Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)
44 soru
Soru 41Soru →
A={1,2,3,4,5,6} kümesi üzerinde tanımlı, birebir ve örten bir f fonksiyonu veriliyor.
Her x∈A için (f∘f)(x)=x eşitliği sağlanmaktadır.
f(1)=2 ve f(3)=3 olduğuna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı f fonksiyonu tanımlanabilir?
4
6
8
10
12
Cevabı ve açıklamayı göster
Cevap: 6
Cevap
6 farklı fonksiyon tanımlanabilir
Verilen (f∘f)(x)=x koşulu, fonksiyonun elemanları ya sabit bıraktığını ya da ikili gruplar halinde birbirine dönüştürdüğünü gösterir. f(1)=2 olduğundan 1↔2 eşleşmesi kesindir. f(3)=3 olduğundan 3 sayısı 4, 5 veya 6'dan biriyle eşleşmelidir (3 seçenek). 3'ün eşleşmesi yapıldıktan sonra geriye kalan 2 eleman, ya oldukları gibi kalır (1 durum) ya da kendi aralarında yer değiştirirler (1 durum), toplamda 2 alt durum oluşur. Çarpma kuralı ile 3×2=6 bulunur.
Adım Adım Çözüm
1
Fonksiyonun genel yapısını analiz et
(f∘f)(x)=x şartı, fonksiyonun tersinin kendisine eşit olduğunu (f=f−1) gösterir. Bu durumda elemanlar ya sabit kalmalı (f(a)=a) ya da ikili olarak birbirine dönüşmelidir (f(a)=b ise f(b)=a).
Birim fonksiyon özelliği ve ters fonksiyon tanımı gereği.
2
Verilen kısıtlamaları uygula (f(1)=2)
f(1)=2 ise, involüsyon özelliği gereği f(2)=1 olmak zorundadır. Böylece {1,2} elemanları kendi aralarında bir grup oluşturur ve diğer elemanlarla eşleşemezler.
f(f(1))=1⟹f(2)=1.
3
Kalan elemanlar ve f(3)=3 kısıtlamasını incele
Geriye {3,4,5,6} kümesi kalır. f(3)=3 olduğundan, 3 sayısı sabit kalamaz; bu kümedeki başka bir elemanla eşleşmek zorundadır (yani 4, 5 veya 6 ile).
Tanım kümesindeki her elemanın bir görüntüsü olmalıdır ve şartlar sağlanmalıdır.
4
Olası durumları say (Kombinatorik analiz)
Durum 1: 3, 4 ile eşleşirse (f(3)=4,f(4)=3): Kalan {5,6} ya sabit kalır (f(5)=5,f(6)=6) ya da yer değiştirir (f(5)=6,f(6)=5). (2 durum)
Durum 2: 3, 5 ile eşleşirse: Kalan {4,6} için yine 2 durum vardır.
Durum 3: 3, 6 ile eşleşirse: Kalan {4,5} için yine 2 durum vardır.
Durum 2: 3, 5 ile eşleşirse: Kalan {4,6} için yine 2 durum vardır.
Durum 3: 3, 6 ile eşleşirse: Kalan {4,5} için yine 2 durum vardır.
3'ün seçebileceği 3 farklı partner vardır ve her seçimden sonra kalan 2 eleman için 2 olasılık bulunur.
5
Toplam fonksiyon sayısını hesapla
3 (partner sec¸imi)×2 (kalanların durumu)=6 farklı fonksiyon.
Saymanın çarpma kuralı.
Anahtar Kavram
İnvolüsyon (Tersi Kendisine Eşit) Fonksiyonlar
İpuçları
1
(f∘f)(x)=x olması, f fonksiyonunun tersinin kendisine eşit olduğunu gösterir. Yani f(a)=b ise mutlaka f(b)=a olmalıdır.
2
f(1)=2 olduğu için 1 ve 2 birbirine kilitlenmiştir. Geriye kalan {3,4,5,6} kümesini düşünün. 3 sayısı kendisine gidemediğine göre, başka bir elemanla 'partner' olmalıdır.
3
3'ün partneri olarak 4, 5 veya 6'yı seçin. Örneğin 3 ile 4 eşleşirse, geriye kalan 5 ve 6 için kaç farklı durum oluşur? (İkisi de sabit kalabilir veya ikisi yer değiştirebilir).
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 42Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları için f fonksiyonunun sabit fonksiyon, g fonksiyonunun ise birim fonksiyon olduğu bilinmektedir.
f(x)=(a−2)x+b+3
g(2x−1)=(c+1)x+d−4
eşitlikleri verilmiştir.
g(2x−1)=(c+1)x+d−4
eşitlikleri verilmiştir.
f(2026)+g(7)=15
olduğuna göre, a+b+c+d toplamı kaçtır?
12
14
16
18
20
Cevabı ve açıklamayı göster
Cevap: 16
Cevap
Doğru cevap 16'dır.
Soruda verilen fonksiyon çeşitlerinin tanımları kullanılarak bilinmeyen katsayılar bulunur. Sabit fonksiyonun değişken katsayısı sıfırdır (a−2=0). Birim fonksiyonun kuralı gereği g(2x−1)=2x−1 olmalıdır, bu da katsayıların eşitlenmesini sağlar (c+1=2,d−4=−1). Son olarak f ve g değerleri yerine yazılarak b bulunur ve tüm değerler toplanır.
Adım Adım Çözüm
1
Sabit fonksiyonun özelliğini kullanarak a değerini bulma
a=2
f(x) sabit fonksiyon ise x'li terimin katsayısı 0 olmalıdır. a−2=0⇒a=2. Bu durumda f(x)=b+3 olur.
2
Birim fonksiyonun özelliğini kullanarak c ve d değerlerini bulma
c=1 ve d=3
g birim fonksiyon ise içi dışına eşittir, yani g(2x−1)=2x−1 olmalıdır. Verilen denklem (c+1)x+d−4 ile eşleştirildiğinde:
x'in katsayısı: c+1=2⇒c=1
Sabit terim: d−4=−1⇒d=3 bulunur.
x'in katsayısı: c+1=2⇒c=1
Sabit terim: d−4=−1⇒d=3 bulunur.
3
Verilen eşitliği kullanarak b değerini bulma
b=5
f sabit fonksiyon olduğundan f(2026)=b+3 tür. g birim fonksiyon olduğundan g(7)=7 dir.
Denklem: (b+3)+7=15⇒b+10=15⇒b=5.
Denklem: (b+3)+7=15⇒b+10=15⇒b=5.
4
İstenen toplamı hesaplama
16
a+b+c+d=2+5+1+3=11+5=16.
Anahtar Kavram
Sabit fonksiyon (f(x)=c) değişken içermez. Birim fonksiyon (g(x)=x) her elemanı kendisine eşler.
Soru 43Soru →
A={1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlı bir f:A→A fonksiyonu veriliyor.
Her x∈A için,
(f∘f)(x)=2
eşitliği sağlandığına göre, bu koşula uyan kaç farklı f fonksiyonu tanımlanabilir?
(f∘f)(x)=2
eşitliği sağlandığına göre, bu koşula uyan kaç farklı f fonksiyonu tanımlanabilir?
8
9
10
12
16
Cevabı ve açıklamayı göster
Cevap: 10
Cevap
10
Verilen (f∘f)(x)=2 koşulu, fonksiyonun görüntü kümesindeki elemanların tekrar fonksiyona girdiğinde 2 sonucunu vermesini gerektirir. Bu durum f(2)=2 olmasını zorunlu kılar. Kalan elemanlar ya doğrudan 2'ye gitmeli ya da görüntüsü 2 olan başka bir elemana gitmelidir. Bu durumları sistematik olarak saydığımızda toplam 10 farklı fonksiyon elde edilir.
Adım Adım Çözüm
1
Koşulu analiz et
(f∘f)(x)=2 olması, f fonksiyonunun görüntü kümesindeki her elemanın f altındaki görüntüsünün 2 olduğunu gösterir.
Bileşke fonksiyon tanımı gereği f(f(x))=2 ise, f(x) değerleri ne olursa olsun, bu değerlerin tekrar f fonksiyonuna girmesiyle sonuç 2 çıkmalıdır.
2
Sabit nokta kuralını belirle
f(2)=2 olmak zorundadır.
Eğer x=2 alırsak, (f∘f)(2)=f(f(2))=2 olur. f(2) değeri f fonksiyonunun görüntü kümesindedir, dolayısıyla bu değerin görüntüsü de 2 olmalıdır.
3
Görüntü kümesi üzerinden durumları sınıflandır
K={x∈A∣f(x)=2} kümesini tanımlayalım. 2∈K olmalıdır.
Fonksiyonun yapısını f(x)=2 olan elemanlar (K kümesi) ve olmayanlar üzerinden kurmak çözümü basitleştirir.
4
K kümesinin eleman sayısına göre durumları hesapla
Durum 1: ∣K∣=4 (Tüm elemanlar 2'ye gider). Sadece 1 fonksiyon vardır (f(x)=2).
Durum 2: ∣K∣=3. K={2,a,b}. Dışarıda kalan 1 eleman (c) K∖{2} kümesine gitmelidir. Seçim: (23)×21=3×2=6 fonksiyon.
Durum 3: ∣K∣=2. K={2,a}. Dışarıda kalan 2 eleman (b,c) K∖{2} kümesine (yani a'ya) gitmelidir. Seçim: (13)×12=3 fonksiyon.
Durum 4: ∣K∣=1. K={2}. Dışarıdaki elemanlar K∖{2}=∅ kümesine gidemez. 0 fonksiyon.
Durum 2: ∣K∣=3. K={2,a,b}. Dışarıda kalan 1 eleman (c) K∖{2} kümesine gitmelidir. Seçim: (23)×21=3×2=6 fonksiyon.
Durum 3: ∣K∣=2. K={2,a}. Dışarıda kalan 2 eleman (b,c) K∖{2} kümesine (yani a'ya) gitmelidir. Seçim: (13)×12=3 fonksiyon.
Durum 4: ∣K∣=1. K={2}. Dışarıdaki elemanlar K∖{2}=∅ kümesine gidemez. 0 fonksiyon.
Kombinasyon hesabı ile her senaryodaki fonksiyon sayısı bulunur.
5
Toplamı bul
1+6+3+0=10 farklı fonksiyon.
Ayrık durumların toplamı.
Anahtar Kavram
Bileşke Fonksiyon ve Sabit Fonksiyon İlişkisi
İpuçları
1
Önce x=2 için f(f(2)) değerini düşünün. f(2) ne olmak zorundadır?
2
f(2)=2 olduğunu bulduktan sonra, diğer elemanların (1,3,4) görüntülerini düşünün. Bu elemanlar ya doğrudan 2'ye gidebilir ya da görüntüsü 2 olan başka bir sayıya gidebilir.
3
Kümeyi iki parçaya ayırın: Doğrudan 2'ye gidenler (K) ve dolaylı yoldan 2'ye gidenler (L). L kümesindeki elemanlar K'ya gitmek zorundadır, ancak K sadece 2'den oluşamaz.
Daha Fazla Pratik
Aynı soru A={1,2,3} kümesi için sorulsaydı cevap kaç olurdu? (Cevap: 3)
Alternatif Yöntem
Graf teorisi ile düşünülürse: 2 nolu düğümde bir döngü (2→2) olmalıdır. Diğer düğümler ya doğrudan 2'ye bağlanmalı ya da 2'ye giden başka bir düğüme bağlanmalıdır (derinlik en fazla 2). Ağaç yapısı çizilerek sayılabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 44Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı f(x)=(a−2)x2+(b+4)x+c−3 fonksiyonu birim (özdeş) fonksiyondur.
Tanım kümesi R−{2} olan g(x)=3x−6mx+12 fonksiyonu ise sabit fonksiyondur.
Buna göre, f(b)+a⋅g(c)−m ifadesinin değeri kaçtır?
-13
-2
-1
3
9
Cevabı ve açıklamayı göster
Cevap: -1
Cevap
İşlemin sonucu -1'dir.
Birim fonksiyon f(x)=x olduğundan polinom eşitliği ile a=2, b=-3 bulunur. Sabit rasyonel fonksiyonda katsayılar oranı (m/3 = 12/-6) eşitliğinden m=-6 ve fonksiyonun sabit değeri -2 bulunur. Değerler yerine konulduğunda sonuç -1 çıkar.
Adım Adım Çözüm
1
Birim fonksiyon tanımını uygula: f(x) = x olmalıdır.
Katsayılar: a-2=0 => a=2, b+4=1 => b=-3, c-3=0 => c=3.
Birim fonksiyonda x kareli terim olmaz, x'in katsayısı 1 ve sabit terim 0 olmalıdır.
2
Sabit fonksiyon olma şartını rasyonel fonksiyon için uygula.
m/3 = 12/(-6) => m/3 = -2 => m = -6. Sabit değer g(x) = -2.
Rasyonel bir fonksiyonun sabit olması için pay ve paydadaki katsayıların oranları eşit olmalıdır.
3
İstenen değerleri yerine koyarak işlemi hesapla: f(b) + a*g(c) - m.
f(-3) + 2*g(3) - (-6) => (-3) + 2*(-2) + 6 = -3 - 4 + 6 = -1.
f birim olduğu için f(-3)=-3, g sabit olduğu için g(3)=-2 değerini alır.
Anahtar Kavram
Birim fonksiyon f(x)=x kuralına, sabit fonksiyon f(x)=c kuralına sahiptir. Rasyonel fonksiyonların sabit olması için katsayılar orantılı olmalıdır.
İpuçları
1
Birim fonksiyon, içine ne atılırsa dışarı aynısını çıkaran fonksiyondur (f(x)=x). Polinom eşitliğini buna göre kurunuz.
2
Rasyonel bir ifadenin (kesirli fonksiyonun) sabit fonksiyon olması için pay ve paydadaki x'li terimlerin ve sabit sayıların oranı birbirine eşit olmalıdır.
3
g(x) için m/3 = 12/(-6) eşitliğini kullanın. Ayrıca f(b) değeri, f birim olduğu için doğrudan b'ye eşittir.
Daha Fazla Pratik
Birim ve sabit fonksiyonların bileşke işlemindeki etkilerini (fog veya gof) inceleyen sorular çözülebilir.
Alternatif Yöntem
g(x) sabit fonksiyon ise g(x) = k diyebiliriz. İçler dışlar çarpımı yaparak mx+12 = k(3x-6) eşitliğinden katsayıları eşitleyerek de k ve m bulunabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
ÖncekiSayfa 3 / 3