Examkin

Özel Tanımlı İşlemler

29 soru

Soru 21Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde ⊗\otimes işlemi,
x⊗y={2x+y,x≤yx−3y,x>yx \otimes y = \begin{cases} 2x + y, & x \le y \\ x - 3y, & x > y \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
k⊗(3⊗5)=35k \otimes (3 \otimes 5) = 35
eşitliğini sağlayan kk değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 68

Cevap

Eşitliği sağlayan tek geçerli kk değeri 68'dir.
Parantez içi işleminden 11 bulunur. Denklem k⊗11=35k \otimes 11 = 35 olur. İşlem parçalı tanımlandığı için k≤11k \le 11 ve k>11k > 11 durumları ayrı ayrı incelenir. İlk durumdan k=12k=12 bulunur ancak bu değer k≤11k \le 11 şartını sağlamaz. İkinci durumdan k=68k=68 bulunur ve bu değer k>11k > 11 şartını sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki işlemi hesapla: 3⊗53 \otimes 5
3≤53 \le 5 olduğu için 2(3)+5=6+5=112(3) + 5 = 6 + 5 = 11.
İşlem önceliğine göre önce parantez içi yapılır. x≤yx \le y durumu geçerlidir.
2
Elde edilen sonucu ana denklemde yerine yaz: k⊗11=35k \otimes 11 = 35
Denklem k⊗11=35k \otimes 11 = 35 halini alır.
Bulunan değeri yerine koyarak bilinmeyenli denklemi oluştururuz.
3
Birinci durumu (k≤11k \le 11) incele
2k+11=35⇒2k=24⇒k=122k + 11 = 35 \Rightarrow 2k = 24 \Rightarrow k = 12. ANCAK 12≤1112 \le 11 şartı sağlanmadığı için bu kök GEÇERSİZDİR.
Parçalı fonksiyonda bulunan kökün, o parçanın tanım aralığında olup olmadığı kontrol edilmelidir.
4
İkinci durumu (k>11k > 11) incele
k−3(11)=35⇒k−33=35⇒k=68k - 3(11) = 35 \Rightarrow k - 33 = 35 \Rightarrow k = 68. 68>1168 > 11 şartı sağlandığı için bu kök GEÇERLİDİR.
Diğer durumun denklemini çözüp koşul kontrolü yaparız.

Anahtar Kavram

Parçalı Tanımlı Fonksiyonlarda Denklem Çözümü ve Tanım Aralığı Kontrolü

İpuçları

1
Önce parantez içindeki (3⊗5)(3 \otimes 5) işleminin sonucunu bulun.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 22Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde ⋆\star işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x⋆y=3x−2y+1x \star y = 3x - 2y + 1
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, 4⋆54 \star 5 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Verilen özel tanımlı işlemde değişkenler yerine yazılarak hesaplama yapıldığında sonuç 3 olarak bulunur.
Verilen kuralda xx yerine 4 ve yy yerine 5 yazıldığında 3(4)−2(5)+13(4) - 2(5) + 1 ifadesi elde edilir. Bu ifadenin çözümü 12−10+112 - 10 + 1 şeklindedir ve sonuç 3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri belirle
x=4x = 4 ve y=5y = 5
İşlem tanımında yıldız sembolünün solundaki sayı xx, sağındaki sayı ise yy değerini temsil eder.
2
Değerleri formülde yerine koy
3⋅4−2⋅5+13 \cdot 4 - 2 \cdot 5 + 1
Tanımlanan x⋆y=3x−2y+1x \star y = 3x - 2y + 1 kuralını uygulamak için xx yerine 4, yy yerine 5 yazılır.
3
Aritmetik işlemleri gerçekleştir
12−10+1=312 - 10 + 1 = 3
İşlem önceliğine göre önce çarpmalar (3⋅4=123 \cdot 4 = 12 ve 2⋅5=102 \cdot 5 = 10) yapılır, ardından toplama-çıkarma sırasıyla sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde temel kural, verilen sembolün tanımındaki değişkenlerin (x, y veya a, b) yerlerine istenen sayıları doğru sırada yerleştirip standart aritmetik kurallarıyla hesaplamaktır.

İpuçları

1
Sembolün solundaki sayıyı xx, sağındaki sayıyı yy olarak kabul edin.
2
Formüldeki xx harfi yerine 4, yy harfi yerine 5 yazarak bir matematiksel ifade oluşturun.
3
Oluşturduğunuz 3⋅4−2⋅5+13 \cdot 4 - 2 \cdot 5 + 1 işleminde önce çarpmaları yaparak ilerleyin.

Daha Fazla Pratik

İşlemde parantezli bir ifade (örneğin (1⋆2)⋆3(1 \star 2) \star 3) içeren soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 23Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde ⋆\star işlemi,

x⋆y=x3−y3x2+xy+y2x \star y = \frac{x^3 - y^3}{x^2 + xy + y^2}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, (2024⋆2021)⋆m=5(2024 \star 2021) \star m = 5 eşitliğini sağlayan mm değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Eşitliği sağlayan m değeri -2'dir.
Verilen işlem, iki küp farkı özdeşliği kullanılarak sadeleştirildiğinde aslında basit bir çıkarma işlemi (x−yx-y) olduğu görülür. İlk adımda 2024−2021=32024-2021=3 bulunur. İkinci adımda 3−m=53-m=5 denklemi çözülerek m=−2m=-2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen işlemin özdeşlik kullanılarak sadeleştirilmesi.
x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) özdeşliği kullanıldığında, pay ve paydadaki terimler sadeleşir: x⋆y=x−yx \star y = x - y.
Büyük sayılarla küp hesabı yapmak yerine cebirsel sadeleştirme yapmak zaman kazandırır.
2
Parantez içindeki işlemin sonucunun bulunması.
2024⋆2021=2024−2021=32024 \star 2021 = 2024 - 2021 = 3.
İşlem tanımı (fark işlemi) uygulanır.
3
Bulunan sonucun ana denklemde yerine yazılması ve m değerinin çözülmesi.
3⋆m=5⇒3−m=5⇒−m=2⇒m=−23 \star m = 5 \Rightarrow 3 - m = 5 \Rightarrow -m = 2 \Rightarrow m = -2.
Sadeleşmiş işlem kuralı ikinci adımda da uygulanır.

Anahtar Kavram

İki Küp Farkı Özdeşliği

İpuçları

1
Paydaki x3−y3x^3 - y^3 ifadesini çarpanlarına ayırmayı deneyin.
2
x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) özdeşliğini kullanarak kesri sadeleştirin.
3
İşlem aslında x⋆y=x−yx \star y = x - y şeklindedir. Önce parantez içini yapın, sonra sonucu 5'e eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

İki kare farkı (x2−y2x^2-y^2) özdeşliği içeren benzer bir işlem sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Eğer özdeşlik hatırlanmazsa, küçük sayılarla (örneğin 2 ve 1) işlem kuralı test edilerek örüntü (x−yx-y) keşfedilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 24Soru →

A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesi üzerinde tanımlı ⋆\star işlemi aşağıdaki işlem tablosunda verilmiştir.

Buna göre, (4⋆x)⋆2=3(4 \star x) \star 2 = 3 eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5'tir.
Verilen eşitliği çözmek için dışarıdan içeriye doğru gitmek gerekir. Önce (4⋆x)(4 \star x) ifadesinin hangi değerle işleme girdiğinde sonucun 3 olduğu bulunur. Tablodan 2. sütunda sonucu 3 veren satırın 1 olduğu görülür (1⋆2=31 \star 2 = 3). Demek ki 4⋆x=14 \star x = 1 olmalıdır. Daha sonra 4. satırda sonucu 1 veren sütun aranır. Tabloda 4. satırın 5. sütun ile kesişimi 1'dir (4⋆5=14 \star 5 = 1). Bu nedenle x=5x = 5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki ifadeye geçici bir isim verelim: K=(4⋆x)K = (4 \star x). Denklem K⋆2=3K \star 2 = 3 haline gelir.
K⋆2=3K \star 2 = 3
Bilinmeyeni bulmak için işlemi dıştan içe doğru çözmek gerekir.
2
Tabloda ikinci elemanın 2, sonucun 3 olduğu satırı bulalım. Yani tablonun 2. sütununda 3 değerini arayalım.
1. Satır (1⋆2=31 \star 2 = 3)
Tablo işleminde a⋆ba \star b için a satırı ve b sütununun kesişimine bakılır. Burada sonuç ve sütun belli olduğu için satır aranır.
3
Bulduğumuz satır değeri KK'dır. Yani K=1K = 1. Şimdi ilk denkleme geri dönelim: 4⋆x=14 \star x = 1.
4⋆x=14 \star x = 1
İlk adımda bulduğumuz ara değeri yerine koyarak asıl bilinmeyene ulaşırız.
4
Tabloda 4. satırda sonucun 1 olduğu sütunu arayalım.
5. Sütun (4⋆5=14 \star 5 = 1)
4. satırdaki değerler incelendiğinde 1 değerinin 5. sütunda olduğu görülür.
5
Bulunan sütun değeri xx'tir.
x=5x = 5
İşlem tamamlanmıştır.

Anahtar Kavram

İşlem Tablosu Okuma ve Ters İşlem

İpuçları

1
İşlemi dışarıdan içeriye doğru çözmelisin. Önce (4⋆x)(4 \star x) ifadesini tek bir bilinmeyen gibi düşün.
2
Hangi sayıyı 2 ile işleme sokarsan sonuç 3 olur? Tablonun 2. sütununa bakarak 3 sonucunu veren satırı bul.
3
Tabloda 1⋆2=31 \star 2 = 3 olduğunu göreceksin. Demek ki parantez içi 1 olmalı. Şimdi 4⋆x=14 \star x = 1 denklemini çözmek için 4. satırda 1 sonucunu veren sütunu bul.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir tabloda değişme özelliğinin olup olmadığını kontrol etmeyi gerektiren sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 25Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ⋆\star işlemi,

x⋆y={x+2y,x≤y ise3x−y,x>y ise x \star y = \begin{cases} x + 2y, & x \leq y \text{ ise} \\ 3x - y, & x > y \text{ ise} \end{cases}

biçiminde veriliyor.

Buna göre, (2⋆5)⋆4(2 \star 5) \star 4 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

İşlemin sonucu 32'dir.
İşlem, verilen sayıların büyüklük ilişkisine göre iki farklı kural içermektedir. İlk adımda 2≤52 \leq 5 olduğu için üstteki kural (x+2yx+2y) uygulanır ve 12 bulunur. İkinci adımda 12>412 > 4 olduğu için alttaki kural (3x−y3x-y) uygulanır ve sonuç 32 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki (2⋆5)(2 \star 5) işlemini hesapla. x=2x=2 ve y=5y=5 değerlerini karşılaştır.
2≤52 \leq 5 olduğu için x+2yx + 2y kuralı kullanılır: 2+2(5)=2+10=122 + 2(5) = 2 + 10 = 12.
İşlem önceliğine göre önce parantez içi yapılır. xx değeri yy değerinden küçük olduğu için üstteki kural geçerlidir.
2
Bulunan sonucu yerine yazarak (12⋆4)(12 \star 4) işlemini hesapla. x=12x=12 ve y=4y=4 değerlerini karşılaştır.
12>412 > 4 olduğu için 3x−y3x - y kuralı kullanılır: 3(12)−4=36−4=323(12) - 4 = 36 - 4 = 32.
İlk işlemin sonucu 12'dir. Yeni işlemde xx değeri yy değerinden büyük olduğu için alttaki kural geçerlidir.

Anahtar Kavram

Parçalı Fonksiyon Mantığı ve İşlem Önceliği
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 26Soru →

Matematikte bazı işlemler alışılmışın dışında, semboller yardımıyla özel olarak tanımlanabilir. Gerçel sayılar kümesi üzerinde ⊗\otimes işlemi;

a⊗b=4a−3ba \otimes b = 4a - 3b

biçiminde tanımlanmıştır. Buna göre, 3⊗23 \otimes 2 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İşlem tanımında verilen değerler yerine konulduğunda sonuç 6 olarak bulunur.
Verilen a⊗b=4a−3ba \otimes b = 4a - 3b tanımında aa yerine 33, bb yerine 22 yazıldığında; 4(3)−3(2)=12−6=64(3) - 3(2) = 12 - 6 = 6 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen işlem tanımında değişkenleri belirle.
a=3a = 3 ve b=2b = 2
3⊗23 \otimes 2 ifadesinde ilk sayı aa, ikinci sayı bb değişkenine karşılık gelir.
2
Değişkenleri işlem formülünde yerine yaz.
4×3−3×24 \times 3 - 3 \times 2
aa yerine 33, bb yerine 22 yazarak matematiksel ifadeyi oluştururuz.
3
Çarpma işlemlerini gerçekleştir.
12−612 - 6
İşlem önceliğine göre önce çarpmalar yapılır.
4
Çıkarma işlemini yaparak sonucu bul.
6
Elde edilen değerler arasındaki fark hesaplanır.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde temel kural, sembolün sağındaki ve solundaki sayıları tanımda verilen uygun değişkenlerin yerine hatasız yerleştirmektir.

İpuçları

1
Bu tür sorularda sembolün solundaki sayıyı formüldeki ilk harfin, sağındaki sayıyı ise ikinci harfin yerine yazmalısın.
2
Sorumuzda a=3a=3 ve b=2b=2 olarak alınmalıdır. Şimdi bu değerleri 4a−3b4a - 3b ifadesinde yerlerine koymayı dene.
3
İşlemin son hali 4×3−3×24 \times 3 - 3 \times 2 olacaktır. Önce çarpmaları yapıp sonra çıkarmayı tamamla.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin yerini değiştirerek 2⊗32 \otimes 3 işlemini yapıp sonucun neden farklı çıktığını inceleyebilirsin.
Tahmini Süre:45s
Soru 27Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=2x+3y−2(y△x)x \triangle y = 2x + 3y - 2(y \triangle x)
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, 3△63 \triangle 6 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İstenen işlemin sonucu 6'dır.
Verilen işlem tanımı x△y=2x+3y−2(y△x)x \triangle y = 2x + 3y - 2(y \triangle x) şeklindedir. Bizden 3△63 \triangle 6 istenmektedir. Bu ifadeye AA, tersi olan 6△36 \triangle 3 ifadesine BB diyelim. Tanımı her iki durum için yazarsak:
1. Durum (x=3,y=6x=3, y=6): A=2(3)+3(6)−2B⇒A=24−2BA = 2(3) + 3(6) - 2B \Rightarrow A = 24 - 2B
2. Durum (x=6,y=3x=6, y=3): B=2(6)+3(3)−2A⇒B=21−2AB = 2(6) + 3(3) - 2A \Rightarrow B = 21 - 2A

B'nin değerini birinci denklemde yerine yazarsak:
A=24−2(21−2A)A = 24 - 2(21 - 2A)
A=24−42+4AA = 24 - 42 + 4A
A=−18+4AA = -18 + 4A
18=3A18 = 3A
A=6A = 6 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen ifadeye A, işlemdeki ters sıralı ifadeye B diyerek iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluştur.
3△6=A3 \triangle 6 = A ve 6△3=B6 \triangle 3 = B olsun. Verilen tanımdan iki denklem yazılır:
1) A=2(3)+3(6)−2B⇒A=24−2BA = 2(3) + 3(6) - 2B \Rightarrow A = 24 - 2B
2) B=2(6)+3(3)−2A⇒B=21−2AB = 2(6) + 3(3) - 2A \Rightarrow B = 21 - 2A
İşlem tanımı kendi tersine (y △ x) bağlı olduğu için, değeri doğrudan bulamayız; bir denklem sistemi kurmamız gerekir.
2
İkinci denklemi birinci denklemde yerine koyarak (substitüsyon yöntemi) A değerini bul.
A=24−2(21−2A)A = 24 - 2(21 - 2A)
A=24−42+4AA = 24 - 42 + 4A
A=−18+4AA = -18 + 4A
Bilinmeyen sayısını bire indirerek denklemi çözülebilir hale getirmek için.
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi çöz.
18=4A−A18 = 4A - A
18=3A18 = 3A
A=6A = 6
A değeri soruda bizden istenen 3△63 \triangle 6 ifadesidir.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde, işlemin sonucu kendisine veya tersine bağlı olarak verilebilir. Bu tür 'döngüsel' tanımlarda değişken değiştirme yöntemiyle denklem sistemi kurularak çözüm yapılır.

İpuçları

1
İşlemin sonucunu doğrudan bulamazsınız çünkü tanım içinde işlemin kendisi (ters çevrilmiş halde) tekrar geçmektedir.
2
3△63 \triangle 6 ifadesine A, 6△36 \triangle 3 ifadesine B diyerek iki ayrı denklem yazmayı deneyin.
3
Elde ettiğiniz A=24−2BA = 24 - 2B ve B=21−2AB = 21 - 2A denklemlerini ortak çözerek A değerini bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış ancak x⋆y=1/x+1/y−(y⋆x)x \star y = 1/x + 1/y - (y \star x) gibi rasyonel ifadeler içeren sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Taraf tarafa toplama yöntemi: Elde edilen A=24−2BA = 24 - 2B ve B=21−2AB = 21 - 2A denklemlerini düzenleyip (A+2B=24A + 2B = 24 ve 2A+B=212A + B = 21) taraf tarafa toplayarak 3(A+B)=45⇒A+B=153(A+B)=45 \Rightarrow A+B=15 bulabilir, sonra yerine koyarak A'yı çekebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 28Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy pozitif tam sayısı için aşağıdaki iki kuralı sağlamaktadır:

x△1=xx \triangle 1 = x
x△y=x⋅y+(x△(y−1))(y>1 ic¸in)x \triangle y = x \cdot y + (x \triangle (y-1)) \quad (y > 1 \text{ için})

Buna göre, 3△153 \triangle 15 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 360

Cevap

İşlemin sonucu 360'tır.
Verilen işlem incelendiğinde, x△yx \triangle y ifadesinin x⋅y+x⋅(y−1)+⋯+x⋅1x \cdot y + x \cdot (y-1) + \dots + x \cdot 1 şeklinde açıldığı görülür. Bu ifade xx parantezine alındığında x⋅(1+2+⋯+y)x \cdot (1 + 2 + \dots + y) elde edilir. 1'den yy'ye kadar olan sayıların toplamı y(y+1)2\frac{y(y+1)}{2} formülü ile bulunur. x=3x=3 ve y=15y=15 değerleri yerine yazıldığında: 3⋅15⋅162=3⋅120=3603 \cdot \frac{15 \cdot 16}{2} = 3 \cdot 120 = 360 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen yinelemeli (rekürsif) bağıntıyı inceleyerek genel kuralı keşfet.
x △ y = x·y + x·(y-1) + ... + x·1 şeklinde açılabilir.
Tanım gereği her adımda y bir azaltılarak işlem tekrar etmektedir.
2
İfadeyi x parantezine alarak toplam formülüne dönüştür.
x △ y = x · (y + (y-1) + ... + 1)
Her terimde x çarpanı ortaktır.
3
Gauss toplam formülünü (1'den n'e kadar sayıların toplamı) uygula.
1 + 2 + ... + y = y(y+1)/2 olduğundan, Formül: x · [y(y+1)/2]
Ardışık sayıların toplamını hızlı hesaplamak için bu formül gereklidir.
4
Verilen değerleri (x=3, y=15) formülde yerine koy.
3 · [15 · 16 / 2] = 3 · [120] = 360
Sonuca ulaşmak için sayısal işlem yapılır.

Anahtar Kavram

Genelleme ve Örüntü Tanıma (Rekürsif Bağıntılar)

İpuçları

1
İşlemi küçük sayılarla deneyerek örüntüyü görmeye çalışın. Örneğin x△2x \triangle 2 ve x△3x \triangle 3 neye eşit olur?
2
Tanımı açtığınızda x△y=xy+x(y−1)+x(y−2)+…x \triangle y = xy + x(y-1) + x(y-2) + \dots şeklinde bir seri elde edersiniz. Ortak çarpan parantezine almayı deneyin.
3
İşlem aslında xx sayısı ile 11'den yy'ye kadar olan tam sayıların toplamının çarpımıdır. n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} formülünü kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla tanımlanan a⋆b=a+b+(a⋆(b−1))a \star b = a + b + (a \star (b-1)) işlemi için çözüm yöntemini düşünün.

Alternatif Yöntem

Formülü fark edemezseniz, işlemi gruplayarak yapabilirsiniz: 3△15=3⋅(15+14+⋯+1)3 \triangle 15 = 3 \cdot (15 + 14 + \dots + 1). Toplamı bulmak için baştaki ve sondaki sayıları toplayıp terim sayısının yarısı ile çarpabilirsiniz (Gauss yöntemi).
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 29Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=x⋅y+4x+4y+mx \triangle y = x \cdot y + 4x + 4y + m
eşitliği ile veriliyor.

Bu işlemin yutan elemanı olduğuna göre, 22 sayısının △\triangle işlemine göre tersi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -23/6

Cevap

2 sayısının işlem altındaki tersi -23/6'dır.
Doğru cevaba ulaşmak için zincirleme bir mantık kurulmalıdır. İlk olarak 'yutan eleman' bilgisi kullanılarak işlemdeki bilinmeyen mm sayısı bulunur (y+4=0⇒y=−4y+4=0 \Rightarrow y=-4 ve 3y+m=0⇒m=123y+m=0 \Rightarrow m=12). Daha sonra işlemin 'birim elemanı' hesaplanır ((x+4)(e+3)=0⇒e=−3(x+4)(e+3)=0 \Rightarrow e=-3). Son olarak, 2 sayısının tersi tt için 2△t=e2 \triangle t = e eşitliği çözülür (6t+20=−3⇒t=−23/66t+20=-3 \Rightarrow t=-23/6).

Adım Adım Çözüm

1
Yutan eleman tanımını kullanarak m sabitini bul.
m = 12 ve yutan eleman = -4
Yutan eleman y için x ∆ y = y olmalıdır. xy + 4x + 4y + m = y eşitliğinde x parantezine alırsak x(y+4) + (3y+m) = 0. Bu eşitliğin her x için sağlanması için katsayılar 0 olmalıdır: y+4=0 => y=-4 ve 3(-4)+m=0 => m=12.
2
İşlemin kuralını m değeri ile güncelle.
x ∆ y = xy + 4x + 4y + 12
Bulunan m değerini yerine yazarak işlemin tam kuralını elde ederiz.
3
İşlemin birim (etkisiz) elemanını (e) bul.
e = -3
Birim eleman e için x ∆ e = x olmalıdır. xe + 4x + 4e + 12 = x => xe + 3x + 4e + 12 = 0 => x(e+3) + 4(e+3) = 0 => (x+4)(e+3) = 0. Her x için sağlanması için e+3=0 yani e=-3 olmalıdır.
4
2 sayısının tersini (t) bul.
t = -23/6
Bir sayının tersi ile işleme girmesi sonucu birim elemanı vermelidir. 2 ∆ t = e => 2t + 4(2) + 4t + 12 = -3 => 6t + 20 = -3 => 6t = -23 => t = -23/6.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı bir işlemde ters eleman bulabilmek için önce işlemin birim elemanının bulunması gerekir. Birim elemanın bulunabilmesi için ise (bu soruda olduğu gibi) işlemdeki bilinmeyen sabitlerin yutan eleman gibi ek bilgilerle çözülmesi gerekebilir.

İpuçları

1
Bir işlemde yutan eleman yy, her xx değeri için x△y=yx \triangle y = y eşitliğini sağlayan elemandır. Bu eşitliği kullanarak önce mm değerini bulmaya çalışın.
2
mm değerini bulduktan sonra işlemin birim elemanını (ee) bulmalısınız. Birim eleman, her xx için x△e=xx \triangle e = x eşitliğini sağlar.
3
x△y=(x+4)(y+4)−4x \triangle y = (x+4)(y+4) - 4 özdeşliğini fark ederseniz işlemleriniz kolaylaşır. Birim eleman e=−3e=-3 olacaktır. Ters eleman tanımı gereği 2△t=−32 \triangle t = -3 denklemini çözmelisiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir işlemde yutan eleman yerine 'değişme özelliği' olduğu belirtilseydi bilinmeyen katsayıları nasıl bulurdunuz?

Alternatif Yöntem

İşlem x△y=(x+4)(y+4)−4x \triangle y = (x+4)(y+4) - 4 şeklinde çarpanlarına ayrılabilir. Bu formda, işlemin esas kısmı (x+4)(y+4)(x+4)(y+4) çarpımıdır. Bu yapıda birim eleman, parantez içini 1 yapan değerdir (yani e+4=1⇒e=−3e+4=1 \Rightarrow e=-3). Ters eleman için ise (2+4)(t+4)=1(2+4)(t+4) = 1 olmalıdır.
Tahmini Süre:4m 0s
ÖncekiSayfa 2 / 2
Özel Tanımlı İşlemler Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2 | Examkin