Kombinasyonun Geometrik Uygulamaları Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Aşağıdaki şekilde birbirine paralel olan $d_1$ ve $d_2$ doğruları verilmiştir. $d_1$ doğrusu üzerinde 3 nokta, $d_2$ doğrusu üzerinde ise 4 farklı nokta işaretlenmiştir.

Buna göre, köşeleri bu noktalardan seçilen kaç farklı dörtgen oluşturulabilir?

12

18

21

30

35

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

18 farklı dörtgen oluşturulabilir.

Paralel iki doğru kullanılarak dörtgen oluşturulabilmesi için, dörtgenin iki köşesinin bir doğru üzerinde, diğer iki köşesinin ise diğer doğru üzerinde olması gerekir. Bu nedenle

d_1

doğrusundaki 3 noktadan 2'si (

C(3,2)

) ve

d_2

doğrusundaki 4 noktadan 2'si (

C(4,2)

) seçilmelidir. Çarpma kuralı gereği bu iki değer çarpılır:

3 \times 6 = 18

.

Adım Adım Çözüm

1

Dörtgen oluşturma kuralını belirle

İki paralel doğrudan dörtgen elde etmek için, her bir doğrudan ikişer nokta seçilmelidir (2 nokta üstten, 2 nokta alttan).

Paralel doğrular üzerinde bulunan noktalardan 3 tanesi seçilirse üçgen oluşur, dörtgen oluşmaz. Bu yüzden her doğrudan 2 nokta alınmalıdır.

2

d_1

doğrusundan seçim yap

C(3, 2) = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3

d_1

üzerinde 3 nokta vardır, bunlardan 2'si seçilmelidir.

3

d_2

doğrusundan seçim yap

C(4, 2) = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6

d_2

üzerinde 4 nokta vardır, bunlardan 2'si seçilmelidir.

4

Toplam durumu hesapla

3 \times 6 = 18

Seçim işlemleri birbirine bağlı olduğu için (ve) çarpma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Paralel doğrular arasında dörtgen oluşturma (Seçme / Kombinasyon)

İpuçları

1

Bir dörtgenin 4 köşesi vardır. Bu köşelerin paralel doğrular üzerine nasıl dağılması gerektiğini düşünün.

2

Dörtgen oluşması için

d_1

doğrusundan kaç nokta,

d_2

doğrusundan kaç nokta seçmelisiniz?

3

Dörtgen için her iki doğrudan da ikişer nokta seçilmelidir. Kombinasyon formülü ile

C(3,2)

ve

C(4,2)

değerlerini bulup çarpın.

Daha Fazla Pratik

Aynı noktalarla kaç farklı üçgen çizilebileceğini hesaplayınız.

Tahmini Süre:45s

Soru 22Soru →

Bir düzlemde bulunan 8 farklı doğru ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Bu doğrulardan 3 tanesi sabit bir A noktasında kesişmektedir.
* Farklı 2 tanesi birbirine paraleldir.
* Geriye kalan doğrular ile ilgili herhangi bir paralellik veya noktadaşlık durumu yoktur.

Buna göre, bu doğruların kesişimiyle en çok kaç farklı nokta oluşur?

24

25

26

27

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Doğruların en çok 25 farklı noktada kesiştiği bulunur.

Düzlemde

n

tane doğrunun en çok kesişim noktası sayısı

C(n,2)

formülü ile bulunur. Özel durumlar (paralellik veya noktadaşlık) varsa bu genel toplamdan düşülür. Sorumuzda 8 doğru vardır:

C(8,2) = 28

potansiyel kesişim. Ancak 3 doğru A noktasında kesiştiği için, bu 3 doğrunun oluşturacağı

C(3,2)=3

nokta yerine sadece 1 nokta oluşur (Kayıp: 2). Ayrıca 2 doğru paralel olduğu için, bu doğruların oluşturacağı

C(2,2)=1

nokta hiç oluşmaz (Kayıp: 1). Toplam kesişim:

28 - 2 - 1 = 25

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm durumların sayısını hesapla

C(8, 2) = 28

Hiçbir şart olmasaydı, 8 doğru en çok ikili kombinasyonları sayısı kadar noktada kesişirdi.

2

Noktadaş (bir noktada kesişen) doğrular için düzeltme yap

Azalma: C(3, 2) - 1 = 3 - 1 = 2

3 doğru normalde 3 noktada kesişecekken, hepsi tek bir A noktasında kesişmektedir. Bu yüzden toplamdan 3 çıkarıp, oluşan 1 noktayı (A) geri ekleriz (veya net kayıp 2'dir).

3

Paralel doğrular için düzeltme yap

Azalma: C(2, 2) = 1

Paralel olan 2 doğru asla kesişmez. Bu yüzden bunların oluşturması beklenen 1 kesişim noktasını toplamdan çıkarırız.

4

Sonucu hesapla

28 - 2 - 1 = 25

Tüm durumlardan hesaplanan kayıpları düşerek en çok kesişim sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

Kombinasyon ile Kesişim Sayısı Hesabı

İpuçları

1

Önce hiçbir özel durum yokmuş gibi 8 doğrunun en çok kaç noktada kesişeceğini hesaplayın.

2

Bir noktada kesişen 3 doğru için normalde beklenen kesişim sayısını toplamdan çıkarıp, oluşan o tek noktayı ekleyin.

3

Paralel olan 2 doğru asla kesişmez, bu yüzden onlardan gelecek 1 kesişim noktasını toplamdan tamamen çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, çemberlerin kesişim sayısı (her iki çember en çok 2 noktada kesişir) üzerine bir soru çözülebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 23Soru →

Bir kağıt üzerine, yatay ve dikey olarak eşit aralıklarla yerleştirilmiş 9 nokta, aşağıdaki gibi 3x3'lük bir kare düzeni oluşturacak şekilde işaretlenmiştir.

Buna göre, köşeleri bu 9 noktadan seçilen en çok kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

84

82

78

76

72

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 76

Cevap

76

9 noktadan seçilebilecek tüm üçlülerin sayısı

C(9,3) = 84

'tür. Ancak aynı doğru üzerinde bulunan 3 nokta üçgen oluşturmaz. Şekilde 3 yatay, 3 dikey ve 2 çapraz olmak üzere toplam 8 adet 3'lü doğrusal grup vardır. Bu 8 durum toplamdan çıkarıldığında

84 - 8 = 76

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm olası üçlü seçimlerin sayısını hesapla.

C(9,3) = 84

9 noktadan herhangi 3'ünü seçmenin toplam yolu.

2

Üçgen oluşturmayan doğrusal (aynı doğru üzerindeki) nokta gruplarını belirle.

3 yatay, 3 dikey ve 2 çapraz sıra tespit edildi.

Aynı doğru üzerindeki 3 nokta birleştiğinde üçgen değil, doğru belirtir.

3

Doğrusal grupların her birinden yapılabilecek seçim sayısını hesapla ve topla.

8 grup x C(3,3) = 8 seçim.

Toplam 8 adet doğrusal üçlü grup vardır.

4

Tüm durumlardan üçgen oluşturmayan durumları çıkar.

84 - 8 = 76

Toplam kombinasyondan geçersiz durumlar çıkarılarak üçgen sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

Doğrusal olmayan noktalarla üçgen oluşturma prensibi: C(n,3) - (Doğrusal Gruplar)

İpuçları

1

Tüm noktalardan seçilebilecek üçlülerin sayısından, üçgen oluşturmayanları çıkarmalısınız.

2

Aynı doğru üzerinde bulunan 3 nokta üçgen belirtmez. Yatay ve dikey sıralara ek olarak başka doğrusal sıra var mı kontrol edin.

3

3 yatay ve 3 dikey sıranın yanı sıra, 2 tane de çapraz (köşegen) sıra mevcuttur. Toplam 8 doğrusal grup vardır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 24Soru →

Bir düzlem üzerinde, sabit bir $A$ noktasında kesişen $d_1, d_2, d_3$ ve $d_4$ doğruları bulunmaktadır. Bu doğrular üzerinde $A$ noktası haricinde;

* $d_1$ doğrusu üzerinde 3 farklı nokta,
* $d_2$ doğrusu üzerinde 3 farklı nokta,
* $d_3$ doğrusu üzerinde 4 farklı nokta,
* $d_4$ doğrusu üzerinde 2 farklı nokta

işaretlenmiştir. Buna göre, köşeleri işaretlenen bu noktalardan ( $A$ noktası dahil) seçilen kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

214

260

267

280

286

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 267

Cevap

Verilen noktalardan oluşturulabilecek üçgen sayısı 267'dir.

Toplam nokta sayısı

A

dahil 13'tür. Tüm üçlü seçimler

\binom{13}{3} = 286

dır. Ancak aynı doğru üzerindeki noktalar üçgen oluşturmaz. Her doğru için

A

noktasını da hesaba katarak doğrudaş nokta sayılarını buluruz:

d_1

için 4,

d_2

için 4,

d_3

için 5,

d_4

için 3 nokta vardır. Bu gruplardan yapılan 3'lü seçimler (

4+4+10+1=19

) toplamdan çıkarılır:

286 - 19 = 267

.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam nokta sayısını belirle.

Doğrular üzerindeki noktalar (3+3+4+2 = 12) ve kesişim noktası A (1) dahil toplam 13 nokta vardır.

Üçgen oluşturabilecek tüm potansiyel köşe noktalarının havuzunu belirlemek gerekir.

2

Hiçbir koşul yokmuş gibi tüm üçlü kombinasyonları hesapla.

C(13, 3) = (13 × 12 × 11) / (3 × 2 × 1) = 286.

Genel durumu bulup, geçersiz durumları çıkarmak (tümleyen yöntemi) bu tip sorularda en pratik yoldur.

3

Her bir doğru üzerindeki doğrudaş (aynı doğru üzerinde olan) nokta gruplarını ve bunların oluşturamadığı üçgen sayılarını hesapla.

d1: A dahil 4 nokta → C(4,3)=4
d2: A dahil 4 nokta → C(4,3)=4
d3: A dahil 5 nokta → C(5,3)=10
d4: A dahil 3 nokta → C(3,3)=1
Toplam çıkarılacak: 4 + 4 + 10 + 1 = 19.

Aynı doğru üzerindeki 3 nokta üçgen oluşturmaz, bir doğru parçası oluşturur. A noktası her grubun elemanıdır.

4

Tüm durumlardan geçersiz durumları çıkar.

286 - 19 = 267.

Gerçek üçgen sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Doğrudaş olmayan üç nokta bir üçgen belirtir. Kesişen doğrularda kesişim noktası her bir doğru grubuna dahildir.

İpuçları

1

Önce düzlemdeki toplam nokta sayısını (A noktası dahil) hesaplayın.

2

Tüm noktalardan rastgele 3 nokta seçildiğinde oluşabilecek tüm durumları hesaplayın, sonra üçgen oluşturmayan durumları çıkarın.

3

Aynı doğru üzerinde bulunan 3 nokta üçgen oluşturmaz. Kesişim noktası A'nın her bir doğrunun elemanı olduğunu unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, üçgen yerine 'bir köşesi A olan dörtgenler' şeklinde kurgulayarak çözmeyi deneyin.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 25Soru →

Bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ kenarı üzerinde $A$ ve $B$ köşeleri dahil 4 nokta, $[BC]$ kenarı üzerinde $B$ ve $C$ köşeleri dahil 5 nokta ve $[AC]$ kenarı üzerinde $A$ ve $C$ köşeleri dahil 6 nokta bulunmaktadır.

Buna göre, köşeleri işaretlenen bu noktalardan seçilen ve bir köşesi A noktası olan kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

32

42

55

66

186

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

42 farklı üçgen oluşturulabilir

Soruda bir köşenin mutlaka A olması istendiği için problem, A dışındaki 11 noktadan 2'sinin seçilmesi problemine dönüşür (

\binom{11}{2}=55

). Ancak seçilen bu iki noktanın A ile doğrusal olmaması gerekir. A noktasından geçen doğrular

[AB]

ve

[AC]

'dir.

[AB]

üzerindeki A hariç 3 noktadan yapılan 2'li seçimler (

\binom{3}{2}=3

) ve

[AC]

üzerindeki A hariç 5 noktadan yapılan 2'li seçimler (

\binom{5}{2}=10

) üçgen oluşturmaz.

[BC]

üzerindeki noktalar A ile doğrusal değildir. Sonuç:

55 - (3+10) = 42

.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam nokta sayısını ve seçim yapılacak havuzu belirle

Toplam nokta sayısı:

(4-2) + (5-2) + (6-2) + 3(\text{köşe}) = 12

nokta. Bir köşe A olarak sabitlendiğinden, diğer 2 köşe kalan

12 - 1 = 11

nokta arasından seçilecektir.

Üçgen oluşturmak için 3 köşe gereklidir; biri (A) zaten bellidir.

2

Tüm olası ikili seçimleri hesapla

\binom{11}{2} = \frac{11 \cdot 10}{2} = 55

.

Herhangi bir kısıt olmadan 11 noktadan 2 nokta bu kadar farklı şekilde seçilebilir.

3

Üçgen oluşturmayan (A ile doğrusal olan) durumları çıkar

A noktasından geçen doğrular üzerindeki ikililer üçgen oluşturmaz:
-

[AB]

üzerinde A hariç 3 nokta vardır:

\binom{3}{2} = 3

durum.
-

[AC]

üzerinde A hariç 5 nokta vardır:

\binom{5}{2} = 10

durum.
Toplam çıkarılacak:

13

.

Seçilen 2 nokta A ile aynı doğru üzerindeyse (doğrudaş) üçgen oluşmaz.

[BC]

üzerindeki noktalar A ile doğrusal olmadığından çıkarma yapılmaz.

4

Geçerli üçgen sayısını bul

55 - 13 = 42

.

Tüm ikili seçimlerden geçersiz olanlar çıkarılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sabit bir köşeye sahip üçgenleri sayarken, o köşeden geçen doğrular üzerindeki nokta çiftleri 'doğrusallık' nedeniyle elenir; ancak o köşeden geçmeyen doğrular üzerindeki çiftler (o köşe ile birleşince üçgen oluşturdukları için) elenmez.

İpuçları

1

Bir köşe A olarak sabitlendiğine göre, üçgeni tamamlamak için geriye kalan noktalardan kaç tane daha seçmelisiniz?

2

Geriye kalan 11 noktadan rastgele 2 nokta seçebilirsiniz (

\binom{11}{2}

), ancak bu noktaların A ile 'doğrusal' olmaması gerekir.

3

Sadece A noktasından geçen

[AB]

ve

[AC]

doğruları üzerindeki nokta çiftleri A ile üçgen oluşturamaz.

[BC]

üzerindeki noktalar A ile doğrusal değildir.

Alternatif Yöntem

Yapılandırmacı Yöntem: Üçgenin diğer iki köşesi için olası konumları toplayabilirsiniz:
1) Biri

[AB]

(A hariç), biri

[AC]

(A hariç) üzerinde:

3 \times 5 = 15

2) Biri

[AB]

(A hariç), biri

[BC]

üzerinde:

3 \times 5 = 15

3) Biri

[AC]

(A hariç), biri

[BC]

üzerinde:

5 \times 5 = 25

Ancak

[BC]

üzerindeki noktaların

[AB]

veya

[AC]

ile kesişim (köşe) durumlarını dikkatli ayıklamak zordur, bu yüzden çıkarma yöntemi daha güvenilirdir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 26Soru →

Bir duvar saatinin kadranı üzerinde, 1'den 12'ye kadar olan sayıların bulunduğu noktalar işaretlenmiştir. Bu noktalardan rastgele seçilen üç nokta birleştirilerek üçgenler oluşturuluyor.

Buna göre, oluşturulan bu üçgenlerden kaç tanesi dik üçgendir?

30

48

60

110

220

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

60 tane dik üçgen oluşturulabilir.

