Examkin

Üslü İfadeler

43 soru

Soru 21Soru →

Üslü sayılar konusunu yeni öğrenen bir öğrenci, negatif üs ve sıfırıncı kuvvet özelliklerini pekiştirmek için aşağıdaki işlemin sonucunu hesaplamak istemektedir:

(13)−2+50 \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} + 5^0

Buna göre, bu işlemin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İşlemin sonucu 10 olarak bulunur.
Verilen işlemde, bir kesrin negatif kuvveti alındığında kesir ters çevrilir. Bu durumda bir bölü üçün eksi ikinci kuvveti, üçün karesine dönüşür ve 9 değerini alır. Herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti ise 1'e eşit olduğundan, 9 ile 1'in toplamı sonucu 10 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
(13)−2 \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} ifadesindeki negatif üssü düzenle.
(31)2=32=9 \left( \frac{3}{1} \right)^2 = 3^2 = 9
Negatif üs, tabandaki kesrin pay ve paydasının yer değiştirmesini (ters çevrilmesini) sağlar.
2
50 5^0 ifadesinin değerini belirle.
1
Sıfır hariç tüm sayıların sıfırıncı kuvveti her zaman 1'e eşittir.
3
Elde edilen sonuçları topla.
9+1=10 9 + 1 = 10
Soruda verilen iki terimin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Negatif üs kuralı ((a/b)−n=(b/a)n (a/b)^{-n} = (b/a)^n ) ve sıfırıncı kuvvet kuralı (a0=1 a^0 = 1 ).

İpuçları

1
Üsteki eksi işareti, tabandaki sayıyı ters çevirmen gerektiğini hatırlatır.
2
Bir sayının sıfırıncı kuvvetinin her zaman özel bir sonucu vardır, 0 değildir.
3
Önce bir bölü üçün eksi ikinci kuvvetini 9 olarak hesapla, sonra buna beşin sıfırıncı kuvveti olan 1'i ekle.

Daha Fazla Pratik

Negatif tabanlı sayıların negatif kuvvetleri üzerine pratik yaparak parantez etkisini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Negatif üssü parçalayarak da düşünebilirsiniz: Önce bir bölü üçün çarpmaya göre tersini alıp 3 bulur, sonra bu sonucun karesini alarak 9'a ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 22Soru →
30x+15x+10x+5x6x+3x+2x+1=25x−1 \frac{30^x + 15^x + 10^x + 5^x}{6^x + 3^x + 2^x + 1} = 25^{x-1}

eşitliğini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşitliği sağlayan x değeri 2'dir.
Verilen kesirli ifadenin payı ve paydası gruplandırılarak çarpanlarına ayrıldığında, pay ve paydadaki (2x+1)(2^x+1) ve (3x+1)(3^x+1) çarpanları birbirini sadeleştirir. Geriye sadece 5x5^x kalır. Eşitliğin sağ tarafı olan 25x−125^{x-1}, 5 tabanında 52x−25^{2x-2} olarak yazılır. Tabanlar eşitlendiğinde x=2x−2x = 2x-2 denklemi elde edilir ve buradan doğru cevap 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi ikili gruplara ayırarak ortak çarpan parantezine al.
30x+15x+10x+5x=15x(2x+1)+5x(2x+1)30^x + 15^x + 10^x + 5^x = 15^x(2^x + 1) + 5^x(2^x + 1)
Dört terimli ifadelerde gruplandırma yöntemi, ortak çarpanları ortaya çıkarmak için kullanılır.
2
Payı (2x+1)(2^x + 1) ortak parantezine al.
(2x+1)(15x+5x)=(2x+1)⋅5x(3x+1)(2^x + 1)(15^x + 5^x) = (2^x + 1) \cdot 5^x(3^x + 1)
Terimleri en sade çarpanlarına ayırarak payda ile sadeleşecek hale getirmek gerekir.
3
Payda kısmındaki ifadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayır.
6x+3x+2x+1=3x(2x+1)+1(2x+1)=(2x+1)(3x+1)6^x + 3^x + 2^x + 1 = 3^x(2^x + 1) + 1(2^x + 1) = (2^x + 1)(3^x + 1)
Payda da aynı yapıdadır ve pay ile sadeleşecek terimler içerir.
4
Pay ve paydayı oranlayarak sadeleştirme yap.
5x(3x+1)(2x+1)(3x+1)(2x+1)=5x \frac{5^x(3^x + 1)(2^x + 1)}{(3^x + 1)(2^x + 1)} = 5^x
Ortak çarpanlar (3x+13^x+1 ve 2x+12^x+1) birbirini götürür.
5
Elde edilen ifadeyi eşitliğin sağ tarafına eşitle ve x'i bul.
5x=25x−1⇒5x=(52)x−1⇒5x=52x−25^x = 25^{x-1} \Rightarrow 5^x = (5^2)^{x-1} \Rightarrow 5^x = 5^{2x-2}
Tabanları eşitleyerek üslerin eşitliğinden sonuca gidilir.
6
Üsleri eşitle: x=2x−2x = 2x - 2
x=2x = 2
Tabanlar eşitse üsler de eşittir.

Anahtar Kavram

Üslü ifadelerde gruplandırarak çarpanlara ayırma ve üslü denklemlerin çözümü.

İpuçları

1
Pay ve paydadaki ifadeleri doğrudan bölmeye çalışmak yerine, her birini ayrı ayrı gruplandırarak ortak çarpan parantezine almayı deneyin.
2
Pay kısmında 30x30^x ile 15x15^x'i ve 10x10^x ile 5x5^x'i ikili gruplar halinde düşünün. 30x=15x⋅2x30^x = 15^x \cdot 2^x özdeşliğini kullanın.
3
Sadeleştirme sonucunda sol taraf sadece 5x5^x kalacaktır. Sağ tarafı da 5 tabanında yazarak üsleri eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer çarpanlara ayırma mantığını pekiştirmek için x3+x2+x+1x+1\frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x+1} gibi polinom bölmesi içeren üslü ifade soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi (test tekniği): Şıklardaki tam sayı değerleri x yerine yazılarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilebilir. Ancak bu yöntem zaman alıcı olabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 23Soru →
(x+4)x2−4=1(x+4)^{x^2-4} = 1 denklemini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Denklemi sağlayan değerlerin toplamı -3'tür.
Üslü bir ifadenin sonucunun 1 olması için üç durum vardır: tabanın 1 olması, üssün 0 olması (taban ≠0\neq 0), veya tabanın -1 olması (üs çift ise). Bu soruda tabanı -1 yapan x=−5x=-5 değeri için üs tek sayı (21) çıktığından çözüm değildir. Geçerli kökler -3, 2 ve -2'dir; bunların toplamı -3 eder.

Adım Adım Çözüm

1
ab=1a^b = 1 eşitliğinin sağlanması için incelenmesi gereken üç durumu belirle.
Durumlar: 1) Taban a=1a=1 olabilir. 2) Taban a=−1a=-1 olabilir (üs bb çift sayı ise). 3) Üs b=0b=0 olabilir (taban a≠0a \neq 0 ise).
Üslü ifadelerde sonucun 1 olması bu üç özel duruma bağlıdır.
2
Birinci durumu (a=1a=1) incele.
x+4=1⇒x=−3x+4 = 1 \Rightarrow x = -3.
1'in her kuvveti 1'dir. Bu kök her zaman geçerlidir.
3
İkinci durumu (a=−1a=-1) incele ve üssün çift olup olmadığını kontrol et.
x+4=−1⇒x=−5x+4 = -1 \Rightarrow x = -5. Üs kontrolü: (−5)2−4=25−4=21(-5)^2 - 4 = 25 - 4 = 21. 21 tek sayıdır, bu yüzden (−1)21=−1≠1(-1)^{21} = -1 \neq 1.
Taban -1 olduğunda sonucun +1 çıkması için üssün çift sayı olması şarttır. x=−5x=-5 bu şartı sağlamadığından çözüm kümesine alınmaz.
4
Üçüncü durumu (b=0b=0) incele ve tabanın sıfır olup olmadığını kontrol et.
x2−4=0⇒x=2x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 veya x=−2x = -2. Taban kontrolü: x=2x=2 için 6≠06 \neq 0, x=−2x=-2 için 2≠02 \neq 0.
Sıfırıncı kuvvet 1'dir, ancak 000^0 belirsizdir. Taban sıfır olmadığı için her iki kök de geçerlidir.
5
Geçerli xx değerlerini topla.
Değerler: {−3,2,−2}\{-3, 2, -2\}. Toplam: (−3)+2+(−2)=−3(-3) + 2 + (-2) = -3.
Çözüm kümesindeki tüm elemanların toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Üslü Denklemlerde 1 Eşitliği

İpuçları

1
Bir üslü ifadenin sonucunun 1 olması için taban 1 olabilir, üs 0 olabilir veya taban -1 olabilir. Tüm bu durumları ayrı ayrı incelemelisiniz.
2
Tabanın -1 olduğu durumda, sonucun +1 çıkması için üssün mutlaka çift sayı olması gerekir. Bulduğunuz x değerini üs ifadesinde yerine koyarak deneyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla (x−2)x+1=1(x-2)^{x+1}=1 denklemini inceleyerek tabanın -1 olduğu durumun geçerliliğini test edebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 24Soru →
(0,125)−x⋅42x−1=16x+1⋅8(0,125)^{-x} \cdot 4^{2x-1} = 16^{x+1} \cdot 8

Yukarıda verilen eşitliği sağlayan xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eşitliği sağlayan x değeri 3'tür.
Verilen denklemde tüm sayılar 2'nin kuvveti olarak yazılabilir. Tabanlar eşitlendikten sonra (hepsi 2 tabanında), üsler toplanarak eşitlik kurulur. Sol taraftaki üsler toplamı 7x−27x-2, sağ taraftaki üsler toplamı 4x+74x+7 olur. Bu iki ifade eşitlendiğinde x=3x=3 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm tabanları en küçük ortak asal taban olan 2 tabanına dönüştür.
0,125=18=2−30,125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}, 4=224 = 2^2, 16=2416 = 2^4, 8=238 = 2^3
Üslü denklemleri çözebilmek için tabanların aynı olması gerekir.
2
Dönüştürülen tabanları denklemde yerine yaz ve üssün üssü kuralını ((an)m=an⋅m(a^n)^m = a^{n \cdot m}) uygula.
(2−3)−x⋅(22)2x−1=(24)x+1⋅23⇒23x⋅24x−2=24x+4⋅23(2^{-3})^{-x} \cdot (2^2)^{2x-1} = (2^4)^{x+1} \cdot 2^3 \Rightarrow 2^{3x} \cdot 2^{4x-2} = 2^{4x+4} \cdot 2^3
Parantez dışındaki üsler, parantez içindeki üslerle çarpılır.
3
Tabanları aynı olan üslü ifadelerde çarpma işlemini (üsleri topla) uygula.
Sol Taraf: 23x+4x−2=27x−22^{3x + 4x - 2} = 2^{7x-2}, Sağ Taraf: 24x+4+3=24x+72^{4x + 4 + 3} = 2^{4x+7}
an⋅am=an+ma^n \cdot a^m = a^{n+m} kuralı uygulanır.
4
Tabanlar eşit olduğu için üsleri birbirine eşitle ve denklemi çöz.
7x−2=4x+7⇒3x=9⇒x=37x - 2 = 4x + 7 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3
Tabanları aynı olan eşitliklerde üsler de eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

Üslü Denklemler ve Üssün Üssü Kuralı

İpuçları

1
Denklemdeki 0,125; 4; 16 ve 8 sayılarının hepsini aynı asal sayının kuvveti olarak yazmayı dene.
2
0,125=18=2−30,125 = \frac{1}{8} = 2^{-3} olduğunu ve üssün üssü alındığında üslerin çarpıldığını hatırla.
3
Tüm ifadeleri 2 tabanına çevirince eşitlik 27x−2=24x+72^{7x-2} = 2^{4x+7} haline gelir.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 3x3^x ve 9x+19^{x+1} içeren denklemler çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 25Soru →
5x+1+2⋅5x−5x−1=170 5^{x+1} + 2 \cdot 5^x - 5^{x-1} = 170 olduğuna göre, xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Verilen denklemi sağlayan x değeri 2'dir.
Verilen denklemde tüm terimler 5x−15^{x-1} çarpanını içermektedir. İfade bu paranteze alındığında 5x−1(25+10−1)=1705^{x-1}(25 + 10 - 1) = 170 elde edilir. Parantez içi 34 çıktığından, 34⋅5x−1=17034 \cdot 5^{x-1} = 170 denklemi kurulur. Buradan 5x−1=55^{x-1} = 5 olduğu görülür. 5 sayısı 515^1 olduğundan x−1=1x-1 = 1 eşitliği ile x=2x = 2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemi en küçük üslü terim olan 5x−15^{x-1} parantezine alın.
5x−1(52+2⋅51−50)=1705^{x-1} (5^2 + 2 \cdot 5^1 - 5^0) = 170
Üslü denklemlerde ortak çarpan parantezine almak ifadeyi sadeleştirmenin en etkin yoludur.
2
Parantez içindeki üslü sayıların değerlerini hesaplayın ve toplayın.
5x−1(25+10−1)=170⇒5x−1⋅34=1705^{x-1} (25 + 10 - 1) = 170 \Rightarrow 5^{x-1} \cdot 34 = 170
İşlem önceliğine göre parantez içi düzenlenmelidir.
3
Eşitliğin her iki tarafını 34'e bölün.
5x−1=17034⇒5x−1=55^{x-1} = \frac{170}{34} \Rightarrow 5^{x-1} = 5
Üslü ifadeyi yalnız bırakarak tabanları eşitlemek hedeflenir.
4
Tabanlar eşit olduğu için üsleri birbirine eşitleyin.
x−1=1⇒x=2x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2
Üslü denklemlerde tabanlar aynı ve 1, 0, -1'den farklı ise üsler birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Üslü denklemlerde toplama-çıkarma işlemlerinde ortak çarpan parantezine alma yöntemi kullanılır.

İpuçları

1
Denklemdeki terimleri en küçük üsse sahip olan 5x−15^{x-1} ortak parantezine almayı deneyin.
2
Parantez içine aldığınızda katsayıların 525^2, 2⋅512 \cdot 5^1 ve −1-1 olduğunu fark edin.
3
5x−1⋅34=1705^{x-1} \cdot 34 = 170 eşitliğini çözerek üssün kaça eşit olması gerektiğini bulun.

Daha Fazla Pratik

Üslü sayılarda toplama ve çıkarma içeren benzer denklemler çözerek katsayı hesaplama pratiği yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 26Soru →

Aşağıda xx, yy ve zz sayıları üslü ifadelerle tanımlanmıştır:

x=(−2)4 x = (-2)^4
y=−24 y = -2^4
z=(−1)0 z = (-1)^0

Buna göre, x+y+zx + y + z işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İşlemlerin doğru sırayla ve kurallarla yapılması sonucunda toplam 1 bulunur.
Verilen ifadelerde xx değeri çift kuvvet ve parantez nedeniyle pozitif 16, yy değeri parantez olmadığı için negatif 16 ve zz değeri sıfırıncı kuvvet kuralı gereği 1'dir. Bu üç değerin toplamı (16−16+116 - 16 + 1) bizi 1 sonucuna götürür.

Adım Adım Çözüm

1
x=(−2)4x = (-2)^4 ifadesini hesapla.
x=16x = 16
Negatif bir sayının parantez dışındaki çift kuvveti pozitiftir: (−2)⋅(−2)⋅(−2)⋅(−2)=16(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16.
2
y=−24y = -2^4 ifadesini hesapla.
y=−16y = -16
Parantez olmadığı için kuvvet sadece 2 sayısına aittir, baştaki eksi işareti etkilenmez: −(2⋅2⋅2⋅2)=−16-(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16.
3
z=(−1)0z = (-1)^0 ifadesini hesapla.
z=1z = 1
Sıfır hariç tüm sayıların sıfırıncı kuvveti kural gereği 1'dir.
4
x+y+zx + y + z toplamını bul.
16+(−16)+1=116 + (-16) + 1 = 1
Bulunan değerler toplandığında 16 ve -16 birbirini sıfırlar, geriye 1 kalır.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda parantezin önemi ve sıfırıncı kuvvet kuralı

İpuçları

1
Üslü sayılarda parantez olup olmaması, sonucun işaretini (özellikle çift kuvvetlerde) etkileyebilir.
2
−24-2^4 ifadesinde eksi işareti en son işleme dahil edilirken, (−2)4(-2)^4 ifadesinde taban -2'dir.
3
Her sayının sıfırıncı kuvvetinin 1 olduğunu ve zıt işaretli aynı sayıların toplamının 0 olduğunu unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Negatif kuvvetlerin (a−na^{-n}) rasyonel sayılara nasıl dönüştüğünü inceleyerek bilginizi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Önce xx ve yy arasındaki ilişkiyi fark edebilirsiniz. (−2)4(-2)^4 ile −24-2^4 birbirinin toplama işlemine göre tersidir, bu yüzden toplamları 0 olur. Geriye sadece zz değerini hesaplamak kalır.
Tahmini Süre:45s
Soru 27Soru →
25x+25−x+25x+5−x=7 \frac{25^x + 25^{-x} + 2}{5^x + 5^{-x}} = 7

eşitliği veriliyor.
Buna göre, 5x−5−x 5^x - 5^{-x} ifadesinin pozitif değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 353\sqrt{5}

Cevap

Doğru cevap \( 3\sqrt{5} \) değeridir.
Verilen kesirli ifadenin payı, paydanın tam karesidir. Bu sadeleştirme sonucunda \( 5^x + 5^{-x} = 7 \) bulunur. Bizden istenen \( 5^x - 5^{-x} \) ifadesine ulaşmak için iki tam kare arasındaki \( (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab \) bağıntısı kullanılır. Buradan \( A^2 = 7^2 - 4 = 45 \) elde edilir ve sonuç \( 3\sqrt{5} \) olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin pay kısmını düzenle.
25x+25−x+2=(5x)2+(5−x)2+2⋅5x⋅5−x=(5x+5−x)2 25^x + 25^{-x} + 2 = (5^x)^2 + (5^{-x})^2 + 2 \cdot 5^x \cdot 5^{-x} = (5^x + 5^{-x})^2
Tam kare özdeşliği: \( (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \). Burada \( a=5^x, b=5^{-x} \) ve \( ab=1 \) olduğu görülmelidir.
2
Bulunan tam kare ifadeyi denklemde yerine yaz ve \( 5^x + 5^{-x} \) toplamını bul.
(5x+5−x)25x+5−x=7  ⟹  5x+5−x=7 \frac{(5^x + 5^{-x})^2}{5^x + 5^{-x}} = 7 \implies 5^x + 5^{-x} = 7
Paydaki ifade paydanın karesi olduğu için sadeleştirme işlemi yapılır.
3
Toplam değerinden fark değerine geçiş yap.
(5x−5−x)2=(5x+5−x)2−4 (5^x - 5^{-x})^2 = (5^x + 5^{-x})^2 - 4 formülünü kullan: A2=72−4=49−4=45 A^2 = 7^2 - 4 = 49 - 4 = 45
Legendre özdeşliği veya tam kare açılımları arasındaki ilişki: \( (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab \).
4
Sonucun karekökünü al.
A=45=9⋅5=35 A = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}
Soruda ifadenin pozitif değeri istendiği için pozitif kök alınır.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşlikleri ve Üslü İfadelerde Değişken Dönüşümü

İpuçları

1
Paydaki \( 25^x + 25^{-x} + 2 \) ifadesini, \( (5^x + 5^{-x}) \) terimine benzetmeye çalışın. Bu ifade bir tam kare açılımı olabilir mi?
2
Paydaki ifade aslında \( (5^x + 5^{-x})^2 \)'dir. Bunu kullanarak önce \( 5^x + 5^{-x} \) değerini bulun.
3
\( (a+b)^2 \) değerini biliyorsanız, \( (a-b)^2 \) değerini bulmak için \( (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab \) özdeşliğini kullanın. Burada \( a=5^x \) ve \( b=5^{-x} \) olduğu için \( ab=1 \)'dir.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki küp açılımı sorularını (\( a^3 - b^3 \)) inceleyin.

Alternatif Yöntem

Değişken değiştirme yöntemi kullanılabilir: \( u = 5^x \) diyerek denklem \( u \) cinsinden yazılıp çözülebilir, ancak bu yol daha uzun ve karmaşıktır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 28Soru →

12x=2712^x = 27 ve 3y=163^y = 16 eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, x⋅(y+2)x \cdot (y + 2) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İfadenin doğru değeri 6'dır.
Verilen 12x=2712^x=27 eşitliği asal çarpanlarına ayrılarak düzenlendiğinde 22x=33−x2^{2x} = 3^{3-x} elde edilir. Diğer verilen 3y=163^y=16 eşitliği ise 24=3y2^4 = 3^y şeklinde yazılır. Üslü sayılarda tabanları aynı olan iki eşitlikte üslerin oranı sabittir kuralı gereği, 2'nin üsleri ile 3'ün üsleri oranlanır: 2x4=3−xy\frac{2x}{4} = \frac{3-x}{y}. Bu orantıdan içler dışlar çarpımı yapılarak 2xy=12−4x2xy = 12 - 4x eşitliği bulunur. Terimler düzenlendiğinde 2xy+4x=122xy + 4x = 12 ve 2 parantezine alınıp sadeleştirildiğinde x(y+2)=6x(y+2)=6 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk eşitliği asal çarpanlarına ayırarak düzenle.
12x=(22⋅3)x=22x⋅3x=27=3312^x = (2^2 \cdot 3)^x = 2^{2x} \cdot 3^x = 27 = 3^3
Tabanları en sade (asal) hale getirerek ortak tabanlar arasında ilişki kurmak gerekir.
2
22x2^{2x} ifadesini yalnız bırakarak xx'li terimleri grupla.
22x=333x=33−x2^{2x} = \frac{3^3}{3^x} = 3^{3-x}
İki denklem arasında köprü kurabilmek için eşitliğin bir tarafını sadece 2 tabanına, diğerini 3 tabanına dönüştürmek gerekir.
3
İkinci eşitliği 2 ve 3 tabanında ifade et.
3y=16=24⇒24=3y3^y = 16 = 2^4 \Rightarrow 2^4 = 3^y
Birinci denklemden elde edilen yapı (2a=3b2^a = 3^b) ile karşılaştırma yapabilmek için.
4
Aynı tabanların üslerini oranla.
2x4=3−xy\frac{2x}{4} = \frac{3-x}{y}
an=bma^n = b^m ve ak=bpa^k = b^p ise nk=mp\frac{n}{k} = \frac{m}{p} kuralı uygulanır.
5
İçler dışlar çarpımı yaparak istenen ifadeyi oluştur.
2x⋅y=4⋅(3−x)⇒2xy=12−4x⇒2xy+4x=122x \cdot y = 4 \cdot (3-x) \Rightarrow 2xy = 12 - 4x \Rightarrow 2xy + 4x = 12
Denklemi çözerek soruda sorulan formata (x(y+2)x(y+2)) yaklaşmak.
6
Sonucu sadeleştir.
2x(y+2)=12⇒x(y+2)=62x(y+2) = 12 \Rightarrow x(y+2) = 6
Soruda istenen ifadenin net değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Üslü denklemlerde taban ayrıştırma ve üs oranlama özelliği

İpuçları

1
12x=2712^x = 27 ifadesinde 12'yi asal çarpanlarına (22⋅32^2 \cdot 3) ayırıp 22x2^{2x}'i yalnız bırakınız.
2
Elde ettiğiniz 22x=33−x2^{2x} = 3^{3-x} eşitliği ile 24=3y2^4 = 3^y eşitliğini alt alta yazarak üsler arasında orantı kurunuz.
3
Tabanları aynı olan üslü denklemlerde 2x4=3−xy\frac{2x}{4} = \frac{3-x}{y} oranını kullanarak içler dışlar çarpımı yapınız.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 29Soru →
25x+5x+125−x+5−x+1=15625 \frac{25^x + 5^x + 1}{25^{-x} + 5^{-x} + 1} = 15625 eşitliği veriliyor.

Buna göre, xx kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eşitliği sağlayan x değeri 3'tür.
Verilen kesirli ifadede payda düzenlendiğinde, payın 52x5^{2x}'e bölünmüş hali olduğu görülür. Ters çevirip çarpma işlemi yapıldığında paydaki ve paydadaki uzun terimler birbirini götürür ve geriye sadece 52x5^{2x} kalır. 1562515625 sayısı 565^6'ya eşit olduğundan, 2x=62x=6 denklemi elde edilir ve buradan x=3x=3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemdeki 25x25^x ve 25−x25^{-x} ifadelerini 5 tabanında yazalım.
(52)x+5x+1(52)−x+5−x+1=52x+5x+15−2x+5−x+1 \frac{(5^2)^x + 5^x + 1}{(5^2)^{-x} + 5^{-x} + 1} = \frac{5^{2x} + 5^x + 1}{5^{-2x} + 5^{-x} + 1}
Tüm terimleri aynı tabanda (5) ifade etmek, sadeleştirmeyi görmeyi kolaylaştırır.
2
Paydadaki negatif üslü ifadeleri kesirli olarak yazıp payda eşitleyelim.
5−2x+5−x+1=152x+15x+1=1+5x+52x52x 5^{-2x} + 5^{-x} + 1 = \frac{1}{5^{2x}} + \frac{1}{5^x} + 1 = \frac{1 + 5^x + 5^{2x}}{5^{2x}}
Negatif üslerden kurtulup ifadeyi düzenlemek, pay ile olan ilişkiyi ortaya çıkarır.
3
Bulduğumuz ifadeyi ana denklemde yerine koyup ters çevirip çarpma işlemi yapalım.
52x+5x+11+5x+52x52x=(52x+5x+1)⋅52x1+5x+52x=52x \frac{5^{2x} + 5^x + 1}{\frac{1 + 5^x + 5^{2x}}{5^{2x}}} = (5^{2x} + 5^x + 1) \cdot \frac{5^{2x}}{1 + 5^x + 5^{2x}} = 5^{2x}
Kesirlerde bölme işlemi yapılırken ikinci kesir ters çevrilip çarpılır; bu da ortak parantezlerin sadeleşmesini sağlar.
4
Sadeleşmiş ifadeyi verilen sayıya eşitleyip x'i bulalım.
52x=15625⇒52x=56⇒2x=6⇒x=3 5^{2x} = 15625 \Rightarrow 5^{2x} = 5^6 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3
Üslü denklemlerde tabanlar eşitse üsler de eşittir kuralı uygulanır (15625=5615625 = 5^6).

Anahtar Kavram

Negatif üs içeren rasyonel ifadelerde, pay ve payda arasındaki kat ilişkisini görmek için payda eşitlenerek ortak çarpan parantezine alınır.

İpuçları

1
Paydadaki 25−x25^{-x} ve 5−x5^{-x} ifadelerini 125x\frac{1}{25^x} ve 15x\frac{1}{5^x} şeklinde yazarak payda eşitlemeyi deneyin.
2
Paydayı düzenlediğinizde 1+5x+25x25x\frac{1 + 5^x + 25^x}{25^x} ifadesini elde edeceksiniz. Şimdi bölme işlemini yapın.
3
Bölme işleminden sonra elinizde sadece 25x25^x kalacak. Bunu 15625'e eşitleyerek x'i bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir sadeleştirme sorusunu 3x3^x tabanıyla veya harfli ifadelerle (a,ba, b) çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

a=5xa = 5^x dönüşümü yaparsanız ifade a2+a+1a−2+a−1+1\frac{a^2+a+1}{a^{-2}+a^{-1}+1} haline gelir. Bu yapının değeri her zaman en büyük dereceli terime (a2a^2) eşittir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 30Soru →
(−3)2+23−40(-3)^2 + 2^3 - 4^0 işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İşlemin sonucu 16 olarak bulunur.
Verilen işlemdeki her bir terim üslü sayı kurallarına göre ayrı ayrı hesaplanır: (−3)2=9(-3)^2 = 9, 23=82^3 = 8 ve 40=14^0 = 1. Bu değerler işlemde yerine yazıldığında 9+8−19 + 8 - 1 ifadesi elde edilir. Bu toplama ve çıkarma işleminin sonucu 1616 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
(−3)2(-3)^2 ifadesini hesaplayın.
(−3)×(−3)=9(-3) \times (-3) = 9
Negatif bir sayının çift kuvveti her zaman pozitiftir.
2
232^3 ifadesini hesaplayın.
2×2×2=82 \times 2 \times 2 = 8
Üslü sayılarda kuvvet, tabanın kendisiyle kaç kez çarpılacağını belirtir.
3
404^0 ifadesini hesaplayın.
11
Matematikte sıfır hariç tüm sayıların sıfırıncı kuvveti 11 olarak tanımlanmıştır.
4
Elde edilen sonuçları ana işlemde yerlerine koyarak toplama ve çıkarma işlemlerini tamamlayın.
9+8−1=169 + 8 - 1 = 16
Bulunan değerlerin aritmetik toplamı nihai sonucu verir.

Anahtar Kavram

Üslü sayıların temel özellikleri (negatif taban, pozitif kuvvet ve sıfırıncı kuvvet kuralı).

İpuçları

1
İşlemdeki her bir üslü ifadeyi (negatif taban, küp ve sıfırıncı kuvvet) sırasıyla hesaplamaya başlayın.
2
Unutmayın: Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitiftir ve herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti 11'dir.
3
(−3)2=9(-3)^2 = 9, 23=82^3 = 8 ve 40=14^0 = 1 değerlerini kullanarak işlemi 9+8−19 + 8 - 1 şeklinde yeniden yazın.

Daha Fazla Pratik

Negatif üs içeren benzer bir hesaplama sorusu çözerek bilgilerinizi pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 31Soru →

Matematik öğretmeni Selim Bey, üslü sayılar konusunu işlerken tahtaya aşağıdaki matematiksel ifadeyi yazmıştır:

(−2)−2⋅4+(−1)2025⋅50 (-2)^{-2} \cdot 4 + (-1)^{2025} \cdot 5^0

Buna göre, Selim Bey'in tahtaya yazdığı bu işlemin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

İşlemin sonucu 0'dır.
İşlemdeki tüm üslü terimler kurallara uygun şekilde hesaplandığında; birinci terim 1, ikinci terim ise -1 sonucunu verir. Bu iki değerin toplamı sıfıra eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Üslü ifadeleri teker teker hesaplayalım.
(−2)−2=1(−2)2=14(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}
Negatif üs kuralına göre a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}'dir ve negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir.
2
Diğer üslü ifadelerin değerlerini belirleyelim.
(−1)2025=−1(-1)^{2025} = -1 ve 50=15^0 = 1
-1'in tek kuvvetleri -1'dir. Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir.
3
Bulunan değerleri ana işlemde yerine koyalım.
(14⋅4)+(−1⋅1)(\frac{1}{4} \cdot 4) + (-1 \cdot 1)
İşlem önceliğine göre önce çarpma işlemleri yapılır.
4
Çarpma ve toplama işlemlerini tamamlayalım.
1+(−1)=01 + (-1) = 0
Bir sayı ile toplamsal tersinin toplamı sıfırdır.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda temel kurallar: Negatif üs, sıfırıncı kuvvet ve negatif tabanların kuvvetleri.

İpuçları

1
İşlem önceliğine dikkat ederek önce üslü ifadelerin değerlerini bulun.
2
Negatif üs (a−n=1/ana^{-n} = 1/a^n) ve sıfırıncı kuvvet (a0=1a^0 = 1) kurallarını uygulayın.
3
(−2)−2(-2)^{-2} ifadesinin 1/41/4 olduğunu ve (−1)2025(-1)^{2025} ifadesinin tek kuvvetten dolayı −1-1 olduğunu fark edin.

Daha Fazla Pratik

Negatif tabanlarda parantez kullanımının sonuç üzerindeki etkisini pekiştirmek için benzer bir işlemde parantezsiz ifadeler kullanmayı deneyin.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 32Soru →
(−3)2−(−1)3(−1)4−3−1 \frac{(-3)^2 - (-1)^3}{(-1)^4 - 3^{-1}}
işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

İşlemin sonucu 15'tir.
İşlem önceliğine göre önce üslü ifadelerin değerleri bulunur. Pay kısmında (−3)2=9(-3)^2=9 ve (−1)3=−1(-1)^3=-1 değerleri yer alır; bu işlem 9−(−1)=109-(-1)=10 sonucunu verir. Paydada ise (−1)4=1(-1)^4=1 ve 3−1=1/33^{-1}=1/3 değerleri bulunur; bu işlem 1−1/3=2/31-1/3=2/3 sonucunu verir. Son olarak 1010 sayısı 2/32/3 kesrine bölündüğünde, kesir ters çevrilip çarpılır (10⋅3/210 \cdot 3/2) ve sonuç 15 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki üslü ifadelerin değerleri hesaplanır.
(−3)2=9(-3)^2 = 9 ve (−1)3=−1(-1)^3 = -1.
Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
2
Pay kısmındaki çıkarma işlemi yapılır.
9−(−1)=9+1=109 - (-1) = 9 + 1 = 10.
İki negatif işaret yan yana geldiğinde toplamaya dönüşür.
3
Payda kısmındaki ifadeler hesaplanır.
(−1)4=1(-1)^4 = 1 ve 3−1=133^{-1} = \frac{1}{3}.
Negatif üs, tabanın çarpmaya göre tersini (takla atmasını) ifade eder.
4
Payda kısmındaki çıkarma işlemi yapılır.
1−13=33−13=231 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
Tam sayı ile kesir arasındaki çıkarma işleminde payda eşitlenir.
5
Son bölme işlemi uygulanır.
1023=10⋅32=302=15\frac{10}{\frac{2}{3}} = 10 \cdot \frac{3}{2} = \frac{30}{2} = 15.
Rasyonel sayılarda bölme işlemi yapılırken birinci kesir aynen kalır, ikinci kesir ters çevrilip çarpılır.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda işaret incelemesi, negatif üs ve işlem önceliği.

İpuçları

1
Üslü ifadeleri açarken parantezin dışındaki kuvvetin tek mi yoksa çift mi olduğuna dikkat ediniz.
2
(−3)2(-3)^2 pozitif bir değerdir, ancak (−1)3(-1)^3 negatif bir değerdir. 3−13^{-1} ifadesi ise bir rasyonel sayıdır.
3
Pay: 9−(−1)9 - (-1), Payda: 1−(1/3)1 - (1/3). Bu işlemleri tamamladıktan sonra bölme işlemini yapınız.

Daha Fazla Pratik

Negatif üslerin ve parantezli işlemlerin yer aldığı daha karmaşık rasyonel ifade soruları çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 33Soru →
3x+3x+3x9x=127\frac{3^x + 3^x + 3^x}{9^x} = \frac{1}{27}

eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Denklemi sağlayan x değeri 4'tür.
Verilen denklemde önce pay kısmındaki toplama işlemi çarpım haline getirilir (3⋅3x=3x+13 \cdot 3^x = 3^{x+1}). Payda 3 tabanına çevrilir (9x=32x9^x = 3^{2x}). Bölme işlemi kuralı uygulanarak sol taraf 31−x3^{1-x} bulunur. Sağ taraf 3−33^{-3} olarak yazıldığında üsler eşitlenerek x=4x=4 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki tekrarlı toplamayı çarpma işlemine dönüştür.
3x+3x+3x=3⋅3x=3x+13^x + 3^x + 3^x = 3 \cdot 3^x = 3^{x+1}
n tane axa^x ifadesinin toplamı n⋅axn \cdot a^x şeklinde yazılır.
2
Paydadaki 9x9^x ifadesini 3 tabanında yaz.
9x=(32)x=32x9^x = (3^2)^x = 3^{2x}
Üslü ifadelerde tabanları eşitlemek, işlem yapmayı kolaylaştırır.
3
Eşitliğin sol tarafındaki bölme işlemini yap.
3x+132x=3(x+1)−2x=31−x\frac{3^{x+1}}{3^{2x}} = 3^{(x+1) - 2x} = 3^{1-x}
Tabanları aynı olan üslü ifadeler bölünürken payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
4
Eşitliğin sağ tarafındaki 127\frac{1}{27} sayısını 3 tabanında yaz.
127=133=3−3\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}
Paydadaki üslü ifade paya çıkarılırken üssün işareti değişir.
5
Oluşan üslü denklemi çöz.
31−x=3−3⇒1−x=−3⇒x=43^{1-x} = 3^{-3} \Rightarrow 1-x = -3 \Rightarrow x = 4
Tabanları eşit olan üslü ifadelerin üsleri de eşittir.

Anahtar Kavram

Üslü Denklemler ve Taban Değiştirme

İpuçları

1
Pay kısmındaki 3x+3x+3x3^x + 3^x + 3^x ifadesini çarpma işlemi (n⋅axn \cdot a^x) olarak yazmayı deneyin.
2
Tüm ifadeleri ortak taban olan 3 tabanında yazın. 9x=(32)x9^x = (3^2)^x ve 127=3−3\frac{1}{27} = 3^{-3} dönüşümlerini kullanın.
3
İfadeyi sadeleştirdikten sonra 31−x=3−33^{1-x} = 3^{-3} eşitliğini elde edeceksiniz. Buradan üsleri eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki 2x+2x4x=18\frac{2^x+2^x}{4^x} = \frac{1}{8} sorusunu çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 34Soru →
(−2)4−32+40(-2)^4 - 3^2 + 4^0

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İşlemin sonucu 8'dir.
Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif olduğu için (−2)4=16(-2)^4 = 16 değerini alır. 32=93^2 = 9 ve her sayının sıfırıncı kuvveti 11 olduğu için 40=14^0 = 1 olur. Bu değerler işlemde yerine konulduğunda 16−9+116 - 9 + 1 ifadesinden 88 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
(−2)4(-2)^4 ifadesinin değerini hesaplayınız.
(−2)4=(−2)⋅(−2)⋅(−2)⋅(−2)=16(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16
Negatif bir sayının çift kuvveti her zaman pozitiftir.
2
323^2 ifadesinin değerini hesaplayınız.
32=3⋅3=93^2 = 3 \cdot 3 = 9
Üslü sayı tanımı gereği taban kendisiyle kuvvet kadar çarpılır.
3
404^0 ifadesinin değerini belirleyiniz.
40=14^0 = 1
Sıfır hariç tüm sayıların sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir.
4
Bulunan değerleri ana işlemde yerine yazarak sonucu bulunuz.
16−9+1=7+1=816 - 9 + 1 = 7 + 1 = 8
İşlem önceliğine göre soldan sağa toplama ve çıkarma işlemleri gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Üslü ifadelerde temel hesaplama kuralları, negatif tabanların çift kuvvetleri ve sıfırıncı kuvvet kuralı.

İpuçları

1
Her bir üslü ifadenin değerini ayrı ayrı hesaplayarak başlayın.
2
Unutmayın; negatif bir sayının parantez dışındaki çift kuvveti pozitiftir ve bir sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir.
3
(−2)4=16(-2)^4 = 16, 32=93^2 = 9 ve 40=14^0 = 1 değerlerini 16−9+116 - 9 + 1 işleminde yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Negatif tabanların tek ve çift kuvvetleri arasındaki farkı pekiştirmek için (−3)2(-3)^2 ve (−3)3(-3)^3 ifadelerini içeren sorular çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 35Soru →

Aşağıda verilen işlemin sonucu kaçtır?

(−3)3−(−1)2024−(−2)2 (-3)^3 - (-1)^{2024} - (-2)^2
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -32

Cevap

-32
İşlemdeki üslü ifadeler tek tek çözüldüğünde; (−3)3(-3)^3 tek kuvvet olduğu için -27, (−1)2024(-1)^{2024} çift kuvvet olduğu için +1, (−2)2(-2)^2 çift kuvvet olduğu için +4 sonucunu verir. İşlem −27−(+1)−(+4)-27 - (+1) - (+4) haline gelir ve sonuç -32 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Her bir üslü ifadenin değerini hesapla.
(−3)3=−27(-3)^3 = -27
(−1)2024=1(-1)^{2024} = 1
(−2)2=4(-2)^2 = 4
Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.
2
Bulunan değerleri işlemdeki yerlerine yazarak çıkarma işlemlerini yap.
−27−1−4=−32-27 - 1 - 4 = -32
Tam sayılarla çıkarma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda negatif tabanın tek ve çift kuvvetlerinin işaret incelemesi.
Soru 36Soru →

x,yx, y ve zz gerçel sayıları aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

x=(−23)−2 x = (-2^3)^{-2}
y=−20+(−1)2026 y = -2^0 + (-1)^{2026}
z=(−2−1)3 z = (-2^{-1})^3

Buna göre, bu sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: z < y < x

Cevap

Doğru sıralama z < y < x şeklindedir.
Verilen ifadeler işlem önceliği ve üslü sayı kurallarına göre hesaplandığında; x pozitif bir kesir (1/64), y sıfır (0) ve z negatif bir kesir (-1/8) olarak bulunur. Bu nedenle en küçük z, sonra y, en büyük x olur.

Adım Adım Çözüm

1
x sayısının değerini hesapla.
x=(−23)−2=(−8)−2=1(−8)2=164x = (-2^3)^{-2} = (-8)^{-2} = \frac{1}{(-8)^2} = \frac{1}{64}
Parantez içindeki ifade önce hesaplanır, ardından negatif üs işlemi yapılır. Çift kuvvet sonucu pozitiftir.
2
y sayısının değerini hesapla.
y=−20+(−1)2026=−1+1=0y = -2^0 + (-1)^{2026} = -1 + 1 = 0
−20-2^0 ifadesinde parantez olmadığı için eksi işareti etkilenmez (−1-1). (−1)2026(-1)^{2026} ifadesinde kuvvet çift olduğu için sonuç +1+1 olur.
3
z sayısının değerini hesapla.
z=(−2−1)3=(−12)3=−18z = (-2^{-1})^3 = (-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}
Negatif tabanın tek kuvveti (3) alındığı için sonuç negatif kalır.
4
Bulunan değerleri karşılaştır.
z=−18z = -\frac{1}{8} (Negatif), y=0y = 0 (Sıfır), x=164x = \frac{1}{64} (Pozitif)
Negatif sayı en küçüktür, pozitif sayı en büyüktür. Sıralama: z < y < x.

Anahtar Kavram

Negatif Taban ve Üs Özellikleri

İpuçları

1
-2^0 ile (-2)^0 arasındaki farka dikkat ediniz. Parantez yoksa işaret üsten etkilenmez.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 37Soru →

2x=52^x = 5 ve 5y=645^y = 64 olduğuna göre, x⋅yx \cdot y çarpımının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Verilen denklemlerin yerine koyma yöntemiyle birleştirilmesi sonucunda x⋅yx \cdot y çarpımı 6 olarak hesaplanır.
Verilen iki denklem (2x)y=2x⋅y=64(2^x)^y = 2^{x \cdot y} = 64 şeklinde birleştirildiğinde, 64'ün 262^6 olduğu gerçeğiyle x⋅yx \cdot y çarpımının 6 olduğu sonucuna varılır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemdeki değeri ikinci denklemde yerine koyun.
5=2x5 = 2^x olduğu için 5y=645^y = 64 denkleminde 55 yerine 2x2^x yazılırsa (2x)y=64(2^x)^y = 64 elde edilir.
Farklı tabanlara sahip üslü ifadeleri tek bir tabanda birleştirmek için yerine koyma yöntemi kullanılır.
2
Üslü sayıların 'kuvvetin kuvveti' özelliğini uygulayın.
(2x)y=2x⋅y(2^x)^y = 2^{x \cdot y} olur. Dolayısıyla 2x⋅y=642^{x \cdot y} = 64 denklemine ulaşılır.
Üslü bir ifadenin tekrar kuvveti alındığında üslerin çarpılacağı kuralı ((an)m=an⋅m (a^n)^m = a^{n \cdot m} ) uygulanır.
3
64 sayısını 2'nin kuvveti olarak ifade edin ve üsleri eşitleyin.
64=2664 = 2^6 olduğundan 2x⋅y=262^{x \cdot y} = 2^6 eşitliği yazılır. Buradan x⋅y=6x \cdot y = 6 bulunur.
Tabanları aynı olan iki üslü ifade birbirine eşitse, üslerin de birbirine eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Üslü ifadelerde yerine koyma ve kuvvetin kuvveti özelliği

İpuçları

1
İkinci denklemdeki 5 sayısı yerine, birinci denklemde verilen eşitini yazmayı deneyin.
2
Üslü sayıların kuvvetinin kuvveti alındığında üslerin çarpıldığını ((an)m=an⋅m (a^n)^m = a^{n \cdot m} ) hatırlayın.
3
Son aşamada 2x⋅y=642^{x \cdot y} = 64 eşitliğine ulaşacaksınız. 64'ü 2'nin bir kuvveti olarak yazarak üsleri karşılaştırın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla 3a=53^a = 5 ve 5b=815^b = 81 ise a⋅ba \cdot b çarpımını bularak pratiğinizi geliştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 38Soru →

Aşağıdaki üslü ifadelerden hangisinin sonucu pozitiftir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−3)−4(-3)^{-4}

Cevap

Çift kuvvetin parantez dışındaki etkisi nedeniyle pozitif sonuç veren seçenek (−3)−4(-3)^{-4} ifadesidir.
Doğru seçenekte verilen (−3)−4(-3)^{-4} ifadesinde, taban negatif (-3) olmasına rağmen üs çift sayı (-4) olduğu için sonuç pozitif olur. Negatif üs sadece sayıyı ters çevirir (1/81), işaretini değiştirmez.

Adım Adım Çözüm

1
Seçeneklerin işaretlerini belirlemek için üslü sayıların işaret kuralları incelenir.
Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir. Parantez yoksa üs sadece sayıyı etkiler, işareti etkilemez.
Üslü ifadelerde işaret tespiti yapılırken tabanın işareti, üssün tekliği/çiftliği ve parantez durumu dikkate alınır.
2
A seçeneği incelenir: (−3)3(-3)^3
Taban negatif (-3), üs tek (3). Sonuç negatiftir (−27-27).
Negatif sayıların tek kuvveti negatiftir.
3
B seçeneği incelenir: −34-3^4
Parantez yok. 34=813^4 = 81, önündeki eksi ile sonuç −81-81.
Parantezsiz ifadelerde üs sadece sayıyı etkiler, öndeki eksi işareti kalır.
4
C seçeneği incelenir: (−3)−3(-3)^{-3}
Üs negatif ama tek. Sonuç 1(−3)3=−127\frac{1}{(-3)^3} = -\frac{1}{27} olur. İşaret negatiftir.
Üssün negatif olması sayının işaretini değiştirmez, sadece çarpma işlemine göre tersini alır.
5
D seçeneği incelenir: (−3)−4(-3)^{-4}
Taban negatif (-3), üs çift (-4). Sonuç 1(−3)4=181\frac{1}{(-3)^4} = \frac{1}{81} olur. İşaret pozitiftir.
Negatif bir sayının parantez dışındaki çift kuvveti daima pozitiftir.
6
E seçeneği incelenir: −3−4-3^{-4}
Parantez yok. 3−4=1813^{-4} = \frac{1}{81}, önündeki eksi ile sonuç −181-\frac{1}{81}.
Parantezsiz olduğu için sonuç negatiftir.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda işaret incelemesi yapılırken; negatif sayıların çift kuvvetlerinin pozitif, tek kuvvetlerinin negatif olduğu ve parantez durumunun önemi unutulmamalıdır.
Soru 39Soru →
x<0x < 0 olmak üzere,
(−x)6⋅(−x2)−3⋅(−x)−1(−x3)2⋅(−x)−5 \frac{(-x)^{6} \cdot (-x^2)^{-3} \cdot (-x)^{-1}}{(-x^3)^2 \cdot (-x)^{-5}}
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −x−2-x^{-2}

Cevap

−x−2-x^{-2}
Verilen ifade adım adım sadeleştirildiğinde; pay kısmı x−1x^{-1}, payda kısmı −x-x olarak bulunur. Bu iki ifadenin bölümü −x−2-x^{-2} sonucunu verir. Negatif xx değeri için bu sonuç negatif bir reel sayıya karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1
Her bir üslü ifadeyi işaret ve taban kurallarına göre sadeleştir.
Pay: (−x)6=x6(-x)^6 = x^6, (−x2)−3=−x−6(-x^2)^{-3} = -x^{-6}, (−x)−1=−x−1(-x)^{-1} = -x^{-1}. Payda: (−x3)2=x6(-x^3)^2 = x^6, (−x)−5=−x−5(-x)^{-5} = -x^{-5}.
Çift kuvvetler negatifi pozitif yapar, tek kuvvetler negatifi korur. Parantez dışındaki üsler işareti etkiler.
2
Paydaki ifadeleri çarp.
x6⋅(−x−6)⋅(−x−1)=x6−6−1=x−1x^6 \cdot (-x^{-6}) \cdot (-x^{-1}) = x^{6-6-1} = x^{-1}
Tabanlar aynı olduğunda üsler toplanır. (−1)⋅(−1)=+1(-1) \cdot (-1) = +1 olduğu için katsayı pozitiftir.
3
Paydadaki ifadeleri çarp.
x6⋅(−x−5)=−x6−5=−x1=−xx^6 \cdot (-x^{-5}) = -x^{6-5} = -x^1 = -x
Tabanlar aynı, üsler toplanır. İşaret negatiftir.
4
Payı paydaya böl.
x−1−x1=−x−1−1=−x−2\frac{x^{-1}}{-x^1} = -x^{-1-1} = -x^{-2}
Bölme işleminde payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda negatif taban, çift/tek kuvvet ve parantez kuralları.

İpuçları

1
Önce parantez içindeki işaretleri ve kuvvetlerin tek/çift olma durumunu inceleyerek her bir terimi xx'in kuvveti şeklinde yazın.
2
(−x)6=x6(-x)^6 = x^6 olurken, (−x2)−3=−x−6(-x^2)^{-3} = -x^{-6} olduğuna dikkat edin.

Daha Fazla Pratik

Negatif üslerin kesirli ifadeye dönüşümü ile ilgili sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 40Soru →
3x⋅5y=135 3^x \cdot 5^y = 135
5x⋅3y=375 5^x \cdot 3^y = 375

eşitlikleri veriliyor. Buna göre, x2−y2 x^2 - y^2 ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İfadenin değeri 8'dir.
Soruda verilen iki üslü denklem, değişkenleri (xx ve yy) doğrudan bulmak yerine, sistem olarak düşünülmelidir. Denklemler taraf tarafa çarpıldığında tabanlar birleştirilerek 15x+y=15415^{x+y}=15^4 elde edilir, bu da x+y=4x+y=4 sonucunu verir. Denklemler taraf tarafa bölündüğünde ise (3/5)x−y=(3/5)2(3/5)^{x-y}=(3/5)^2 elde edilir, bu da x−y=2x-y=2 sonucunu verir. İstenen x2−y2x^2-y^2 ifadesi, iki kare farkı özdeşliği gereği (x−y)(x+y)(x-y)(x+y) çarpımına eşittir. Dolayısıyla sonuç 2⋅4=82 \cdot 4 = 8 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki eşitliği taraf tarafa çarpın.
(3x⋅5y)⋅(5x⋅3y)=135⋅375 (3^x \cdot 5^y) \cdot (5^x \cdot 3^y) = 135 \cdot 375
(3x⋅3y)⋅(5x⋅5y)=(27⋅5)⋅(3⋅125) (3^x \cdot 3^y) \cdot (5^x \cdot 5^y) = (27 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 125)
3x+y⋅5x+y=33⋅31⋅51⋅53 3^{x+y} \cdot 5^{x+y} = 3^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 5^3
15x+y=34⋅54=154 15^{x+y} = 3^4 \cdot 5^4 = 15^4
Buradan x+y=4 x+y = 4 bulunur.
Tabanları farklı üslü ifadelerde üsler toplamını bulmak için denklemlerin çarpılması, ortak üs parantezine almayı sağlar.
2
Verilen iki eşitliği taraf tarafa bölün (birinciyi ikinciye).
3x⋅5y5x⋅3y=135375 \frac{3^x \cdot 5^y}{5^x \cdot 3^y} = \frac{135}{375}
3x3y⋅5y5x=2775=925 \frac{3^x}{3^y} \cdot \frac{5^y}{5^x} = \frac{27}{75} = \frac{9}{25}
3x−y⋅5−(x−y)=(35)2 3^{x-y} \cdot 5^{-(x-y)} = \left(\frac{3}{5}\right)^2
(35)x−y=(35)2 \left(\frac{3}{5}\right)^{x-y} = \left(\frac{3}{5}\right)^2
Buradan x−y=2 x-y = 2 bulunur.
Üsler farkını bulmak için denklemlerin bölünmesi, aynı tabanların oranlanmasını sağlar.
3
İstenen ifadeyi iki kare farkı özdeşliği ile hesaplayın.
x2−y2=(x−y)⋅(x+y) x^2 - y^2 = (x-y) \cdot (x+y)
x2−y2=2⋅4=8 x^2 - y^2 = 2 \cdot 4 = 8
xx ve yy değerlerini ayrı ayrı bulmak yerine özdeşlik kullanmak daha kısa ve güvenilir bir yoldur.

Anahtar Kavram

Üslü Denklemlerde Sistem Çözümü ve İki Kare Farkı

İpuçları

1
xx ve yy değerlerini tek tek bulmaya çalışmak yerine, eşitlikleri taraf tarafa çarpmayı deneyin.
2
Eşitlikleri taraf tarafa çarptığınızda x+yx+y, böldüğünüzde ise x−yx-y ile ilgili bir bağıntı bulacaksınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış köklü sayı sistemleri soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

x=3x=3 ve y=1y=1 değerlerini deneme-yanılma yoluyla veya 135=33⋅51135 = 3^3 \cdot 5^1 asal çarpanlarına ayırma yöntemiyle doğrudan bularak da sonuca gidilebilir: 32−12=9−1=83^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8.
Tahmini Süre:3m 0s
ÖncekiSayfa 2 / 3Sonraki
Üslü İfadeler Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2 | Examkin