Examkin

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

44 soru

Soru 21Soru →

f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,

f(x)=(a−3)x2+(b+2)x+a⋅bf(x) = (a - 3)x^2 + (b + 2)x + a \cdot b

fonksiyonu bir sabit fonksiyondur.

Buna göre, f(2026)f(2026) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

Sabit fonksiyonun değeri her xx için aynı olup −6-6 olarak hesaplanır.
Sabit fonksiyonun tanımı gereği x2x^2 ve xx içeren terimlerin katsayıları 00 olmalıdır. Bu durumda a−3=0⇒a=3a-3=0 \Rightarrow a=3 ve b+2=0⇒b=−2b+2=0 \Rightarrow b=-2 bulunur. Fonksiyonun genel kuralı f(x)=a⋅bf(x) = a \cdot b şekline dönüşür. Değerler yerine yazıldığında f(x)=3⋅(−2)=−6f(x) = 3 \cdot (-2) = -6 elde edilir. Fonksiyon sabit olduğu için f(2026)f(2026) değeri de −6-6 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit fonksiyon tanımını uygula
a−3=0a - 3 = 0 ve b+2=0b + 2 = 0
Sabit fonksiyonda x,x2,x3...x, x^2, x^3... gibi değişkenli terimlerin bulunmaması için katsayıları sıfıra eşitlenmelidir.
2
Bilinmeyen parametreleri bul
a=3a = 3 ve b=−2b = -2
Denklemler çözülerek fonksiyondaki sabit terimi oluşturacak aa ve bb değerleri belirlenir.
3
Fonksiyonun sabit değerini hesapla
f(x)=0⋅x2+0⋅x+3⋅(−2)=−6f(x) = 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 3 \cdot (-2) = -6
Bulunan aa ve bb değerleri fonksiyonda yerine yazılarak sabit sayı elde edilir.
4
İstenen değeri bul
f(2026)=−6f(2026) = -6
Sabit fonksiyonlarda tanım kümesindeki her eleman aynı görüntüye gider, bu yüzden xx yerine ne yazılırsa yazılsın sonuç değişmez.

Anahtar Kavram

Sabit fonksiyonlarda değişkenli terimlerin katsayıları sıfırdır ve fonksiyonun değeri her noktada sabittir.

İpuçları

1
Bir fonksiyon sabit ise, içinde xx değişkeni barındıran terimler bulunmamalıdır.
2
x2x^2 ve xx önündeki katsayıları sıfıra eşitleyerek aa ve bb sayılarını bulun.
3
Fonksiyon f(x)=a⋅bf(x) = a \cdot b halini alacaktır. Bulduğunuz aa ve bb değerlerini çarpın.

Daha Fazla Pratik

Birim fonksiyon (özdeşlik fonksiyonu) sorularında ise f(x)=xf(x) = x kuralını uygulayarak katsayıları buna göre düzenlemeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonun her xx değeri için aynı sonucu vermesi gerektiğini biliyoruz. x=0x=0 için f(0)=a⋅bf(0) = a \cdot b ve x=1x=1 için f(1)=(a−3)+(b+2)+a⋅bf(1) = (a-3) + (b+2) + a \cdot b olur. Bu iki değer birbirine eşit olmalıdır (f(0)=f(1)f(0) = f(1)), buradan katsayıların sıfır olması gerektiği çıkarımına da varılabilir.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 22Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff fonksiyonu,
f(x)={4x+a,x<1bx+2,x≥1 f(x) = \begin{cases} 4x + a, & x < 1 \\ bx + 2, & x \geq 1 \end{cases}
biçiminde veriliyor.

ff fonksiyonu birebir ve örten olduğuna ve f−1(6)=2f^{-1}(6) = 2 eşitliği sağlandığına göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

a + b toplamı 2'dir.
Doğru cevap, f(2)=6f(2)=6 eşitliğinden b=2b=2 bulunması ve fonksiyonun x=1x=1 noktasında sürekli olması şartından (4+a=b+24+a=b+2) a=0a=0 bulunarak toplamın 2 elde edilmesidir.

Adım Adım Çözüm

1
f−1(6)=2f^{-1}(6) = 2 bilgisini kullanarak bb değerini bulma.
f(2)=6f(2) = 6 olur. 2≥12 \ge 1 olduğundan alttaki parça kullanılır: 2b+2=6  ⟹  2b=4  ⟹  b=22b + 2 = 6 \implies 2b = 4 \implies b = 2.
Ters fonksiyon özelliği ve parçalı fonksiyonun tanım aralığı seçimi.
2
Birebir ve örtenlik şartından dolayı kritik noktada (x=1x=1) sürekliliği sağlama.
x=1x=1 noktasında parçaların limitleri eşit olmalıdır: 4(1)+a=b(1)+24(1) + a = b(1) + 2.
Parçalı doğrusal fonksiyonların birebir ve örten olması için kopma noktası olmamalıdır (grafik birleşmelidir).
3
Bulunan bb değerini yerine yazarak aa değerini hesaplama.
4+a=2+2  ⟹  4+a=4  ⟹  a=04 + a = 2 + 2 \implies 4 + a = 4 \implies a = 0.
Denklem çözümü.
4
a+ba + b toplamını bulma.
0+2=20 + 2 = 2.
Sonuç hesabı.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonların birebir ve örten olabilmesi için parçaların birleşim noktalarında kopukluk olmamalı (süreklilik şartı) ve her parça monoton (aynı işaretli eğim) olmalıdır.

İpuçları

1
f−1(6)=2f^{-1}(6) = 2 eşitliği, f(2)=6f(2) = 6 anlamına gelir. 2 sayısı hangi aralıkta?
2
Bir parçalı fonksiyonun tüm gerçel sayılarda birebir ve örten olması için parçaların birleştiği nokta olan x=1x=1'de grafik kopmamalıdır.

Daha Fazla Pratik

Birebir ve örtenlik şartının grafik üzerinde nasıl göründüğünü (yatay doğru testi ve süreklilik) inceleyen sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 23Soru →
A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesi üzerinde tanımlı f:A→Af: A \rightarrow A fonksiyonunun birebir (injective) olduğu ve
f(1)<f(2)<f(3)f(1) < f(2) < f(3)
eşitsizliğini sağladığı bilinmektedir.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı ff fonksiyonu tanımlanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Bu koşulları sağlayan 20 farklı fonksiyon tanımlanabilir.
Soruda f fonksiyonunun birebir olduğu belirtilmiştir. İlk üç eleman için f(1)<f(2)<f(3)f(1) < f(2) < f(3) şartı verildiğinden, A kümesinden seçeceğimiz herhangi 3 eleman bu şartı sağlayan tek bir sıralamaya sahiptir. 5 elemandan 3'ünü seçmenin yolu C(5,3)=10C(5,3) = 10'dur. Geriye kalan 2 eleman (4 ve 5), boşta kalan 2 görüntüye 2!=22! = 2 farklı şekilde gidebilir. Çarpma kuralı gereği toplam fonksiyon sayısı 10×2=2010 \times 2 = 20 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birebir fonksiyonun tanımını ve görüntü kümesi seçimini analiz etme
f birebir olduğu için A kümesindeki 5 eleman, A'daki 5 farklı elemana eşleşmelidir. f(1), f(2) ve f(3) için görüntü kümesinden 3 farklı eleman seçilmelidir.
Birebir fonksiyonlarda her tanım kümesi elemanı farklı bir görüntüye gitmelidir.
2
f(1) < f(2) < f(3) şartını sağlayan durumları sayma
A kümesinden seçilen herhangi 3 eleman (örneğin {1, 3, 5}), küçükten büyüğe tek bir şekilde sıralanabilir (1 < 3 < 5). Bu nedenle, bu üç eleman için sıralama değil sadece SEÇİM (kombinasyon) yapılır: C(5, 3) = 10.
Sıralama şartı verildiğinde permütasyon değil kombinasyon kullanılır, çünkü elemanlar seçildiğinde yerleri bellidir.
3
Geriye kalan elemanların (f(4) ve f(5)) durumunu hesaplama
Geriye kalan 2 eleman (4 ve 5), görüntü kümesinde kalan 2 boş yere birebir olacak şekilde 2! = 2 farklı şekilde eşleşebilir.
Fonksiyon A'dan A'ya ve birebir olduğu için tüm elemanlar eşleşmelidir.
4
Toplam durumu çarpma kuralı ile bulma
10 (seçim) x 2 (kalanların sıralanışı) = 20.
Olaylar bağımlı olduğu için çarpma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Birebir fonksiyonlarda belirli elemanlar arasındaki sıralama şartı, o elemanların görüntülerinin sadece seçilmesini (kombinasyon) gerektirirken; şart olmayan diğer elemanlar kendi aralarında yer değiştirebilir (permütasyon).

İpuçları

1
Önce f(1),f(2)f(1), f(2) ve f(3)f(3) değerlerinin alabileceği görüntüleri belirlemek için kümeden kaç eleman seçmeniz gerektiğini düşünün.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, f(1) < f(2) şartını sağlayan ancak örten olma zorunluluğu olmayan fonksiyon sayılarını araştıran bir soru çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 24Soru →

AA ve BB boştan farklı iki sonlu kümedir. AA kümesinden BB kümesine tanımlanabilen sabit fonksiyon sayısı K1K_1, BB kümesinden AA kümesine tanımlanabilen sabit fonksiyon sayısı K2K_2'dir.

s(A)=4s(A) = 4 ve 3K1−K2=113K_1 - K_2 = 11 olduğuna göre;

AA kümesinden BB kümesine tanımlanabilen birebir fonksiyonların kaç tanesinde, AA kümesinin belirli bir elemanı a1a_1, BB kümesinin belirli bir elemanı b1b_1 ile eşleşmez?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 96

Cevap

İstenen koşulu sağlayan 96 adet birebir fonksiyon vardır.
AA kümesinden BB kümesine tanımlanabilecek tüm birebir fonksiyonların sayısı P(5,4)=120P(5,4)=120'dir. a1a_1'in b1b_1 ile eşleştiği (istenmeyen) durumların sayısı ise P(4,3)=24P(4,3)=24'tür. İstenen durum sayısı 120−24=96120 - 24 = 96 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit fonksiyon sayılarını kullanarak küme eleman sayılarını belirle.
s(A)=4s(A)=4 olduğu için K2=4K_2 = 4. 3K1−4=11  ⟹  3K1=15  ⟹  K1=53K_1 - 4 = 11 \implies 3K_1 = 15 \implies K_1 = 5. A→BA \to B sabit fonksiyon sayısı s(B)s(B) olduğundan, s(B)=5s(B)=5.
Bir kümeden diğerine tanımlanan sabit fonksiyon sayısı, değer kümesinin eleman sayısına eşittir.
2
Tüm birebir fonksiyonların sayısını hesapla.
P(5,4)=5×4×3×2=120P(5, 4) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120.
s(A)=n,s(B)=ms(A)=n, s(B)=m ise birebir fonksiyon sayısı P(m,n)P(m, n) permütasyonudur.
3
İstenmeyen durumun (eşleşme olması) sayısını hesapla.
a1→b1a_1 \to b_1 eşleşmesi sabitlenirse, kalan 3 eleman kalan 4 elemana eşleşir: 1×P(4,3)=4×3×2=241 \times P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24.
Belirli bir elemanın eşleştiği durumları tüm durumlardan çıkarmak için önce bu durumların sayısını bulmalıyız.
4
Tüm durumlardan istenmeyen durumu çıkar.
120−24=96120 - 24 = 96.
Toplam sayıdan kısıtlamaya uymayan durumlar çıkarılarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Birebir Fonksiyon Sayısı ve Kısıtlı Permütasyon

İpuçları

1
Önce K1K_1 ve K2K_2 değerlerini bularak BB kümesinin eleman sayısını tespit edin.
2
Tüm birebir fonksiyonların sayısını permütasyon formülü P(n,r)P(n, r) ile hesaplayın.
3
İstenmeyen durum (a1a_1'in b1b_1'e gitmesi) sayısını bulup, toplam sayıdan çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Birebir ve örten fonksiyon sayısı ile ilgili benzer bir kısıtlama sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Doğrudan sayma yöntemi: a1a_1 için b1b_1 hariç 4 seçenek vardır. a2a_2 için kalan 4 seçenek, a3a_3 için kalan 3, a4a_4 için kalan 2 seçenek vardır. 4×4×3×2=964 \times 4 \times 3 \times 2 = 96.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 25Soru →

A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\} ve B={x,y}B = \{x, y\} olmak üzere, AA kümesinden BB kümesine tanımlı bir ff fonksiyonunun eşleşme şeması aşağıda verilmiştir. Şemada görüldüğü gibi, değer kümesindeki her eleman tanım kümesindeki en az bir elemanla eşleşmiştir. Buna göre, değer kümesinde (B kümesi) açıkta eleman kalmayan bu fonksiyonun çeşidi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Örten

Cevap

Örten fonksiyon
Verilen şemada BB kümesindeki her iki eleman (xx ve yy) da en az bir okla eşleşmiştir. Tanım gereği, değer kümesinde (sağdaki küme) boşta eleman kalmıyorsa bu fonksiyona örten fonksiyon denir.

Adım Adım Çözüm

1
Değer kümesindeki (B kümesi) elemanları incele.
Değer kümesinde xx ve yy olmak üzere iki eleman bulunmaktadır.
Fonksiyonun çeşidini belirlemek için değer kümesinde açıkta eleman kalıp kalmadığına bakılmalıdır.
2
Her bir elemana tanım kümesinden ok gelip gelmediğini kontrol et.
xx elemanına 11 ve 22 sayılarından, yy elemanına ise 33 ve 44 sayılarından ok gelmektedir.
Okların ulaştığı elemanlar fonksiyonun görüntü kümesini oluşturur.
3
Değer kümesi ile görüntü kümesini karşılaştır.
B kümesindeki tüm elemanlar eşleşmiştir, yani görüntü kümesi değer kümesine eşittir.
Değer kümesinde eşleşmemiş (açıkta) eleman kalmadığında fonksiyon 'örten' olarak adlandırılır.

Anahtar Kavram

Örten Fonksiyon: Değer kümesinde açıkta eleman kalmayan, yani görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyondur.

İpuçları

1
Sağdaki kümeye (B kümesi) dikkatlice bak. Boşta kalan, hiçbir okla eşleşmeyen bir eleman var mı?
2
Eğer B kümesindeki her elemana en az bir tane ok gelmişse, bu fonksiyonun değer kümesini tamamen 'örttüğünü' söyleyebiliriz.
3
Görüntü kümesi {x, y} olup değer kümesine (B) eşittir. Bu özellik örten fonksiyonun temel tanımıdır.

Daha Fazla Pratik

Değer kümesine bir 'z' elemanı ekleyip hiçbir sayıyla eşlemeseydik, fonksiyon örtenlikten çıkıp 'içine fonksiyon' olurdu.
Tahmini Süre:45s
Soru 26Soru →

A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\} ve B={4,5,6,7}B = \{4, 5, 6, 7\} kümeleri veriliyor. Aşağıda şeması verilen f:A→Bf: A \rightarrow B fonksiyonunda tanım kümesindeki her bir eleman, değer kümesindeki 55 elemanı ile eşleşmektedir.

Buna göre, ff fonksiyonunun çeşidi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sabit Fonksiyon

Cevap

Sabit Fonksiyon
Verilen şemada tanım kümesi olan A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\} kümesinin tüm elemanları, değer kümesindeki tek bir eleman olan 55 ile eşleşmiştir. Matematiksel olarak f(1)=f(2)=f(3)=5f(1)=f(2)=f(3)=5 durumu söz konusudur. Tanım kümesindeki her elemanı değer kümesindeki aynı sabit elemana götüren bu tür fonksiyonlara 'Sabit Fonksiyon' denir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesindeki elemanların görüntülerini belirleyin.
f(1)=5,f(2)=5,f(3)=5f(1) = 5, f(2) = 5, f(3) = 5
Fonksiyonun çeşidini belirlemek için elemanların hangi değerlerle eşleştiğine bakılmalıdır.
2
Görüntü kümesini analiz edin.
Görüntü kümesi tek elemanlıdır: {5}\{5\}
Tanım kümesindeki tüm elemanlar aynı sonuca ulaşıyorsa fonksiyonun davranışı sabittir.
3
Fonksiyon çeşidini tanımlayın.
Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki her xx için f(x)=cf(x) = c (cc bir sabit) şartını sağlayan fonksiyonlar sabit fonksiyondur.

Anahtar Kavram

Sabit fonksiyonlarda tanım kümesindeki tüm elemanlar değer kümesinde tek bir elemanla eşleşir.

İpuçları

1
Tanım kümesindeki 1,21, 2 ve 33 sayılarının her birinin hangi sayıya gittiğine dikkat edin.
2
Bütün elemanların aynı sonuca ulaştığı (örneğin hep aynı kapıya çıktığı) fonksiyon türünü hatırlayın.
3
f(x)=cf(x) = c şeklindeki, yani sonucu hiç değişmeyen fonksiyonlara ne ad verilir?

Daha Fazla Pratik

Değer kümesindeki tüm elemanların eşleştiği (hiç elemanın artmadığı) durumlar için 'Örten Fonksiyon' kavramını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonu liste yöntemiyle yazarsak: f={(1,5),(2,5),(3,5)}f = \{(1, 5), (2, 5), (3, 5)\}. İkinci bileşenlerin hepsinin aynı olması fonksiyonun sabit olduğunu kanıtlar.
Tahmini Süre:45s
Soru 27Soru →

A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\} ve B={0,1,2,3,4,5}B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümeleri veriliyor.

AA'dan BB'ye tanımlı ff fonksiyonunun birebir olduğu bilinmektedir.

Buna göre, f(1)⋅f(2)f(1) \cdot f(2) çarpımının tek sayı olduğu kaç farklı ff fonksiyonu tanımlanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Şartı sağlayan 24 farklı birebir fonksiyon vardır.
Birebir fonksiyon tanımı gereği her eleman farklı bir yere gitmelidir. Çarpımın tek olması için f(1)f(1) ve f(2)f(2)'nin her ikisi de tek sayı olmalıdır (BB kümesindeki {1,3,5}\{1, 3, 5\} elemanlarından seçilmelidir). Bu iki değer için 3×2=63 \times 2 = 6 farklı durum vardır. Geriye kalan f(3)f(3) değeri için, BB kümesindeki kullanılmayan 4 elemandan biri seçilebilir. Toplamda 6×4=246 \times 4 = 24 farklı fonksiyon tanımlanabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım koşulunu analiz et
f(1)⋅f(2)f(1) \cdot f(2) çarpımının tek sayı olması için, hem f(1)f(1) hem de f(2)f(2) tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımı yalnızca her iki çarpan da tek ise tek sayıdır.
2
Görüntü kümesindeki uygun elemanları belirle
B={0,1,2,3,4,5}B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümesindeki tek sayılar {1,3,5}\{1, 3, 5\} kümesidir (3 eleman).
Fonksiyonun alabileceği tek sayı değerleri bunlardır.
3
f(1)f(1) ve f(2)f(2) için seçim sayısını hesapla
ff birebir olduğu için f(1)f(1) ve f(2)f(2) farklı olmalıdır. 3 tek sayıdan 2'si seçilip sıralanır: P(3,2)=3×2=6P(3, 2) = 3 \times 2 = 6 farklı seçim.
Permütasyon kuralı uygulanır.
4
f(3)f(3) için kalan seçenekleri hesapla
BB kümesinde toplam 6 eleman vardır. 2 tanesi f(1)f(1) ve f(2)f(2) için kullanıldı. Geriye 6−2=46 - 2 = 4 eleman kalır.
Birebir fonksiyon tanımı gereği, kullanılan elemanlar tekrar kullanılamaz.
5
Toplam fonksiyon sayısını bul
6×4=246 \times 4 = 24 fonksiyon.
Çarpma kuralı (saymanın temel ilkesi) uygulanır.

Anahtar Kavram

Birebir fonksiyonlarda her tanım kümesi elemanı farklı bir görüntüye gitmelidir. Belirli koşullar (tek/çift gibi) alt kümeler üzerinde permütasyon hesabı gerektirir.

İpuçları

1
İki sayının çarpımının tek sayı olması için, bu sayıların her ikisinin de tek sayı olması gerekir.
2
BB kümesindeki tek sayıları belirleyin ve f(1)f(1) ile f(2)f(2)'nin sadece bu değerleri alabileceğini düşünün. Fonksiyon birebir olduğu için bu değerler birbirinden farklı olmalıdır.
3
f(1)f(1) ve f(2)f(2) için BB'deki 3 tek sayıdan 2'sini seçip sıralayın (3×23 \times 2). Ardından f(3)f(3) için BB'de kalan (tek veya çift fark etmez) 4 elemandan birini seçin.

Daha Fazla Pratik

Benzer kümelerle, f(1)<f(2)f(1) < f(2) şartını sağlayan kaç fonksiyon olduğunu sorarak sıralama mantığını pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Tüm durumlar üzerinden gitmek yerine kombinasyon ile düşünün: f(1)f(1) ve f(2)f(2) için 3 tek sayıdan 2'si seçilir (C(3,2)=3C(3,2)=3). Bu iki sayı kendi arasında yer değiştirir (2!2!). f(3)f(3) için kalan 4 sayıdan 1'i seçilir (C(4,1)=4C(4,1)=4). Sonuç: 3×2×4=243 \times 2 \times 4 = 24.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 28Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff birim fonksiyon ve gg sabit fonksiyondur.

f((g(x))2−3)+4⋅g(5x2+1)=18f\left( (g(x))^2 - 3 \right) + 4 \cdot g(5x^2 + 1) = 18

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, g(x)g(x) fonksiyonunun alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

g(x) fonksiyonunun alabileceği değerlerin toplamı -4'tür.
Sabit fonksiyonun çıktısı girdiden bağımsız bir c sabitidir (g(x)=cg(x)=c). Birim fonksiyonun çıktısı girdisine eşittir (f(x)=xf(x)=x). Verilen eşitlikte bu tanımlar yerine konulduğunda c2−3+4c=18c^2 - 3 + 4c = 18 denklemi elde edilir. Bu ikinci dereceden denklemin kökler toplamı −4-4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonların tanımlarını değişkene uygula.
g(x) sabit olduğu için g(x) = c diyelim. f birim olduğu için f(u) = u olur.
Sabit fonksiyon her girdi için aynı c değerini verir; birim fonksiyon girdiyi aynen çıkarır.
2
Eşitlikteki terimleri c cinsinden yaz.
f((g(x))^2 - 3) = f(c^2 - 3) = c^2 - 3 olur. İkinci terim 4·g(5x^2 + 1) = 4c olur.
Birim fonksiyonun içi dışına eşittir; sabit fonksiyonun içi ne olursa olsun sonuç c'dir.
3
Elde edilen denklemi düzenle.
c^2 - 3 + 4c = 18 ⇒ c^2 + 4c - 21 = 0
İkinci dereceden denklemi standart forma (ax² + bx + c = 0) getirmek için.
4
Denklemin kökler toplamını bul.
Kökler toplamı = -b/a = -4/1 = -4. (Veya çarpanlara ayırarak: (c+7)(c-3)=0 ⇒ c=-7 veya c=3. Toplam: -4)
Soruda g(x)'in alabileceği değerlerin (c değerlerinin) toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sabit ve birim fonksiyonların cebirsel özellikleri ile ikinci dereceden denklem çözümü.

İpuçları

1
Sabit fonksiyon her x değeri için aynı sonucu (örneğin 'c') verir. Birim fonksiyon ise parantez içindeki ifadeyi aynen dışarı çıkarır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 29Soru →

A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesi veriliyor. f:A→Af: A \rightarrow A tanımlanan fonksiyonu birebir bir fonksiyondur.

f(1)+f(2)+f(3)=15f(1) + f(2) + f(3) = 15
f(4)=2f(4) = 2

olduğuna göre, f(5)+f(6)f(5) + f(6) toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Birebir fonksiyon özelliğine göre geriye kalan elemanların toplamı 4'tür.
Fonksiyon birebir olduğu için her elemanın görüntüsü farklıdır. Değer kümesindeki tüm elemanların toplamı 21'dir. f(1)+f(2)+f(3)=15f(1)+f(2)+f(3)=15 ve f(4)=2f(4)=2 bilgileri kullanıldığında, tüm görüntülerin toplamı olan 21'den bu değerler çıkarılırsa (21 - 15 - 2 = 4) geriye kalan iki elemanın toplamı doğrudan bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun tanım ve değer kümesini analiz etme
f:A→Af: A \rightarrow A olduğu için görüntüler kümesi de {1,2,3,4,5,6}\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} elemanlarından oluşmalıdır.
Birebir ve aynı kümeden aynı kümeye tanımlı fonksiyonlar örten olmak zorundadır.
2
Verilen f(4)f(4) değerini çıkarma
f(4)=2f(4) = 2 olarak verilmiştir. Geriye kalan {f(1),f(2),f(3),f(5),f(6)}\{f(1), f(2), f(3), f(5), f(6)\} değerleri {1,3,4,5,6}\{1, 3, 4, 5, 6\} kümesinden seçilmelidir.
Birebir fonksiyon her elemanı farklı bir elemana eşler.
3
Toplamı 15 olan üçlü grubu belirleme
{1,3,4,5,6}\{1, 3, 4, 5, 6\} kümesinden toplamları 15 olan üç farklı sayı yalnızca {4,5,6}\{4, 5, 6\} olabilir (4+5+6=154+5+6=15).
Diğer kombinasyonların toplamı 15'ten küçüktür.
4
Sonucu hesaplama
Geriye kalan görüntüler {1,3}\{1, 3\} olmak zorundadır. Dolayısıyla f(5)+f(6)=1+3=4f(5) + f(6) = 1 + 3 = 4 bulunur.
Bütün elemanlar eşlendiğinde geriye kalan tek ihtimal budur.

Anahtar Kavram

Birebir fonksiyonlarda her tanım elemanı değer kümesinden farklı bir elemanla eşleşir.

İpuçları

1
Değer kümesindeki tüm elemanların toplamını hesaplamayı deneyin.
2
Fonksiyon birebir ve A'dan A'ya olduğu için görüntüler kümesi de A kümesinin kendisidir.
3
Tüm görüntülerin toplamı 1+2+3+4+5+6=211+2+3+4+5+6 = 21 olmalıdır. Verilen değerleri bu toplamdan çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Eğer fonksiyon sabit olsaydı, verilen toplam bilgisinden hareketle f(5)+f(6) kaç olurdu?

Alternatif Yöntem

A kümesinin elemanları toplamı 21'dir. Fonksiyon birebir ve örten olduğu için görüntülerinin toplamı da 21 olmalıdır. 15+2+(f(5)+f(6))=2115 + 2 + (f(5)+f(6)) = 21 denkleminden f(5)+f(6)=4f(5)+f(6) = 4 sonucu kolayca bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 30Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı f:R∖{a}→R∖{b}f: \mathbb{R} \setminus \{a\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{b\} fonksiyonu,

f(x)=3x−125−xf(x) = \frac{3x - 12}{5 - x}

şeklinde veriliyor. Bu fonksiyon birebir ve örten olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -15

Cevap

Doğru cevap -15'tir.
Fonksiyonun birebir ve örten olması için tanım kümesinden paydayı sıfır yapan değer (aa), değer kümesinden ise fonksiyonun limit değeri (bb) çıkarılmalıdır. Paydayı sıfır yapan değer 5−x=05-x=0 eşitliğinden x=5x=5 bulunur (a=5a=5). Değer kümesinden çıkarılan değer ise xx katsayılarının oranıdır: 3/(−1)=−33/(-1)=-3 (b=−3b=-3). Çarpımları −15-15 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesinden çıkarılan aa değerini bul.
5−x=0⇒x=55 - x = 0 \Rightarrow x = 5, yani a=5a = 5.
Rasyonel bir ifadenin paydası sıfır olamaz. Bu yüzden paydayı sıfır yapan değer tanım kümesinden çıkarılmalıdır.
2
Değer kümesinden çıkarılan bb değerini bul.
Pay ve paydadaki xx terimlerinin katsayıları oranı: 3−1=−3\frac{3}{-1} = -3, yani b=−3b = -3.
Birebir ve örten rasyonel fonksiyonlarda, değer kümesinden çıkarılan eleman, fonksiyonun yatay asimptotudur (veya ters fonksiyonun paydasını sıfır yapan değerdir).
3
aa ve bb değerlerini çarp.
a⋅b=5⋅(−3)=−15a \cdot b = 5 \cdot (-3) = -15.
Soruda istenen işlem çarpma işlemidir.

Anahtar Kavram

Birebir ve Örten Fonksiyonlarda Tanım ve Değer Kümesi

İpuçları

1
Tanım kümesinden çıkarılan aa sayısı, fonksiyonu tanımsız yapan (paydayı sıfır yapan) değerdir.
2
Değer kümesinden çıkarılan bb sayısı, fonksiyonun tersini tanımsız yapan değerdir veya pratik olarak pay ve paydadaki xx'li terimlerin katsayıları oranıdır.
3
Paydada 5−x5-x olduğuna dikkat edin; burada xx'in katsayısı −1-1'dir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 31Soru →

ff birim fonksiyon ve gg sabit fonksiyon olmak üzere,

f(4x+a−1)=(b−2)x2+(c+1)x+5f(4x + a - 1) = (b - 2)x^2 + (c + 1)x + 5

ve

g(x)=a+b+cg(x) = a + b + c

eşitlikleri veriliyor. Buna göre, g(f(2026))g(f(\sqrt{2026})) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Sabit fonksiyonun değeri olan 11
Birim fonksiyon tanımı gereği f(4x+a−1)f(4x+a-1) ifadesi doğrudan 4x+a−14x+a-1 değerine eşit olmalıdır. Eşitliğin diğer tarafındaki (b−2)x2+(c+1)x+5(b-2)x^2 + (c+1)x + 5 ifadesiyle terim katsayıları karşılaştırıldığında x2x^2 terimi olmadığı için b−2=0b-2=0 (yani b=2b=2), xx terimi için c+1=4c+1=4 (yani c=3c=3) ve sabit terim için a−1=5a-1=5 (yani a=6a=6) bulunur. g(x)g(x) fonksiyonu a+b+ca+b+c toplamına eşit bir sabit fonksiyon olduğundan g(x)=6+2+3=11g(x) = 6+2+3 = 11 olur. Sabit fonksiyon her girdiyi aynı sonuca götürdüğünden cevap 11'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Birim fonksiyon tanımını uygula
f(4x+a−1)=4x+a−1f(4x + a - 1) = 4x + a - 1
Birim (özdeş) fonksiyon, her elemanı kendisine eşleyen f(x)=xf(x)=x kuralına sahip fonksiyondur.
2
Verilen denklemdeki katsayıları eşle
(b−2)x2+(c+1)x+5=4x+a−1(b - 2)x^2 + (c + 1)x + 5 = 4x + a - 1
Fonksiyonun kuralı gereği polinomların eşitliği prensibi uygulanır.
3
a,b,ca, b, c değerlerini çöz
b−2=0⇒b=2b-2=0 \Rightarrow b=2; c+1=4⇒c=3c+1=4 \Rightarrow c=3; 5=a−1⇒a=65=a-1 \Rightarrow a=6
x2x^2 terimi bulunmadığı için katsayısı 0, xx teriminin katsayısı 4 ve sabit terimler birbirine eşit olmalıdır.
4
g(x)g(x) fonksiyonunun değerini bul
g(x)=6+2+3=11g(x) = 6 + 2 + 3 = 11
g(x)=a+b+cg(x) = a + b + c olarak verilmiştir.
5
Bileşke işleminin sonucunu belirle
g(f(2026))=11g(f(\sqrt{2026})) = 11
gg fonksiyonu sabit fonksiyon olduğundan, içine yazılan her değer için aynı sonucu (11) verecektir.

Anahtar Kavram

Birim fonksiyon f(x)=xf(x)=x iken sabit fonksiyon g(x)=cg(x)=c şeklindedir ve girdi ne olursa olsun çıktı sabittir.

İpuçları

1
Birim fonksiyon içindeki her şeyi olduğu gibi dışarı çıkarır; yani f(u)=uf(u) = u olur.
2
ff fonksiyonunun sonucunu x2x^2, xx ve sabit terimlerin katsayılarını eşitleyerek a,b,ca, b, c sayılarını bulun.
3
g(x)g(x) sabit bir sayıya eşit olduğundan, içindeki f(2026)f(\sqrt{2026}) ifadesinin değerini hesaplamanıza gerek yoktur.

Daha Fazla Pratik

Birim ve sabit fonksiyonların bileşke içindeki davranışlarını pekiştirmek için rasyonel ifadeli sabit fonksiyon sorularını çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Birim fonksiyon kuralını uyguladıktan sonra doğrudan g(x)=a+b+cg(x) = a+b+c ifadesini xx yerine değer vermeden, sadece katsayı eşitliğinden gelen değerleri yerine koyarak çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 32Soru →

f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} birim fonksiyon ve g:R→Rg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sabit fonksiyondur.

f(2m−1)=7f(2m - 1) = 7
g(m)=m2+1g(m) = m^2 + 1

olduğuna göre, g(5)+f(3)g(5) + f(3) toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Doğru yanıt 20'dir.
Birim fonksiyon tanımına göre f(x)=xf(x) = x olmalıdır, bu yüzden f(2m−1)=7f(2m-1) = 7 ifadesinden 2m−1=72m-1=7 ve m=4m=4 elde edilir. Sabit fonksiyon tanımına göre ise fonksiyonun değeri her yerde aynıdır; g(4)=42+1=17g(4) = 4^2+1 = 17 ise g(5)g(5) de 1717 olmalıdır. Son olarak birim fonksiyon özelliğinden f(3)=3f(3)=3 bulunur ve toplam 17+3=2017+3=20 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim fonksiyon özelliğini kullanarak mm değerini bulma
f(x)=xf(x) = x olduğundan 2m−1=7⇒2m=8⇒m=42m - 1 = 7 \Rightarrow 2m = 8 \Rightarrow m = 4
Birim fonksiyon, her elemanı kendisine eşleyen fonksiyondur.
2
Sabit fonksiyonun değerini belirleme
g(x)=cg(x) = c olduğundan g(m)=42+1=17g(m) = 4^2 + 1 = 17. Yani g(x)=17g(x) = 17.
Sabit fonksiyonun tüm değerleri aynı sayıya eşittir.
3
İstenen değerleri hesaplama ve toplama
g(5)=17g(5) = 17 ve f(3)=3f(3) = 3. Toplam: 17+3=2017 + 3 = 20.
Soruda istenen iki fonksiyon değerinin toplamı sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Birim fonksiyon içi dışı bir olan fonksiyondur; sabit fonksiyon ise her zaman aynı sonuca giden fonksiyondur.

İpuçları

1
Birim fonksiyonun kuralı f(x)=xf(x) = x şeklindedir; yani 'içi neyse dışı da odur'.
2
Sabit fonksiyon her sayıyı aynı sonuca götürür. g(m)g(m) değerini bulduğunda bu değer tüm x'ler için geçerlidir.
3
Önce f(2m−1)=7f(2m-1)=7 eşitliğinden mm harfini bul, sonra bu mm değerini gg fonksiyonunun sabit değerini bulmak için kullan.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin yer aldığı daha karmaşık sabit fonksiyon soruları için f(x)=(ax+b)/(cx+d)f(x) = (ax+b)/(cx+d) formundaki katsayı oranlarını inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 33Soru →

K={1,2,3,4}K = \{1, 2, 3, 4\} ve L={a,b,c}L = \{a, b, c\} kümeleri veriliyor. Aşağıdaki şemada KK kümesinden LL kümesine tanımlı bir ff fonksiyonunun eşleşmeleri gösterilmiştir.

Buna göre, bu ff fonksiyonunun çeşidi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sabit fonksiyon

Cevap

Verilen şemada tanım kümesinin tüm elemanları değer kümesindeki aynı elemanla eşleştiği için bu bir sabit fonksiyondur.
Şemada görüldüğü üzere KK kümesinin bütün elemanları (1, 2, 3 ve 4) oklarla LL kümesindeki yalnızca 'b' elemanına yönlendirilmiştir. Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü aynı olduğundan bu fonksiyon sabit fonksiyondur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesindeki (KK) elemanların hangi elemanlarla eşleştiğini inceleyin.
1, 2, 3 ve 4 elemanlarının tamamı bb elemanına gitmektedir.
Fonksiyonun çeşidini belirlemek için tanım ve değer kümeleri arasındaki ilişkiyi anlamak gerekir.
2
Elde edilen eşleşme kuralını fonksiyon tanımlarıyla karşılaştırın.
f(1)=b,f(2)=b,f(3)=b,f(4)=bf(1)=b, f(2)=b, f(3)=b, f(4)=b durumu görülmektedir.
Tüm giriş değerleri için tek bir çıkış değeri varsa bu 'sabitlik' özelliğidir.
3
Sonucu isimlendirin.
Bu özellik 'sabit fonksiyon' tanımına tam olarak uymaktadır.
f(x)=cf(x) = c (sabit) biçimindeki fonksiyonlara sabit fonksiyon denir.

Anahtar Kavram

Sabit Fonksiyon Tanımı

İpuçları

1
Tanım kümesinden çıkan tüm okların nereye gittiğine dikkat edin.
2
Eğer bütün oklar değer kümesinde tek bir noktada toplanıyorsa, bu özel bir isim alır.
3
f(1)=b,f(2)=b,f(3)=b,f(4)=bf(1)=b, f(2)=b, f(3)=b, f(4)=b ise sonuç hiç değişmiyor demektir.

Daha Fazla Pratik

Birim fonksiyonu anlamak için tanım kümesindeki elemanların tam olarak aynısının değer kümesinde de olduğu ve her elemanın kendine gittiği şemaları inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 34Soru →

A={a,b,c,d}A = \{a, b, c, d\} ve B={1,2,3}B = \{1, 2, 3\} kümeleri veriliyor. AA kümesinden BB kümesine tanımlanabilecek fonksiyonların kaç tanesi örten fonksiyondur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

36 farklı örten fonksiyon tanımlanabilir.
4 elemanlı bir kümeden 3 elemanlı bir kümeye tanımlanan örten fonksiyonlarda, değer kümesindeki bir eleman mutlaka iki kez, diğerleri birer kez görüntülenir. (31)×(42)×2!=36\binom{3}{1} \times \binom{4}{2} \times 2! = 36 işlemiyle doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Örten fonksiyon tanımını hatırla
Görüntü kümesi (B), değer kümesine eşit olmalıdır. Yani B kümesindeki her elemana en az bir ok gelmelidir.
Örten fonksiyonun şartı, değer kümesinde boşta eleman kalmamasıdır.
2
Eleman dağılımı yapısını belirle
4 elemanlı A kümesinden 3 elemanlı B kümesine örten olması için, B'deki bir elemana 2 ok, diğer iki elemana 1'er ok gelmelidir (2+1+1 yapısı).
Değer kümesindeki 3 elemanın hepsi kullanılmalı ve toplam 4 tanım kümesi elemanı dağıtılmalıdır.
3
2 ok alacak elemanı ve bu elemana gidecek ikiliyi seç
B kümesinden 2 ok alacak eleman (31)=3\binom{3}{1} = 3 farklı şekilde, A kümesinden bu elemana gidecek ikili (42)=6\binom{4}{2} = 6 farklı şekilde seçilir.
Hangi çıktının iki kez kullanılacağını ve hangi girdilerin buna eşleşeceğini belirlemek gerekir.
4
Kalan elemanları dağıt (sırala)
A'da kalan 2 eleman, B'de kalan 2 elemana 2!=22! = 2 farklı şekilde eşleşir.
Kalan elemanlar birebir eşleşmelidir.
5
Tüm durumları çarp
3×6×2=363 \times 6 \times 2 = 36
Saymanın temel ilkesi (çarpma kuralı) gereği bağımsız seçim sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Örten Fonksiyon Sayısı (Parçalanış Yöntemi)

İpuçları

1
Örten fonksiyon olması için B kümesindeki (1, 2, 3) elemanlarının her biri en az bir kez kullanılmalıdır.
2
A kümesinde 4 eleman, B kümesinde 3 eleman var. Bu durumda B'deki bir elemana A'dan kesinlikle iki ok gelmek zorundadır.
3
B kümesinden 2 ok alacak elemanı seçin (3 seçenek). A'dan bu elemana gidecek 2 elemanı seçin ((42)\binom{4}{2}). Kalanları sıralayın.

Daha Fazla Pratik

A={1,2,3,4,5} ve B={1,2,3} kümeleri için örten fonksiyon sayısı kaçtır?

Alternatif Yöntem

İçerme-Dışarma Prensibi: Toplam fonksiyon sayısı - (Örten olmayanlar). Tüm fonksiyonlar 34=813^4=81. 1 elemanın boşta kaldığı durumlar: (31)⋅24=48\binom{3}{1} \cdot 2^4 = 48. 2 elemanın boşta kaldığı (görüntü kümesinin 1 elemanlı olduğu) durumlar: (32)⋅14=3\binom{3}{2} \cdot 1^4 = 3. Sonuç: 81−48+3=3681 - 48 + 3 = 36.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 35Soru →

Aşağıdaki Venn şeması ile AA kümesinden BB kümesine tanımlı bir ff fonksiyonunun eşleşmeleri verilmiştir.

Buna göre, bu ff fonksiyonunun çeşidi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sabit fonksiyon

Cevap

Verilen şemadaki fonksiyon, tüm tanım kümesi elemanlarını tek bir değere götürdüğü için sabit fonksiyondur.
Şemada görüldüğü üzere AA kümesinin tüm elemanları (k,l,mk, l, m), BB kümesindeki tek bir eleman olan 44 ile eşleşmiştir. Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü aynı olduğundan bu bir sabit fonksiyondur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesindeki elemanların hangi değerlerle eşleştiğini inceleyin.
k→4k \rightarrow 4, l→4l \rightarrow 4 ve m→4m \rightarrow 4 eşleşmeleri görülmektedir.
Fonksiyonun türünü belirlemek için girdi ve çıktı ilişkisine bakılmalıdır.
2
Elde edilen çıktıların (görüntülerin) ortak özelliğini belirleyin.
Tüm çıktıların aynı sayı (44) olduğu belirlenmiştir.
Farklı girdilerin aynı çıktıya gitmesi fonksiyonun özel bir çeşidini tanımlar.
3
Fonksiyon tanımıyla karşılaştırma yapın.
Tanım kümesindeki her elemanı aynı sabit değere götüren fonksiyonlar 'Sabit Fonksiyon' olarak adlandırılır.
Matematiksel tanım gereği f(x)=cf(x) = c (c bir sabit) formatındaki fonksiyonlar sabittir.

Anahtar Kavram

Sabit Fonksiyon: Tanım kümesindeki her bir elemanın, değer kümesindeki yalnızca bir ve aynı elemanla eşleştiği fonksiyon türüdür.

İpuçları

1
Okların uçlarının değer kümesinde (sağdaki küme) kaç farklı noktaya değdiğine bakın.
2
Eğer tüm oklar aynı noktada buluşuyorsa, bu durum fonksiyonun 'değişmez' veya 'sabit' bir sonuç ürettiğini gösterir.
3
kk, ll ve mm elemanlarının hepsinin görüntüsü 44'tür. Yani f(k)=4,f(l)=4,f(m)=4f(k)=4, f(l)=4, f(m)=4 durumu vardır.

Daha Fazla Pratik

Şemadaki okların her birini farklı bir elemana yönlendirerek fonksiyonun nasıl 'birebir' hale gelebileceğini düşünün.
Tahmini Süre:45s
Soru 36Soru →

ff bir sabit fonksiyon, gg ise bir birim (özdeş) fonksiyondur.

f(x)=ax+243x+bf(x) = \frac{ax + 24}{3x + b}
f(x)=a−6f(x) = a - 6

olduğuna göre, g(a+b)g(a + b) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Birim fonksiyonun özelliği gereği içerideki ifade dışarıya aynen çıkacağından cevap 17'dir.
Sabit fonksiyon özelliğinden faydalanarak a/3a/3 oranının a−6a-6 ifadesine eşit olduğu görülür. Buradan a=9a=9 bulunur. Katsayılar oranı 9/3=39/3=3 olduğu için 24/b=324/b=3 eşitliğinden b=8b=8 elde edilir. Birim fonksiyon g(x)=xg(x)=x olduğundan, g(9+8)=g(17)=17g(9+8)=g(17)=17 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit fonksiyonun katsayı oranlarını belirle
a3=24b\frac{a}{3} = \frac{24}{b}
Rasyonel bir fonksiyonun sabit olması için pay ve paydadaki dereceli terimlerin katsayıları orantılı olmalıdır.
2
Sabit değer ile parametre arasındaki denklemi çöz
a=9a = 9
Fonksiyonun sabit değeri katsayı oranına eşittir. a3=a−6⇒a=3a−18⇒2a=18⇒a=9\frac{a}{3} = a - 6 \Rightarrow a = 3a - 18 \Rightarrow 2a = 18 \Rightarrow a = 9 bulunur.
3
b değerini hesapla
b=8b = 8
a3=24b\frac{a}{3} = \frac{24}{b} eşitliğinde a=9a = 9 yazılırsa 93=24b⇒3=24b⇒b=8\frac{9}{3} = \frac{24}{b} \Rightarrow 3 = \frac{24}{b} \Rightarrow b = 8 olur.
4
Birim fonksiyon özelliğini uygula
g(17)=17g(17) = 17
g(x)g(x) birim fonksiyon ise g(x)=xg(x) = x'dir. g(a+b)=g(9+8)=g(17)=17g(a+b) = g(9+8) = g(17) = 17 elde edilir.

Anahtar Kavram

Sabit fonksiyonda katsayıların orantılı olması ve birim fonksiyonun girdiyi çıktıya aynen dönüştürmesi.

İpuçları

1
Sabit fonksiyonda xx'li terimlerin katsayıları oranı ile sabit sayıların oranı birbirine eşittir.
2
Fonksiyonun sonucu her zaman bu orana eşittir, yani f(x)=a/3f(x) = a/3 yazabilirsiniz.
3
Birim fonksiyon g(x)=xg(x)=x demektir, yani parantez içindeki toplamın kendisini bulmanız yeterlidir.

Daha Fazla Pratik

Birebir ve örten fonksiyonların tanım aralıkları ile ilgili soruları inceleyerek fonksiyon çeşitleri konusunu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 37Soru →

A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\} ve B={1,2,3,4,5,6}B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümeleri veriliyor. AA kümesinden BB kümesine tanımlı bir ff fonksiyonu için aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

• ff fonksiyonu birebirdir.
• f(1)⋅f(2)f(1) \cdot f(2) çarpımının sonucu bir tek sayıdır.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı ff fonksiyonu tanımlanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Belirtilen koşullara uygun 24 farklı fonksiyon tanımlanabilir.
Çarpımın tek olması için seçilen iki görüntünün de tek sayı ({1, 3, 5}) olması gerekir. 3 tek sayıdan 2 tanesi f(1) ve f(2) için P(3,2)=6 farklı şekilde seçilir. Geriye kalan 4 elemandan biri f(3) için seçilir (çünkü fonksiyon birebirdir). Toplam 6 × 4 = 24 fonksiyon vardır.

Adım Adım Çözüm

1
Tek sayı koşulunu analiz et
f(1) . f(2) çarpımının tek sayı olması için, hem f(1) hem de f(2) değerlerinin tek sayı olması gerekir.
Tam sayılarda çarpımın tek olmasının tek yolu, çarpanların hepsinin tek sayı olmasıdır.
2
B kümesindeki uygun elemanları belirle
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesindeki tek sayılar: {1, 3, 5} (3 adet).
Fonksiyonun değer kümesinden seçim yapılacak aday havuzunu belirlemek için.
3
f(1) ve f(2) için seçim sayısını hesapla
3 tek sayı arasından 2 farklı sayı seçip sıralamak: P(3, 2) = 3 × 2 = 6 farklı yol.
Fonksiyon birebir olduğu için f(1) ve f(2) farklı olmalıdır ve fonksiyon tanımında sıralama (kimin f(1) kimin f(2) olduğu) önemlidir.
4
f(3) için kalan seçenek sayısını belirle ve sonucu bul
B kümesinde toplam 6 eleman var. f(1) ve f(2) için 2 eleman kullanıldı. f(3) için geriye 6 - 2 = 4 eleman kalır. Toplam: 6 × 4 = 24.
Çarpma kuralı gereği, bağımsız aşamaların seçenek sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Birebir fonksiyonlarda eleman eşleştirme ve çarpma kuralı

İpuçları

1
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki sayının da ne tür (tek/çift) olması gerektiğini düşünün.
2
B kümesindeki tek sayılar {1, 3, 5}'tir. f(1) ve f(2) bu kümeden seçilmelidir ve fonksiyon birebir olduğu için bu değerler birbirinden farklıdır.
3
f(1) ve f(2) için 3 tek sayıdan 2'sini seçip sıralayın (Permütasyon). Ardından f(3) için B kümesinde geriye kalan kullanılmamış eleman sayısını belirleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer kurguda 'f(1) + f(2) çift sayıdır' koşulu ile fonksiyon sayısı sorulabilir.

Alternatif Yöntem

Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar yöntemiyle de çözülebilir ancak bu soruda doğrudan saymak daha pratiktir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 38Soru →

A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesi üzerinde tanımlı, birebir ve örten bir f:A→Af: A \to A fonksiyonu bulunmaktadır.

Her x∈Ax \in A için f(x)≠xf(x) \neq x koşulunun sağlandığı ve
(f∘f)(1)=1(f \circ f)(1) = 1
eşitliğinin geçerli olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı ff fonksiyonu tanımlanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Bu koşulları sağlayan 8 farklı fonksiyon vardır.
Soruda verilen (f∘f)(1)=1(f \circ f)(1) = 1 ve f(x)≠xf(x) \neq x şartları, 1'in başka bir yy elemanıyla karşılıklı yer değiştirmesini zorunlu kılar (1→y,y→11 \to y, y \to 1). yy için 4 seçenek vardır. Geriye kalan 3 elemanın hiçbiri kendi yerine gidemeyeceğinden (sabit nokta yok), bu 3 eleman için sadece 2 farklı eşleşme (şaşkın permütasyon) mümkündür. Toplam durum sayısı çarpma kuralı ile 4×2=84 \times 2 = 8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
(f∘f)(1)=1(f \circ f)(1) = 1 koşulunu analiz etme.
f(1)=yf(1) = y dersek, f(y)=1f(y) = 1 olmalıdır. f(x)≠xf(x) \neq x olduğu için y≠1y \neq 1 olmalıdır.
Fonksiyonun birebir ve örten olması ve verilen bileşke şartı, 1 ve y elemanlarının kendi aralarında eşleştiğini (takas edildiğini) gösterir.
2
yy değeri için olası seçimleri belirleme.
yy, AA kümesindeki 1 dışındaki elemanlardan biri olmalıdır (y∈{2,3,4,5}y \in \{2, 3, 4, 5\}). Toplam 4 seçenek vardır.
1 kendisiyle eşleşemez, bu nedenle kalan 4 elemandan biriyle eşleşmelidir.
3
Kalan 3 elemanın durumunu inceleme.
Geriye kalan 3 eleman (A∖{1,y}A \setminus \{1, y\}) kendi aralarında eşleşmelidir ve hiçbiri kendine gitmemelidir (f(x)≠xf(x) \neq x).
Birebir ve örtenlik gereği kalan elemanlar kalan değerleri almalıdır. Sabit nokta olmaması şartı burada da geçerlidir.
4
Kalan 3 eleman için 'Şaşkın Permütasyon' (Derangement) sayısını hesaplama.
3 elemanlı bir kümenin şaşkın permütasyon sayısı (D3D_3) 2'dir.
Örneğin kalan elemanlar {a, b, c} ise, uygun durumlar (b, c, a) ve (c, a, b) olmak üzere sadece 2 tanedir.
5
Toplam fonksiyon sayısını bulma.
4 (y seçimi) ×\times 2 (kalanların dizilimi) = 8.
Saymanın temel ilkesi (çarpma kuralı) uygulanır.

Anahtar Kavram

Bu soru, fonksiyonlarda birebir ve örtenlik kavramını, bileşke fonksiyon özelliğini ve permütasyon (özellikle sabit noktası olmayan permütasyonlar/derangement) mantığını birleştirir.

İpuçları

1
(f∘f)(1)=1(f \circ f)(1) = 1 eşitliği, 1'in görüntüsünün görüntüsünün tekrar 1 olduğunu söyler. f(1)=yf(1) = y derseniz, f(y)f(y) ne olmalıdır?
2
f(1)=yf(1)=y ve f(y)=1f(y)=1 olduğunda, 1 ve y kendi arasında bir döngü oluşturur. f(x)≠xf(x) \neq x olduğu için yy, 1'den farklı olmalıdır. y için kaç seçenek vardır?
3
y seçildikten sonra geriye 3 eleman kalır. Bu 3 elemanın hiçbiri kendi yerine gidemez (örneğin 3, 3'e gidemez). 3 elemanı, hiçbiri kendi yerine gelmeyecek şekilde kaç farklı biçimde eşleştirebilirsiniz?

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, A={1,2,3,4} kümesinde f(x)≠x şartını sağlayan kaç fonksiyon olduğu (toplam şaşkın permütasyon sayısı) sorulabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 39Soru →

A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\} ve B={a,b,c,d}B = \{a, b, c, d\} kümeleri veriliyor.

AA kümesinden BB kümesine tanımlanan fonksiyonlarla ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tanımlanabilecek örten fonksiyon sayısı 24'tür.

Cevap

Tanımlanabilecek örten fonksiyon sayısı 24'tür ifadesi yanlıştır.
Soruda yanlış olan ifade sorulmaktadır. Bir fonksiyonun örten olabilmesi için tanım kümesinin eleman sayısının değer kümesinden az olmaması gerekir (s(A)≥s(B)s(A) \ge s(B)). Verilen soruda s(A)=3s(A)=3 ve s(B)=4s(B)=4 olduğundan, A kümesindeki elemanlar B kümesinin tamamını eşleyemez. Dolayısıyla örten fonksiyon sayısı 0'dır. Seçenekte belirtilen 24 sayısı, birebir fonksiyon sayısıdır; örten fonksiyon sayısı değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin eleman sayılarını belirle.
s(A)=3s(A) = 3 ve s(B)=4s(B) = 4.
Fonksiyon sayısı hesaplamaları için eleman sayıları gereklidir.
2
Örten fonksiyon olma şartını kontrol et.
Bir fonksiyonun örten olabilmesi için tanım kümesinin eleman sayısı, değer kümesinin eleman sayısından büyük veya ona eşit olmalıdır (s(A)≥s(B)s(A) \geq s(B)).
Değer kümesindeki her elemanın en az bir karşılığı olması gerekir.
3
Verilen durumu analiz et.
3<43 < 4 olduğu için AA'daki elemanlar BB'deki tüm elemanları kapatmaya yetmez.
Güvercin Yuvası İlkesi gereği, 3 eleman en fazla 3 farklı görüntü oluşturabilir, 4 elemanı örtemez.
4
Sonucu belirle.
Tanımlanabilecek örten fonksiyon sayısı 0'dır. '24'tür' ifadesi yanlıştır.
Yanlış olan seçenek sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Örten Fonksiyon Şartı ve Sayma

İpuçları

1
Bir fonksiyonun örten olması için değer kümesindeki (B) tüm elemanların kullanılması gerekir.
2
Tanım kümesinde 3 eleman varken, değer kümesindeki 4 elemanın hepsine eşleşme yapılabilir mi?
3
s(A)<s(B)s(A) < s(B) durumunda örten fonksiyon tanımlanamaz. Sayı 0 olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Eleman sayıları s(A)=4s(A)=4 ve s(B)=3s(B)=3 olsaydı kaç tane örten fonksiyon tanımlanabilirdi?
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 40Soru →

f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} birim fonksiyon ve g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R} sabit fonksiyondur.

f(ax2+4x+b−2)=(c+1)x2+(d−1)x+6f(ax^2 + 4x + b - 2) = (c + 1)x^2 + (d - 1)x + 6
g(a+b+c+d)=a+b+c+dg(a + b + c + d) = a + b + c + d

f(c)=g(b)f(c) = g(b) olduğuna göre, g(1453)g(1453) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -14

Cevap

Sabit fonksiyon olan gg fonksiyonunun tüm gerçel sayılar için değeri −14-14 olduğundan g(1453)=−14g(1453) = -14 olur.
Birim fonksiyon tanımı gereği f(ax2+4x+b−2)=ax2+4x+b−2f(ax^2 + 4x + b - 2) = ax^2 + 4x + b - 2 olmalıdır. Bu ifadeyi (c+1)x2+(d−1)x+6(c + 1)x^2 + (d - 1)x + 6 ifadesine eşitlediğimizde a=c+1a=c+1, b=8b=8 ve d=5d=5 bulunur. Sabit fonksiyon g(x)=kg(x)=k olduğundan k=a+b+c+dk = a+b+c+d eşitliği yazılır. f(c)=g(b)f(c)=g(b) şartından c=kc=k olduğu görülür. Elde edilen c=(c+1)+8+c+5c = (c+1)+8+c+5 denklemi çözüldüğünde c=−14c=-14 bulunur. Dolayısıyla sabit fonksiyonun değeri −14-14 olarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1
ff birim fonksiyonunun özelliğini kullanarak katsayıları eşitleyin.
a=c+1a = c + 1, d−1=4⇒d=5d - 1 = 4 \Rightarrow d = 5, b−2=6⇒b=8b - 2 = 6 \Rightarrow b = 8.
Birim fonksiyon f(x)=xf(x) = x kuralına sahiptir; bu nedenle fonksiyonun içindeki ifade dışındaki ifadeye her xx değeri için eşit olmalıdır.
2
gg sabit fonksiyonunun özelliğini kullanarak sabit değeri (kk) belirleyin.
g(x)=kg(x) = k olsun. g(a+b+c+d)=k=a+b+c+dg(a + b + c + d) = k = a + b + c + d.
Sabit fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı değer kümesindeki tek bir elemana (kk) eşler.
3
kk değerini cc cinsinden yazın.
k=(c+1)+8+c+5=2c+14k = (c + 1) + 8 + c + 5 = 2c + 14.
a=c+1a = c + 1, b=8b = 8 ve d=5d = 5 değerleri toplamda yerine yazılmıştır.
4
f(c)=g(b)f(c) = g(b) eşitliğini kullanarak cc değerini bulun.
f(c)=cf(c) = c ve g(b)=kg(b) = k olduğundan c=kc = k bulunur. Buradan c=2c+14⇒c=−14c = 2c + 14 \Rightarrow c = -14.
ff birim fonksiyon olduğundan f(c)=cf(c) = c, gg sabit fonksiyon olduğundan g(b)=kg(b) = k olur.
5
Sonucu doğrulayın.
k=c=−14k = c = -14 olduğu için g(x)=−14g(x) = -14 fonksiyonu elde edilir. g(1453)=−14g(1453) = -14 bulunur.
Sabit fonksiyonun değeri tanım kümesindeki değişkene bağlı değildir.

Anahtar Kavram

Birim fonksiyon (f(x)=xf(x)=x) ve sabit fonksiyon (g(x)=kg(x)=k) özellikleri ile cebirsel katsayı eşitleme yöntemleri.
ÖncekiSayfa 2 / 3Sonraki