Kümeler ve Fonksiyonlar

Soru 281Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonları için $f$ fonksiyonunun sabit fonksiyon, $g$ fonksiyonunun ise birim fonksiyon olduğu bilinmektedir.

f(x) = (a - 2)x + b + 3

g(2x - 1) = (c + 1)x + d - 4

eşitlikleri verilmiştir.

f(2026) + g(7) = 15

olduğuna göre, $a + b + c + d$ toplamı kaçtır?

12

14

16

18

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Doğru cevap 16'dır.

Soruda verilen fonksiyon çeşitlerinin tanımları kullanılarak bilinmeyen katsayılar bulunur. Sabit fonksiyonun değişken katsayısı sıfırdır (

a-2=0

). Birim fonksiyonun kuralı gereği

g(2x-1) = 2x-1

olmalıdır, bu da katsayıların eşitlenmesini sağlar (

c+1=2, d-4=-1

). Son olarak

f

ve

g

değerleri yerine yazılarak

b

bulunur ve tüm değerler toplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Sabit fonksiyonun özelliğini kullanarak a değerini bulma

a = 2

f(x)

sabit fonksiyon ise

x

'li terimin katsayısı 0 olmalıdır.

a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2

. Bu durumda

f(x) = b + 3

olur.

2

Birim fonksiyonun özelliğini kullanarak c ve d değerlerini bulma

c = 1

ve

d = 3

g

birim fonksiyon ise içi dışına eşittir, yani

g(2x - 1) = 2x - 1

olmalıdır. Verilen denklem

(c + 1)x + d - 4

ile eşleştirildiğinde:

x

'in katsayısı:

c + 1 = 2 \Rightarrow c = 1

Sabit terim:

d - 4 = -1 \Rightarrow d = 3

bulunur.

3

Verilen eşitliği kullanarak b değerini bulma

b = 5

f

sabit fonksiyon olduğundan

f(2026) = b + 3

tür.

g

birim fonksiyon olduğundan

g(7) = 7

dir.
Denklem:

(b + 3) + 7 = 15 \Rightarrow b + 10 = 15 \Rightarrow b = 5

.

4

İstenen toplamı hesaplama

16

a + b + c + d = 2 + 5 + 1 + 3 = 11 + 5 = 16

.

Anahtar Kavram

Sabit fonksiyon (

f(x)=c

) değişken içermez. Birim fonksiyon (

g(x)=x

) her elemanı kendisine eşler.

Soru 282Soru →

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde, her $n$ pozitif tam sayısı için $A_n$ kümesi aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:

A_n = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x, n \text{ sayısının tam katıdır} \}

Buna göre, bu kümelerle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi daima doğrudur?

A_3 \cup A_4 = A_{12}

A_6 \subseteq A_{12}

A_4 \cap A_6 = A_{24}

A_{12} \cap A_{18} = A_{36}

A_5 \setminus A_{10} = \emptyset

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $A_{12} \cap A_{18} = A_{36}$

Cevap

İki kümenin kesişimini ifade eden

A_{12} \cap A_{18} = A_{36}

eşitliği doğrudur.

Verilen tanıma göre

A_n

kümesi

n

'nin katlarını içerir. İki kümenin kesişimi (

A_a \cap A_b

), hem

a

'nın hem de

b

'nin katı olan sayıları, yani EKOK(

a,b

)'nin katlarını içerir.

12

ve

18

'in en küçük ortak katı

36

olduğundan,

A_{12} \cap A_{18}

kümesi

36

'nın katlarına (

A_{36}

) eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Küme tanımını analiz et.

A_n

,

n

sayısının tam katlarından oluşan kümedir. Örneğin

A_3 = \{..., -3, 0, 3, 6, ...\}

.

Sorudaki matematiksel notasyonu somutlaştırmak için.

2

Kesişim (

\cap

) işleminin mantığını bu tanıma uygula.

x \in A_a \cap A_b

olması için,

x

'in hem

a

'nın hem de

b

'nin katı olması gerekir. Bu da

x

'in EKOK(

a,b

)'nin katı olması demektir.

Ortak katların en küçüğü (EKOK) mantığını kullanarak kesişim kümesini bulmak için.

3

D seçeneğini kontrol et:

A_{12} \cap A_{18}

.

EKOK(12, 18) hesaplanır.

12 = 2^2 \cdot 3

,

18 = 2 \cdot 3^2

. EKOK =

2^2 \cdot 3^2 = 36

. Yani kesişim kümesi

A_{36}

'dır.

Verilen seçeneğin doğruluğunu matematiksel olarak kanıtlamak için.

4

Diğer seçeneklerdeki hataları belirle.

A şıkkı birleşim/kesişim hatasıdır. B şıkkı ters alt küme mantığıdır. C şıkkı EKOK yerine çarpma hatasıdır.

Yanlış seçenekleri eleyerek sağlamasını yapmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde İşlemler ve Bölünebilme İlişkisi

İpuçları

1

Kümelerin elemanlarını düşünün:

A_3 = \{3, 6, 9, 12, ...\}

,

A_4 = \{4, 8, 12, 16, ...\}

.

2

İki kümenin kesişimi (

\cap

), her iki sayının da ortak katı olan sayıları içerir.

3

Ortak katların en küçüğünü (EKOK) bulun.

A_a \cap A_b = A_{\text{EKOK}(a,b)}

kuralını hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

EKOK ve EBOB kavramlarının kümelerle ilişkisini inceleyen problemler çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 283Soru →

$A = \{1, 2, 3, 4\}$ kümesi üzerinde tanımlı bir $f: A \rightarrow A$ fonksiyonu veriliyor.

Her

x \in A

için,

(f \circ f)(x) = 2

eşitliği sağlandığına göre, bu koşula uyan kaç farklı

f

fonksiyonu tanımlanabilir?

8

9

10

12

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10

Verilen

(f \circ f)(x) = 2

koşulu, fonksiyonun görüntü kümesindeki elemanların tekrar fonksiyona girdiğinde 2 sonucunu vermesini gerektirir. Bu durum

f(2)=2

olmasını zorunlu kılar. Kalan elemanlar ya doğrudan 2'ye gitmeli ya da görüntüsü 2 olan başka bir elemana gitmelidir. Bu durumları sistematik olarak saydığımızda toplam 10 farklı fonksiyon elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Koşulu analiz et

(f \circ f)(x) = 2

olması,

f

fonksiyonunun görüntü kümesindeki her elemanın

f

altındaki görüntüsünün 2 olduğunu gösterir.

Bileşke fonksiyon tanımı gereği

f(f(x)) = 2

ise,

f(x)

değerleri ne olursa olsun, bu değerlerin tekrar

f

fonksiyonuna girmesiyle sonuç 2 çıkmalıdır.

2

Sabit nokta kuralını belirle

f(2) = 2

olmak zorundadır.

Eğer

x=2

alırsak,

(f \circ f)(2) = f(f(2)) = 2

olur.

f(2)

değeri

f

fonksiyonunun görüntü kümesindedir, dolayısıyla bu değerin görüntüsü de 2 olmalıdır.

3

Görüntü kümesi üzerinden durumları sınıflandır

K = \{x \in A \mid f(x) = 2\}

kümesini tanımlayalım.

2 \in K

olmalıdır.

Fonksiyonun yapısını

f(x)=2

olan elemanlar (K kümesi) ve olmayanlar üzerinden kurmak çözümü basitleştirir.

4

K kümesinin eleman sayısına göre durumları hesapla

Durum 1:

|K|=4

(Tüm elemanlar 2'ye gider). Sadece 1 fonksiyon vardır (

f(x)=2

).
Durum 2:

|K|=3

.

K=\{2, a, b\}

. Dışarıda kalan 1 eleman (

c

)

K \setminus \{2\}

kümesine gitmelidir. Seçim:

\binom{3}{2} \times 2^1 = 3 \times 2 = 6

fonksiyon.
Durum 3:

|K|=2

.

K=\{2, a\}

. Dışarıda kalan 2 eleman (

b, c

)

K \setminus \{2\}

kümesine (yani

a

'ya) gitmelidir. Seçim:

\binom{3}{1} \times 1^2 = 3

fonksiyon.
Durum 4:

|K|=1

.

K=\{2\}

. Dışarıdaki elemanlar

K \setminus \{2\} = \emptyset

kümesine gidemez. 0 fonksiyon.

Kombinasyon hesabı ile her senaryodaki fonksiyon sayısı bulunur.

5

Toplamı bul

1 + 6 + 3 + 0 = 10

farklı fonksiyon.

Ayrık durumların toplamı.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon ve Sabit Fonksiyon İlişkisi

İpuçları

1

Önce

x=2

için

f(f(2))

değerini düşünün.

f(2)

ne olmak zorundadır?

2

f(2)=2

olduğunu bulduktan sonra, diğer elemanların (

1, 3, 4

) görüntülerini düşünün. Bu elemanlar ya doğrudan 2'ye gidebilir ya da görüntüsü 2 olan başka bir sayıya gidebilir.

3

Kümeyi iki parçaya ayırın: Doğrudan 2'ye gidenler (

K

) ve dolaylı yoldan 2'ye gidenler (

L

).

L

kümesindeki elemanlar

K

'ya gitmek zorundadır, ancak

K

sadece 2'den oluşamaz.

Daha Fazla Pratik

Aynı soru

A=\{1,2,3\}

kümesi için sorulsaydı cevap kaç olurdu? (Cevap: 3)

Alternatif Yöntem

Graf teorisi ile düşünülürse: 2 nolu düğümde bir döngü (

2 \to 2

) olmalıdır. Diğer düğümler ya doğrudan 2'ye bağlanmalı ya da 2'ye giden başka bir düğüme bağlanmalıdır (derinlik en fazla 2). Ağaç yapısı çizilerek sayılabilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 284Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f(x) = (a-2)x^2 + (b+4)x + c-3$ fonksiyonu birim (özdeş) fonksiyondur.

Tanım kümesi $\mathbb{R} - \{2\}$ olan $g(x) = \frac{mx + 12}{3x - 6}$ fonksiyonu ise sabit fonksiyondur.

Buna göre, $f(b) + a \cdot g(c) - m$ ifadesinin değeri kaçtır?

-13

-2

-1

3

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

İşlemin sonucu -1'dir.

Birim fonksiyon f(x)=x olduğundan polinom eşitliği ile a=2, b=-3 bulunur. Sabit rasyonel fonksiyonda katsayılar oranı (m/3 = 12/-6) eşitliğinden m=-6 ve fonksiyonun sabit değeri -2 bulunur. Değerler yerine konulduğunda sonuç -1 çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

Birim fonksiyon tanımını uygula: f(x) = x olmalıdır.

Katsayılar: a-2=0 => a=2, b+4=1 => b=-3, c-3=0 => c=3.

Birim fonksiyonda x kareli terim olmaz, x'in katsayısı 1 ve sabit terim 0 olmalıdır.

2

Sabit fonksiyon olma şartını rasyonel fonksiyon için uygula.

m/3 = 12/(-6) => m/3 = -2 => m = -6. Sabit değer g(x) = -2.

Rasyonel bir fonksiyonun sabit olması için pay ve paydadaki katsayıların oranları eşit olmalıdır.

3

İstenen değerleri yerine koyarak işlemi hesapla: f(b) + a*g(c) - m.

f(-3) + 2*g(3) - (-6) => (-3) + 2*(-2) + 6 = -3 - 4 + 6 = -1.

f birim olduğu için f(-3)=-3, g sabit olduğu için g(3)=-2 değerini alır.

Anahtar Kavram

Birim fonksiyon f(x)=x kuralına, sabit fonksiyon f(x)=c kuralına sahiptir. Rasyonel fonksiyonların sabit olması için katsayılar orantılı olmalıdır.

İpuçları

1

Birim fonksiyon, içine ne atılırsa dışarı aynısını çıkaran fonksiyondur (f(x)=x). Polinom eşitliğini buna göre kurunuz.

2

Rasyonel bir ifadenin (kesirli fonksiyonun) sabit fonksiyon olması için pay ve paydadaki x'li terimlerin ve sabit sayıların oranı birbirine eşit olmalıdır.

3

g(x) için m/3 = 12/(-6) eşitliğini kullanın. Ayrıca f(b) değeri, f birim olduğu için doğrudan b'ye eşittir.

Daha Fazla Pratik

Birim ve sabit fonksiyonların bileşke işlemindeki etkilerini (fog veya gof) inceleyen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

g(x) sabit fonksiyon ise g(x) = k diyebiliriz. İçler dışlar çarpımı yaparak mx+12 = k(3x-6) eşitliğinden katsayıları eşitleyerek de k ve m bulunabilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 285Soru →

Gerçel sayılar kümesi ( $\mathbb{R}$ ) üzerinde $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

A = \{x \in \mathbb{R} : |x - 1| \le 3\}

B = \{y \in \mathbb{R} : |y| \le 2\}

Kartezyen çarpım kümesi üzerinde, $\beta = \{(x,y) \in A \times B \mid y \le x\}$ bağıntısı tanımlanıyor.

Buna göre, analitik düzlemde $\beta$ bağıntısının grafiğinin oluşturduğu kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

8

12

16

20

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Bölgenin alanı 16 birimkaredir.

Verilen eşitsizlikler çözüldüğünde A kümesi [-2, 4], B kümesi [-2, 2] aralığındadır. A x B kümesi 6x4 boyutlarında bir dikdörtgendir. y ≤ x koşulu incelendiğinde, x'in [-2, 2] aralığında olduğu kısımda alan karenin yarısı (8 br²), x'in [2, 4] aralığında olduğu kısımda ise alanın tamamı (8 br²) koşulu sağlar. Toplam alan 16 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin aralığını belirle.

|x - 1| \le 3 \implies -3 \le x - 1 \le 3 \implies -2 \le x \le 4

. Yani

A = [-2, 4]

.

Mutlak değer eşitsizliğini açarak x'in tanım aralığını bulmak gerekir.

2

B kümesinin aralığını belirle.

|y| \le 2 \implies -2 \le y \le 2

. Yani

B = [-2, 2]

.

y'nin tanım aralığını belirlemek için.

3

A \times B

bölgesini ve

y \le x

koşulunu analiz et.

Bölge,

x \in [-2, 4]

ve

y \in [-2, 2]

olan dikdörtgendir.

y \le x

koşulu,

y=x

doğrusunun altını ifade eder. Bölgeyi

x=2

noktasından ikiye ayıralım.

Geometrik şekli parçalayarak alan hesabını kolaylaştırmak için.

4

Birinci parça (

x \in [-2, 2]

) alanını hesapla.

Bu aralıkta

y \in [-2, 2]

ile bir kare oluşur.

y=x

doğrusu kareyi (köşegen) iki eşit üçgene böler. Alt kısım (

y \le x

) alanı:

\frac{4 \times 4}{2} = 8

birimkare.

Kare şeklindeki bölgede köşegen alanı ortadan ikiye böler.

5

İkinci parça (

x \in [2, 4]

) alanını hesapla.

Bu aralıkta

x \ge 2

ve

y \le 2

olduğu için,

y \le 2 \le x

eşitsizliği her zaman sağlanır (

y \le x

). Yani bu dikdörtgenin tamamı taralıdır. Alan:

(4-2) \times (2 - (-2)) = 2 \times 4 = 8

birimkare.

x değerleri y'nin maksimum değerinden büyük olduğu için tüm bölge koşulu sağlar.

6

Toplam alanı bul.

Toplam Alan =

8 + 8 = 16

birimkare.

Parçaların alanları toplanır.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümelerinin analitik düzlemde oluşturduğu bölgelerin alan hesabı ve eşitsizlik grafikleri.

İpuçları

1

Önce mutlak değer eşitsizliklerini çözerek A ve B kümelerinin sayı doğrusundaki aralıklarını bulunuz.

2

Analitik düzlemde x ekseninde A aralığını, y ekseninde B aralığını işaretleyerek oluşan dikdörtgeni çizin ve y = x doğrusunu ekleyin.

3

Bölgeyi x = 2 doğrusu ile ikiye ayırın. Sol tarafta bir kare ve köşegen, sağ tarafta ise bir dikdörtgen oluşacaktır. y ≤ x koşulunun nereleri taradığını bu parçalarda inceleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'y ≥ x + 1' koşulu veya dairesel bir bölge (

x^2 + y^2 \le r^2

) ile deneyin.

Alternatif Yöntem

Toplam alandan (24), koşulu SAĞLAMAYAN (y > x) bölgenin alanını çıkararak da bulunabilir. y > x sadece x ∈ [-2, 2] aralığındaki karenin üst üçgeninde (Alan=8) sağlanır. 24 - 8 = 16.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 286Soru →

Gerçel sayılar kümesinde

\{0, 1\}

kümesi dışındaki sayılar için tanımlı bir

f

fonksiyonu, tanım kümesindeki her

x

değeri için,

f(x) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{2}{x}

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, $f(2)$ değeri kaçtır?

-\frac{5}{2}

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

\frac{5}{2}

\frac{7}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{7}{2}$

Cevap

Fonksiyonun döngüsel özelliği kullanılarak kurulan denklem sisteminin çözümünden

7/2

elde edilir.

Verilen fonksiyonel denklemde

x

değişkenine sırasıyla

2

,

-1

ve

1/2

değerleri verildiğinde, bilinmeyenler (

f(2), f(-1), f(1/2)

) arasında kapalı bir denklem sistemi oluşur. Bu sistem çözüldüğünde doğru değer olan

7/2

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İstenen değer olan

f(2)

'yi bulmak için denklemde

x=2

değerini yerine yaz.

f(2) + f\left(\frac{1}{1-2}\right) = \frac{2}{2} \Rightarrow f(2) + f(-1) = 1

(1. Denklem)

Fonksiyon denkleminde bilinmeyen bir terim (

f(-1)

) ortaya çıkar, bunu bulmak için bir sonraki adıma geçilir.

2

Ortaya çıkan

f(-1)

değerini bulmak için denklemde

x=-1

yaz.

f(-1) + f\left(\frac{1}{1-(-1)}\right) = \frac{2}{-1} \Rightarrow f(-1) + f\left(\frac{1}{2}\right) = -2

(2. Denklem)

Yeni bir bilinmeyen (

f(1/2)

) ortaya çıkar, döngüyü tamamlamak için işleme devam edilir.

3

Ortaya çıkan

f(1/2)

değerini bulmak için denklemde

x=1/2

yaz.

f\left(\frac{1}{2}\right) + f\left(\frac{1}{1-0.5}\right) = \frac{2}{0.5} \Rightarrow f\left(\frac{1}{2}\right) + f(2) = 4

(3. Denklem)

Tekrar

f(2)

terimine ulaşıldığı için 3 bilinmeyenli 3 denklemden oluşan bir sistem elde edilir.

4

Elde edilen 3 denklemi taraf tarafa işlemlere sokarak

f(2)

'yi çöz.

f(2)=a, f(-1)=b, f(1/2)=c

olsun.

Sistem:

a+b=1

,

b+c=-2

,

c+a=4

. 1. denklemden

b=1-a

bulunur. 2. denklemde yerine yazılırsa

(1-a)+c=-2 \Rightarrow c-a=-3

olur. Son olarak

c+a=4

ve

c-a=-3

denklemleri taraf tarafa çıkarılırsa (

2a = 7

) bulunur.

Lineer denklem sistemini çözerek hedef değişkene ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bu soru tipi 'Döngüsel (Cyclic) Fonksiyonlar' olarak bilinir. Verilen bağıntıda

x

yerine sırasıyla değerler verilerek başa dönen bir denklem sistemi oluşturulur.

İpuçları

1

Denklemde doğrudan

x=2

yazın. Karşınıza çıkan yeni

f(...)

değeri için tekrar

x

yerine o değeri yazarak ilerleyin.

2

x=2

yazdığınızda

f(-1)

terimi,

x=-1

yazdığınızda

f(1/2)

terimi,

x=1/2

yazdığınızda ise tekrar

f(2)

terimi ortaya çıkar.

3

Elinizde

f(2)

,

f(-1)

ve

f(1/2)

bilinmeyenlerinden oluşan 3 adet denklem var. Bu denklem sistemini çözerek

f(2)

'yi yalnız bırakın.

Daha Fazla Pratik

f(x) + 2f(1/x) = x

eşitliğini sağlayan fonksiyonda

f(3)

değerini bulunuz.

Alternatif Yöntem

Genel çözüm için

y = \frac{1}{1-x}

dönüşümü üç kez uygulanarak

f(x)

fonksiyonunun kuralı

f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1-x}{1} + x

benzeri bir yapı ile genel olarak bulunabilir, ancak sayısal değerler üzerinden gitmek daha hızlıdır.

Tahmini Süre:4m 0s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem