Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorFonksiyon Tanımı ve Değer Bulma
Gerçel sayılar kümesinde {0,1}\{0, 1\} kümesi dışındaki sayılar için tanımlı bir ff fonksiyonu, tanım kümesindeki her xx değeri için,
f(x)+f(11−x)=2xf(x) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{2}{x}
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

  1. A
    −52-\frac{5}{2}
  2. B
    12\frac{1}{2}
  3. C
    32\frac{3}{2}
  4. D
    52\frac{5}{2}
  5. 72\frac{7}{2}Cevap

Cevap

Fonksiyonun döngüsel özelliği kullanılarak kurulan denklem sisteminin çözümünden 7/27/2 elde edilir.
Verilen fonksiyonel denklemde xx değişkenine sırasıyla 22, −1-1 ve 1/21/2 değerleri verildiğinde, bilinmeyenler (f(2),f(−1),f(1/2)f(2), f(-1), f(1/2)) arasında kapalı bir denklem sistemi oluşur. Bu sistem çözüldüğünde doğru değer olan 7/27/2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen değer olan f(2)f(2)'yi bulmak için denklemde x=2x=2 değerini yerine yaz.
f(2)+f(11−2)=22⇒f(2)+f(−1)=1f(2) + f\left(\frac{1}{1-2}\right) = \frac{2}{2} \Rightarrow f(2) + f(-1) = 1 (1. Denklem)
Fonksiyon denkleminde bilinmeyen bir terim (f(−1)f(-1)) ortaya çıkar, bunu bulmak için bir sonraki adıma geçilir.
2
Ortaya çıkan f(−1)f(-1) değerini bulmak için denklemde x=−1x=-1 yaz.
f(−1)+f(11−(−1))=2−1⇒f(−1)+f(12)=−2f(-1) + f\left(\frac{1}{1-(-1)}\right) = \frac{2}{-1} \Rightarrow f(-1) + f\left(\frac{1}{2}\right) = -2 (2. Denklem)
Yeni bir bilinmeyen (f(1/2)f(1/2)) ortaya çıkar, döngüyü tamamlamak için işleme devam edilir.
3
Ortaya çıkan f(1/2)f(1/2) değerini bulmak için denklemde x=1/2x=1/2 yaz.
f(12)+f(11−0.5)=20.5⇒f(12)+f(2)=4f\left(\frac{1}{2}\right) + f\left(\frac{1}{1-0.5}\right) = \frac{2}{0.5} \Rightarrow f\left(\frac{1}{2}\right) + f(2) = 4 (3. Denklem)
Tekrar f(2)f(2) terimine ulaşıldığı için 3 bilinmeyenli 3 denklemden oluşan bir sistem elde edilir.
4
Elde edilen 3 denklemi taraf tarafa işlemlere sokarak f(2)f(2)'yi çöz. f(2)=a,f(−1)=b,f(1/2)=cf(2)=a, f(-1)=b, f(1/2)=c olsun.
Sistem: a+b=1a+b=1, b+c=−2b+c=-2, c+a=4c+a=4. 1. denklemden b=1−ab=1-a bulunur. 2. denklemde yerine yazılırsa (1−a)+c=−2⇒c−a=−3(1-a)+c=-2 \Rightarrow c-a=-3 olur. Son olarak c+a=4c+a=4 ve c−a=−3c-a=-3 denklemleri taraf tarafa çıkarılırsa (2a=72a = 7) bulunur.
Lineer denklem sistemini çözerek hedef değişkene ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bu soru tipi 'Döngüsel (Cyclic) Fonksiyonlar' olarak bilinir. Verilen bağıntıda xx yerine sırasıyla değerler verilerek başa dönen bir denklem sistemi oluşturulur.

İpuçları

1
Denklemde doğrudan x=2x=2 yazın. Karşınıza çıkan yeni f(...)f(...) değeri için tekrar xx yerine o değeri yazarak ilerleyin.
2
x=2x=2 yazdığınızda f(−1)f(-1) terimi, x=−1x=-1 yazdığınızda f(1/2)f(1/2) terimi, x=1/2x=1/2 yazdığınızda ise tekrar f(2)f(2) terimi ortaya çıkar.
3
Elinizde f(2)f(2), f(−1)f(-1) ve f(1/2)f(1/2) bilinmeyenlerinden oluşan 3 adet denklem var. Bu denklem sistemini çözerek f(2)f(2)'yi yalnız bırakın.

Daha Fazla Pratik

f(x)+2f(1/x)=xf(x) + 2f(1/x) = x eşitliğini sağlayan fonksiyonda f(3)f(3) değerini bulunuz.

Alternatif Yöntem

Genel çözüm için y=11−xy = \frac{1}{1-x} dönüşümü üç kez uygulanarak f(x)f(x) fonksiyonunun kuralı f(x)=1x+1−x1+xf(x) = \frac{1}{x} + \frac{1-x}{1} + x benzeri bir yapı ile genel olarak bulunabilir, ancak sayısal değerler üzerinden gitmek daha hızlıdır.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyon Tanımı ve Değer Bulma

Bu konudan daha fazla soru