Examkin

Soru

Zorluk: ZorMutlak Değer

Sıfırdan farklı xx ve yy gerçel sayıları için aşağıdakiler bilinmektedir:

∣x∣>x |x| > x
x2⋅y>x2 x^2 \cdot y > x^2
Buna göre,
∣x−y∣+∣1−y∣−x2 |x - y| + |1 - y| - \sqrt{x^2}
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    1
  2. 2y - 1Cevap
  3. C
    -2x + 2y - 1
  4. D
    2x - 1
  5. E
    2y + 2x - 1

Cevap

İfadenin en sade hali 2y−12y - 1 dir.
Verilen koşullardan xx'in negatif, yy'nin ise 1'den büyük olduğu anlaşılır. Bu bilgilerle mutlak değerlerin içi analiz edildiğinde; ∣x−y∣|x-y| negatiftir ve −x+y-x+y olarak çıkar, ∣1−y∣|1-y| negatiftir ve y−1y-1 olarak çıkar. x2\sqrt{x^2} ifadesi ∣x∣|x| yani −x-x tir. İşlemler yapıldığında sonuç 2y−12y-1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x değişkeninin işaretini belirle
x < 0
∣x∣>x|x| > x eşitsizliği, bir sayının mutlak değerinin kendisinden büyük olduğunu belirtir. Bu durum sadece negatif sayılar için geçerlidir. Dolayısıyla xx negatiftir.
2
y değişkeninin aralığını belirle
y > 1
x2⋅y>x2x^2 \cdot y > x^2 eşitsizliğinde, xx sıfırdan farklı olduğu için x2x^2 pozitif bir sayıdır. Eşitsizliğin her iki tarafı x2x^2'ye bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirmez ve y>1y > 1 elde edilir.
3
|x - y| ifadesini mutlak değer dışına çıkar
-x + y
x<0x < 0 ve y>1y > 1 (dolayısıyla yy pozitif) olduğu için, küçük sayıdan büyük sayı çıkarılmaktadır (x−y<0x - y < 0). İfade eksi ile çarpılarak çıkar: −(x−y)=−x+y-(x - y) = -x + y.
4
|1 - y| ifadesini mutlak değer dışına çıkar
y - 1
y>1y > 1 olduğu için 1−y1 - y negatiftir. İfade eksi ile çarpılarak çıkar: −(1−y)=y−1-(1 - y) = y - 1.
5
sqrt(x^2) ifadesini sadeleştir
-x
x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x| kuralı gereği, x<0x < 0 olduğu için bu ifade −x-x olarak çıkar.
6
Tüm terimleri birleştir ve sonucu bul
2y - 1
İfadeyi toparlayalım: (−x+y)+(y−1)−(−x)=−x+y+y−1+x=2y−1(-x + y) + (y - 1) - (-x) = -x + y + y - 1 + x = 2y - 1.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli ifadelerde, mutlak değerin içi negatifse ifade eksi ile çarpılarak, pozitifse aynen dışarı çıkarılır. x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x| eşitliği unutulmamalıdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değer

Bu konudan daha fazla soru