Bir çember üzerinde seçilen üç noktanın dik üçgen oluşturabilmesi için, bu noktalardan ikisinin birleştiren doğrunun çemberin çapı olması gerekir (Çapı gören çevre açı 90°'dir). 12 noktalı bir saat kadranında 6 adet çap bulunur (12-6, 1-7 vb.). Seçilen her bir çap hipotenüs kabul edildiğinde, geriye kalan 10 noktanın her biri üçüncü köşe olabilir. Dolayısıyla toplam dik üçgen sayısı 6 (çap) × 10 (nokta) = 60 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dik üçgen oluşma şartını belirle.

Bir çember üzerinde köşeleri bulunan bir üçgenin dik üçgen olabilmesi için, bir kenarının çemberin çapı olması gerekir (Çapı gören çevre açı 90 derecedir).

Thales Teoremi gereği.

2

Kadrandaki çap sayısını bul.

Saat kadranında karşılıklı sayılar birleştirildiğinde çap oluşur (12-6, 1-7, 2-8, 3-9, 4-10, 5-11). Toplam 6 adet çap vardır.

12 nokta simetrik dizilmiştir, n/2 tane çap vardır.

3

Her bir çap için oluşabilecek üçgen sayısını hesapla.

Bir çap seçildiğinde (örneğin 12-6), geriye kalan 10 noktanın her biri, bu çapla birleştirildiğinde bir dik üçgen oluşturur.

Üçgenin hipotenüsü çaptır, üçüncü köşe çember üzerindeki diğer herhangi bir nokta olabilir.

4

Toplam dik üçgen sayısını hesapla.

6 (çap sayısı) x 10 (her çap için nokta sayısı) = 60.

Çarpma kuralı.

Anahtar Kavram

Çemberde çapı gören çevre açının 90° olması prensibi ile sayma yöntemlerinin birleştirilmesi.

İpuçları

1

Bir üçgenin dik üçgen olabilmesi için köşelerinin çember üzerinde nasıl konumlanması gerektiğini düşünün.

2

Çemberde çapı gören çevre açı 90 derecedir. Yani dik üçgenlerin hipotenüsü mutlaka çap olmalıdır.

3

Saat kadranında kaç tane çap çizilebilir? Her bir çap için kaç farklı üçüncü nokta seçebilirsiniz?

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 'Bu noktalardan oluşturulan dikdörtgen sayısı kaçtır?' sorusu çözülebilir (İki çapın seçimi dikdörtgen oluşturur).

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak; her bir nokta (örneğin '12') dik açının olduğu köşe olabilir. '12' noktasının dik köşe olması için diğer iki noktanın '12'den geçen çapa (6-12) göre simetrik olması veya çap uçları olması gerekmez; '12' noktasının dik açı olması için hipotenüsün '12'den geçmemesi gerekir. Ancak bu yöntem daha karmaşıktır. En pratik yöntem hipotenüs (çap) üzerinden saymaktır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 27Soru →

Aşağıdaki şekilde birbirine paralel olan $d_1$ ve $d_2$ doğruları verilmiştir. $d_1$ doğrusu üzerinde 4 nokta, $d_2$ doğrusu üzerinde ise 3 nokta işaretlenmiştir.

Buna göre, köşeleri bu 7 noktadan herhangi üçü olan kaç farklı üçgen çizilebilir?

30

35

12

5

34

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Köşeleri bu noktalardan seçilen toplam 30 farklı üçgen çizilebilir.

Toplam 7 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısı 35'tir. Ancak bu seçimlerden bazıları aynı doğru üzerinde (doğrusal) olduğu için üçgen belirtmez. Üstteki 4 noktadan seçilen 4 grup ve alttaki 3 noktadan seçilen 1 grup üçgen oluşturmadığı için, toplam 35 durumdan bu 5 durum çıkarıldığında 30 farklı üçgen elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam nokta sayısını ve tüm seçimleri belirle.

Toplam

4 + 3 = 7

nokta vardır. Hiçbiri doğrusal olmasaydı

\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35

üçgen oluşurdu.

Üçgen oluşturmak için düzlemde doğrusal olmayan 3 nokta seçilmelidir.

2

Aynı doğru üzerinde oldukları için üçgen oluşturmayan durumları hesapla.

d_1

doğrusundaki 4 noktadan seçilen 3'lüler:

\binom{4}{3} = 4

.

d_2

doğrusundaki 3 noktadan seçilen 3'lüler:

\binom{3}{3} = 1

.

Aynı doğru üzerindeki noktalar seçildiğinde bir üçgen değil, bir doğru parçası oluşur.

3

Tüm durumlardan üçgen oluşturmayanları çıkar.

35 - (4 + 1) = 35 - 5 = 30

.

Geometrik kombinasyon problemlerinde 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' yöntemi en güvenilir yoldur.

Anahtar Kavram

Kombinasyon Kullanarak Geometrik Şekil Sayma

İpuçları

1

Üçgen oluşturmak için 7 noktadan 3 tanesini seçmelisin.

2

Aynı doğru üzerinde bulunan noktalar (örneğin d1 üzerindeki 4 noktadan herhangi 3'ü) seçildiğinde bir üçgen oluşmaz.

3

Hesaplamanı şu şekilde yapabilirsin: (Toplam 3'lü seçimler) - (d1 üzerindeki 3'lü seçimler) - (d2 üzerindeki 3'lü seçimler).

Daha Fazla Pratik

Noktalar paralel doğrular yerine bir çember üzerinde olsaydı hesaplama nasıl değişirdi?

Alternatif Yöntem

Veya şu şekilde düşünebilirsin: (d1'den 1, d2'den 2 nokta seçimi) + (d1'den 2, d2'den 1 nokta seçimi). Yani; C(4,1)*C(3,2) + C(4,2)*C(3,1) = 4*3 + 6*3 = 12 + 18 = 30.

Tahmini Süre:50s

Soru 28Soru →

Bir yarım çember üzerinde 9 farklı nokta işaretlenmiştir. Bu noktalardan 5 tanesi çap (doğru parçası) üzerinde, geri kalan 4 tanesi ise yay üzerindedir. Buna göre, köşeleri bu 9 noktadan herhangi üçü olan en fazla kaç farklı üçgen çizilebilir?

84

80

78

74

64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 74

Cevap

Verilen 9 noktadan toplam 74 farklı üçgen çizilebilir.

Toplam 9 nokta arasından seçilebilecek tüm üçlü grupların sayısı 84'tür. Ancak çap üzerinde bulunan 5 nokta doğrusal olduğu için bu noktalardan seçilen herhangi üçlü grup bir üçgen oluşturmaz. Bu geçersiz durumların sayısı 10 olduğu için, toplamdan çıkarıldığında 74 adet geçerli üçgen kalır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam nokta sayısını ve seçilmesi gereken nokta sayısını belirleme.

n = 9

nokta ve bir üçgen için 3 nokta gereklidir.

Üçgen oluşturmak için düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 3 nokta seçilmelidir.

2

Hiçbir kısıtlama olmaksızın yapılabilecek tüm 3'lü seçimleri hesaplama.

\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84

Kombinasyon formülü kullanılarak toplam durum sayısı bulunur.

3

Aynı doğru (çap) üzerinde bulunan ve üçgen oluşturmayan noktaları belirleme.

Çap üzerinde 5 nokta bulunmaktadır.

Doğrusal noktalar kendi aralarında üçgen oluşturamazlar.

4

Doğrusal olan bu noktalardan yapılan 3'lü seçimleri hesaplama.

\binom{5}{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10

Bu 10 durum üçgen oluşturmadığı için toplamdan çıkarılmalıdır.

5

Toplam durumdan geçersiz durumları çıkarma.

84 - 10 = 74

Oluşabilecek maksimum üçgen sayısına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyonun geometrik uygulamalarında, üçgen sayısı 'Tüm Durumlar - Doğrusal Durumlar' formülü ile hesaplanır.

İpuçları

1

Üçgen oluşturmak için seçilen 3 noktanın aynı doğru üzerinde olmaması gerektiğini hatırla.

2

Önce tüm 9 noktadan kaç farklı 3'lü grup seçebileceğini bul, sonra çap üzerindeki 5 noktadan oluşan 3'lü grupları çıkar.

3

\binom{9}{3}

değerinden

\binom{5}{3}

değerini çıkararak sonuca ulaşabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı kullanarak, bu noktalarla kaç farklı doğru çizilebileceğini hesaplamayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Üçgenleri gruplandırarak da sayabilirsiniz: (Yaydan 1 nokta, Çaptan 2 nokta) + (Yaydan 2 nokta, Çaptan 1 nokta) + (Yaydan 3 nokta). Yani:

\binom{4}{1} \cdot \binom{5}{2} + \binom{4}{2} \cdot \binom{5}{1} + \binom{4}{3} = 4 \cdot 10 + 6 \cdot 5 + 4 = 40 + 30 + 4 = 74

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 29Soru →

Bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ kenarı üzerinde köşeler dâhil 5 nokta, $[BC]$ kenarı üzerinde köşeler dâhil 6 nokta ve $[AC]$ kenarı üzerinde köşeler dâhil 7 nokta işaretlenmiştir.

Buna göre, köşeleri bu işaretli noktalardan seçilen kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

360

390

415

435

455

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 390

Cevap

İşaretli noktalardan oluşturulabilecek üçgen sayısı 390'dır.

Toplam nokta sayısı köşelerdeki ortaklık dikkate alınarak 15 olarak bulunur. 15 noktadan seçilecek tüm 3'lü kombinasyonlardan (455), aynı kenar üzerinde bulunup üçgen oluşturamayan 3'lü gruplar (65) çıkarılarak doğru sonuç olan 390 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam işaretli nokta sayısını belirle.

Kenarlardaki nokta sayıları toplanırken köşeler (

A, B, C

) ikişer kez sayıldığı için düzeltme yapılır:

5 + 6 + 7 - 3 = 15

toplam nokta vardır.

Üçgenin köşeleri her iki birleşen kenarın da elemanıdır, bu yüzden toplama işleminde mükerrer sayımı önlemek gerekir.

2

Tüm noktalardan oluşturulabilecek üçlü kombinasyon sayısını hesapla.

\binom{15}{3} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 455

.

Hiçbir şart olmasaydı seçilebilecek tüm üçlü grupların sayısı budur.

3

Doğrusal olan (aynı kenar üzerindeki) noktaların oluşturduğu üçlüleri hesapla.

[AB]

için

\binom{5}{3} = 10

,

[BC]

için

\binom{6}{3} = 20

,

[AC]

için

\binom{7}{3} = 35

. Toplam:

10 + 20 + 35 = 65

.

Aynı doğru üzerindeki 3 nokta üçgen oluşturmaz, bu durumların toplamdan çıkarılması gerekir.

4

Tüm durumlardan üçgen oluşturmayan durumları çıkar.

455 - 65 = 390

.

Kombinasyonun geometrik uygulamasında geçerli üçgen sayısı, tüm olasılıklardan imkansız (doğrusal) durumların farkıdır.

Anahtar Kavram

Doğrusal olmayan noktalarla üçgen oluşturma kuralı:

\binom{n}{3} - \text{(Doğrusal olanların kombinasyonları)}

İpuçları

1

Önce üçgen üzerinde toplam kaç adet benzersiz nokta olduğunu belirleyin. Köşelerin (

A, B, C

) her iki kenara da dâhil olduğunu unutmayın.

2

Tüm noktalardan rastgele 3 nokta seçildiğinde (kombinasyon), bunların üçgen oluşturmaması için ne gereklidir? Aynı doğru üzerindeki 3 nokta üçgen oluşturmaz.

3

Toplam nokta sayısı 15'tir.

\binom{15}{3}

değerinden, her bir kenar üzerindeki noktaların kendi aralarındaki 3'lü kombinasyonlarını (

\binom{5}{3}, \binom{6}{3}, \binom{7}{3}

) çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, paralel iki doğru üzerindeki noktalardan kaç üçgen oluşturulabileceğini soran soruları çözünüz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak 'Bir nokta bir kenardan, diğer iki nokta diğer kenarlardan' veya 'Her kenardan bir nokta' yöntemleri ile de sayılabilir, ancak bu yöntem işlem kalabalığı nedeniyle hataya daha açıktır.

Tahmini Süre:2m 30s

Kombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem