Examkin

Soru

Zorluk: ZorFonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\} kümesi üzerinde tanımlı bir f:A→Af: A \rightarrow A fonksiyonu veriliyor.

Her x∈Ax \in A için,
(f∘f)(x)=2(f \circ f)(x) = 2
eşitliği sağlandığına göre, bu koşula uyan kaç farklı ff fonksiyonu tanımlanabilir?
  1. A
    8
  2. B
    9
  3. 10Cevap
  4. D
    12
  5. E
    16

Cevap

10
Verilen (f∘f)(x)=2(f \circ f)(x) = 2 koşulu, fonksiyonun görüntü kümesindeki elemanların tekrar fonksiyona girdiğinde 2 sonucunu vermesini gerektirir. Bu durum f(2)=2f(2)=2 olmasını zorunlu kılar. Kalan elemanlar ya doğrudan 2'ye gitmeli ya da görüntüsü 2 olan başka bir elemana gitmelidir. Bu durumları sistematik olarak saydığımızda toplam 10 farklı fonksiyon elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulu analiz et
(f∘f)(x)=2(f \circ f)(x) = 2 olması, ff fonksiyonunun görüntü kümesindeki her elemanın ff altındaki görüntüsünün 2 olduğunu gösterir.
Bileşke fonksiyon tanımı gereği f(f(x))=2f(f(x)) = 2 ise, f(x)f(x) değerleri ne olursa olsun, bu değerlerin tekrar ff fonksiyonuna girmesiyle sonuç 2 çıkmalıdır.
2
Sabit nokta kuralını belirle
f(2)=2f(2) = 2 olmak zorundadır.
Eğer x=2x=2 alırsak, (f∘f)(2)=f(f(2))=2(f \circ f)(2) = f(f(2)) = 2 olur. f(2)f(2) değeri ff fonksiyonunun görüntü kümesindedir, dolayısıyla bu değerin görüntüsü de 2 olmalıdır.
3
Görüntü kümesi üzerinden durumları sınıflandır
K={x∈A∣f(x)=2}K = \{x \in A \mid f(x) = 2\} kümesini tanımlayalım. 2∈K2 \in K olmalıdır.
Fonksiyonun yapısını f(x)=2f(x)=2 olan elemanlar (K kümesi) ve olmayanlar üzerinden kurmak çözümü basitleştirir.
4
K kümesinin eleman sayısına göre durumları hesapla
Durum 1: ∣K∣=4|K|=4 (Tüm elemanlar 2'ye gider). Sadece 1 fonksiyon vardır (f(x)=2f(x)=2).
Durum 2: ∣K∣=3|K|=3. K={2,a,b}K=\{2, a, b\}. Dışarıda kalan 1 eleman (cc) K∖{2}K \setminus \{2\} kümesine gitmelidir. Seçim: (32)×21=3×2=6\binom{3}{2} \times 2^1 = 3 \times 2 = 6 fonksiyon.
Durum 3: ∣K∣=2|K|=2. K={2,a}K=\{2, a\}. Dışarıda kalan 2 eleman (b,cb, c) K∖{2}K \setminus \{2\} kümesine (yani aa'ya) gitmelidir. Seçim: (31)×12=3\binom{3}{1} \times 1^2 = 3 fonksiyon.
Durum 4: ∣K∣=1|K|=1. K={2}K=\{2\}. Dışarıdaki elemanlar K∖{2}=∅K \setminus \{2\} = \emptyset kümesine gidemez. 0 fonksiyon.
Kombinasyon hesabı ile her senaryodaki fonksiyon sayısı bulunur.
5
Toplamı bul
1+6+3+0=101 + 6 + 3 + 0 = 10 farklı fonksiyon.
Ayrık durumların toplamı.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon ve Sabit Fonksiyon İlişkisi

İpuçları

1
Önce x=2x=2 için f(f(2))f(f(2)) değerini düşünün. f(2)f(2) ne olmak zorundadır?
2
f(2)=2f(2)=2 olduğunu bulduktan sonra, diğer elemanların (1,3,41, 3, 4) görüntülerini düşünün. Bu elemanlar ya doğrudan 2'ye gidebilir ya da görüntüsü 2 olan başka bir sayıya gidebilir.
3
Kümeyi iki parçaya ayırın: Doğrudan 2'ye gidenler (KK) ve dolaylı yoldan 2'ye gidenler (LL). LL kümesindeki elemanlar KK'ya gitmek zorundadır, ancak KK sadece 2'den oluşamaz.

Daha Fazla Pratik

Aynı soru A={1,2,3}A=\{1,2,3\} kümesi için sorulsaydı cevap kaç olurdu? (Cevap: 3)

Alternatif Yöntem

Graf teorisi ile düşünülürse: 2 nolu düğümde bir döngü (2→22 \to 2) olmalıdır. Diğer düğümler ya doğrudan 2'ye bağlanmalı ya da 2'ye giden başka bir düğüme bağlanmalıdır (derinlik en fazla 2). Ağaç yapısı çizilerek sayılabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

Bu konudan daha fazla soru