Examkin

Üslü İfadeler

43 soru

Soru 41Soru →
(0,125)2−x⋅4x+1=16 (0,125)^{2-x} \cdot 4^{x+1} = 16 eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1,6

Cevap

Eşitliği sağlayan x değeri 1,6'dır.
Verilen denklemdeki tüm sayılar 2'nin kuvveti şeklinde yazılabildiğinden, önce tabanlar eşitlenir. Ondalık sayı 0,125=2−30,125 = 2^{-3} olarak, 4=224=2^2 ve 16=2416=2^4 olarak ifade edilir. Üslü sayı kuralları (üssün üssü ve çarpma) uygulanarak sol taraf tek bir 2 tabanında toplanır (25x−42^{5x-4}). Sonuç 242^4'e eşitlenerek xx değeri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanları asal çarpanlarına ayırarak 2 tabanında yaz.
0,125=1251000=18=2−30,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} = 2^{-3}, 4=224 = 2^2 ve 16=2416 = 2^4
Üslü denklemlerde işlem yapabilmek için tabanların aynı olması gerekir.
2
Verilen ifadeleri denklemde yerine koy ve üssün üssü kuralını uygula.
(2−3)2−x⋅(22)x+1=24⇒2−6+3x⋅22x+2=24(2^{-3})^{2-x} \cdot (2^2)^{x+1} = 2^4 \Rightarrow 2^{-6+3x} \cdot 2^{2x+2} = 2^4
(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n} kuralı uygulanır.
3
Çarpım durumundaki üsleri topla.
2(−6+3x)+(2x+2)=24⇒25x−4=242^{(-6+3x) + (2x+2)} = 2^4 \Rightarrow 2^{5x-4} = 2^4
ax⋅ay=ax+ya^x \cdot a^y = a^{x+y} kuralı uygulanır.
4
Tabanlar eşit olduğu için üsleri eşitle ve x'i bul.
5x−4=4⇒5x=8⇒x=85=1,65x - 4 = 4 \Rightarrow 5x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{5} = 1,6
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin eşitliğinde üsler de birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Üslü Denklemler ve Taban Değiştirme

İpuçları

1
Denklemdeki 0,125; 4 ve 16 sayılarının hepsi 2'nin kuvveti olarak yazılabilir.
2
0,125=18=2−30,125 = \frac{1}{8} = 2^{-3} eşitliğini kullanın.
3
Tabanları eşitledikten sonra, sol taraftaki üslerin toplamını sağ taraftaki üsse (4'e) eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

Negatif üsler ve ondalık sayıların üslü gösterimi üzerine daha fazla pratik yapılmalı.

Alternatif Yöntem

Her iki tarafın 2 tabanında logaritması alınarak da çözülebilir, ancak üslü sayı kuralları bu soru için daha pratiktir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 42Soru →
(x+2)x2+x−2=1(x+2)^{x^2+x-2} = 1 denklemini sağlayan birbirinden farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Doğru cevap, geçerli köklerin toplamı olan -3 değeridir.
Verilen denklemde sonucun 1 olması için üç durum incelenmelidir: tabanın 1 olması, tabanın -1 olup üssün çift olması ve üssün 0 olup tabanın 0 olmaması. Bu incelemeler sonucunda x=−1x=-1, x=−3x=-3 ve x=1x=1 değerleri geçerli bulunurken, x=−2x=-2 değeri 000^0 belirsizliği yarattığı için elenir. Geçerli değerlerin toplamı −3-3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Üslü bir ifadenin sonucunun 1 olması için gereken 3 temel durumu belirle.
Durumlar: 1) Taban = 1, 2) Taban = -1 (ve Üs Çift), 3) Üs = 0 (ve Taban ≠ 0).
an=1a^n = 1 denkleminin çözüm mantığı bu üç duruma dayanır.
2
1. Durumu (Taban = 1) incele.
x+2=1⇒x=−1x+2 = 1 \Rightarrow x = -1. Bu değer her zaman çözüm kümesindedir.
11'in tüm reel kuvvetleri 1'dir.
3
2. Durumu (Taban = -1 ve Üs = Çift) incele.
x+2=−1⇒x=−3x+2 = -1 \Rightarrow x = -3. Üssü kontrol et: (−3)2+(−3)−2=9−3−2=4(-3)^2 + (-3) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 (Çift sayı).
Taban -1 olduğunda sonucun +1 çıkması için üs çift sayı olmalıdır. x=−3x=-3 bu şartı sağlar.
4
3. Durumu (Üs = 0 ve Taban ≠ 0) incele.
x2+x−2=0⇒(x+2)(x−1)=0x^2+x-2 = 0 \Rightarrow (x+2)(x-1) = 0. Kökler x=−2x=-2 ve x=1x=1. Taban kontrolü: x=1x=1 için taban 3≠03 \neq 0 (Geçerli). x=−2x=-2 için taban 00 (Tanımsız).
x=−2x=-2 değeri 000^0 belirsizliği oluşturduğu için çözüm kümesine alınamaz. Sadece x=1x=1 alınır.
5
Bulunan geçerli değerleri topla.
Geçerli değerler: {−1,−3,1}\{-1, -3, 1\}. Toplam: (−1)+(−3)+1=−3(-1) + (-3) + 1 = -3.
Soruda tüm farklı xx değerlerinin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Üslü İfadelerde Denklem Çözümü ve 000^0 Belirsizliği

İpuçları

1
ab=1a^b = 1 eşitliğinin sağlanması için 3 farklı durumu kontrol etmelisiniz: a=1a=1, a=−1a=-1 ve b=0b=0.
2
Taban -1 olduğunda üssün çift olup olmadığını; Üs 0 olduğunda tabanın 0 olup olmadığını (tanımsızlık) mutlaka kontrol edin.
3
x2+x−2=0x^2+x-2=0 denkleminin köklerinden biri olan x=−2x=-2, taban ifadesi (x+2)(x+2)'yi sıfır yapar. 000^0 belirsizliğine dikkat edin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 43Soru →
(x−2)x2−4=1(x-2)^{x^2-4} = 1 denklemini sağlayan birbirinden farklı xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Denklemi sağlayan değerlerin toplamı 1'dir.
Doğru cevap 1'dir. ab=1a^b=1 eşitliği üç durumda sağlanır: Tabanın 1 olması (x=3x=3), tabanın -1 olup kuvvetin çift olması (burada sağlanmaz), kuvvetin 0 olup tabanın 0 olmaması (x=−2x=-2). Geçerli değerler 3 ve -2'dir, toplamları 1 eder.

Adım Adım Çözüm

1
an=1a^n = 1 denkleminin çözüm kümesi için üç temel durumu incele: 1) a=1a=1, 2) a=−1a=-1 (n çift olmalı), 3) n=0n=0 (a≠0a \neq 0 olmalı).
İncelenecek durumlar belirlenir.
Üslü ifadelerde sonucun 1 olması sadece bu üç özel durumda mümkündür.
2
Birinci durumu (a=1a=1) incele: x−2=1x-2 = 1 denklemini çöz.
x=3x = 3. Her zaman geçerlidir.
1 sayısının tüm reel kuvvetleri 1'dir.
3
İkinci durumu (a=−1a=-1) incele: x−2=−1x-2 = -1 denklemini çöz ve kuvvetin çift olup olmadığına bak.
x=1x = 1 bulunur. Ancak kuvvet 12−4=−31^2 - 4 = -3 (tek sayı) olur. Bu nedenle x=1x=1 geçersizdir.
(−1)tek=−1≠1(-1)^{\text{tek}} = -1 \neq 1 olduğu için bu kök çözüm kümesine alınmaz.
4
Üçüncü durumu (n=0n=0) incele: x2−4=0x^2 - 4 = 0 denklemini çöz ve tabanın 0 olup olmadığına bak.
x=2x = 2 veya x=−2x = -2. x=2x=2 için taban 2−2=02-2=0 olur (tanımsız). x=−2x=-2 için taban −2−2=−4-2-2=-4 olur (geçerli).
000^0 belirsizdir, bu yüzden x=2x=2 alınmaz. Sayı sıfırdan farklı ise 0. kuvveti 1'dir.
5
Geçerli xx değerlerini topla.
3+(−2)=13 + (-2) = 1.
Çözüm kümesi {3,−2}\{3, -2\} olarak bulunmuştur.

Anahtar Kavram

Üslü Denklemlerde 1 Eşitliği
ÖncekiSayfa 3 / 3
Üslü İfadeler Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 3 | Examkin