Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBasit Eşitsizlikler
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
−2<a<3-2 < a < 3
olduğuna göre, a2−2aa^2 - 2a ifadesinin alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
  1. [−1,8)[-1, 8)Cevap
  2. B
    (−1,8)(-1, 8)
  3. C
    (3,8)(3, 8)
  4. D
    (−6,13)(-6, 13)
  5. E
    [0,8)[0, 8)

Cevap

[−1,8)[-1, 8) aralığıdır.
Verilen a2−2aa^2 - 2a ifadesi (a−1)2−1(a-1)^2 - 1 şeklinde yazılabilir. aa sayısı (−2,3)(-2, 3) aralığında olduğunda, a−1a-1 ifadesi (−3,2)(-3, 2) aralığında olur. Bu aralıktaki sayıların kareleri [0,9)[0, 9) aralığındadır (çünkü 00 bu aralığa dahildir ve (−3)2=9(-3)^2 = 9 üst sınırdır). Bu aralıktan 11 çıkarıldığında ifadenin alabileceği değerler [−1,8)[-1, 8) olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
a2−2aa^2 - 2a ifadesini tam kare yardımıyla düzenle.
a2−2a=(a2−2a+1)−1=(a−1)2−1a^2 - 2a = (a^2 - 2a + 1) - 1 = (a-1)^2 - 1
Değişkenin birden fazla yerde geçtiği eşitsizliklerde aralık bulmayı kolaylaştırmak.
2
a−1a-1 ifadesinin sınırlarını belirle.
−2<a<3⇒−2−1<a−1<3−1⇒−3<a−1<2-2 < a < 3 \Rightarrow -2-1 < a-1 < 3-1 \Rightarrow -3 < a-1 < 2
Karesi alınacak olan temel ifadenin sınırlarını bulmak.
3
(a−1)2(a-1)^2 ifadesinin sınırlarını belirle.
0≤(a−1)2<90 \leq (a-1)^2 < 9
−3-3 ile 22 arasındaki sayıların karesi alınırken 00 değeri de dahil edilir ve üst sınır en büyük mutlak değerin karesi (−3)2=9(-3)^2 = 9 olur.
4
Eşitsizliğin her tarafından 1 çıkar.
0−1≤(a−1)2−1<9−1⇒−1≤a2−2a<80-1 \leq (a-1)^2 - 1 < 9-1 \Rightarrow -1 \leq a^2 - 2a < 8
İfadenin orijinal halinin alabileceği değer aralığını tamamlamak.

Anahtar Kavram

Değişkenlerin aralıkları kullanılarak karesel ifadelerin değer aralığının bulunması (Tam kareye tamamlama yöntemi).

İpuçları

1
İfadede aa değişkeni iki farklı terimde yer aldığı için doğrudan aralık işlemleri yapmak yerine ifadeyi tek bir aa terimine indirmeye çalışın.
2
a2−2aa^2 - 2a ifadesini bir tam kareye benzetmek için ne ekleyip çıkarmanız gerektiğini düşünün. İpucu: (a−1)2(a-1)^2 açılımını hatırlayın.
3
a2−2a=(a−1)2−1a^2 - 2a = (a-1)^2 - 1 eşitliğini kullanın. a−1a-1 aralığının karesini alırken aralıkta 00 olup olmadığına dikkat edin.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin tam sayı olduğu durumlar ile gerçel sayı olduğu durumlar arasındaki farkı pekiştirmek için aynı soruyu 'a bir tam sayı olmak üzere' şeklinde çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Türev veya parabol bilgisiyle de çözülebilir. f(a)=a2−2af(a) = a^2 - 2a fonksiyonunun tepe noktası r=−b/2a=1r = -b/2a = 1'dir. f(1)=−1f(1) = -1 (Minimum). Uç değerler: f(−2)=8f(-2) = 8 ve f(3)=3f(3) = 3. Bu durumda değer kümesi [−1,8)[-1, 8) olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru