çıkarılır.

Anahtar Kavram

Fark kümesinin eleman sayısı s(A \ B) = s(A) - s(A ∩ B) formülü ile bulunur. Kesişim kümesi bulunurken, iki farklı modüler aritmetik koşulunun (bölünebilme kuralının) ortak çözümü alınmalıdır.

İpuçları

1
Fark kümesinin eleman sayısını bulmak için s(A∖B)=s(A)−s(A∩B)s(A \setminus B) = s(A) - s(A \cap B) formülünü kullanmalısın.
2
Önce AA kümesinin eleman sayısını bul. Ardından A∩BA \cap B kümesini bulmak için hem 4'ün katı olan hem de 6'ya bölündüğünde 4 kalanını veren sayıların genel kuralını (örüntüsünü) tespit et.
3
A∩BA \cap B kümesi için: Bir sayı hem 4'ün katı (4k4k) hem de 6'nın katının 4 fazlası (6m+46m+4) ise, bu sayı 12'ye bölündüğünde 4 kalanını vermelidir (12n+412n+4). Kesişim kümesini bu kurala göre say.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, x=3k+1x = 3k+1 ve x=5m+2x = 5m+2 koşullarını sağlayan sayıların kesişimini Çin Kalan Teoremi mantığıyla bulmayı deneyin.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümeler

Bu konudan daha fazla soru