Examkin

Soru

Zorluk: ZorKombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Bir ABCABC üçgeninin [AB][AB] kenarı üzerinde köşeler dâhil 5 nokta, [BC][BC] kenarı üzerinde köşeler dâhil 6 nokta ve [AC][AC] kenarı üzerinde köşeler dâhil 7 nokta işaretlenmiştir.

Buna göre, köşeleri bu işaretli noktalardan seçilen kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

  1. A
    360
  2. 390Cevap
  3. C
    415
  4. D
    435
  5. E
    455

Cevap

İşaretli noktalardan oluşturulabilecek üçgen sayısı 390'dır.
Toplam nokta sayısı köşelerdeki ortaklık dikkate alınarak 15 olarak bulunur. 15 noktadan seçilecek tüm 3'lü kombinasyonlardan (455), aynı kenar üzerinde bulunup üçgen oluşturamayan 3'lü gruplar (65) çıkarılarak doğru sonuç olan 390 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam işaretli nokta sayısını belirle.
Kenarlardaki nokta sayıları toplanırken köşeler (A,B,CA, B, C) ikişer kez sayıldığı için düzeltme yapılır: 5+6+7−3=155 + 6 + 7 - 3 = 15 toplam nokta vardır.
Üçgenin köşeleri her iki birleşen kenarın da elemanıdır, bu yüzden toplama işleminde mükerrer sayımı önlemek gerekir.
2
Tüm noktalardan oluşturulabilecek üçlü kombinasyon sayısını hesapla.
(153)=15⋅14⋅133⋅2⋅1=455\binom{15}{3} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 455.
Hiçbir şart olmasaydı seçilebilecek tüm üçlü grupların sayısı budur.
3
Doğrusal olan (aynı kenar üzerindeki) noktaların oluşturduğu üçlüleri hesapla.
[AB][AB] için (53)=10\binom{5}{3} = 10, [BC][BC] için (63)=20\binom{6}{3} = 20, [AC][AC] için (73)=35\binom{7}{3} = 35. Toplam: 10+20+35=6510 + 20 + 35 = 65.
Aynı doğru üzerindeki 3 nokta üçgen oluşturmaz, bu durumların toplamdan çıkarılması gerekir.
4
Tüm durumlardan üçgen oluşturmayan durumları çıkar.
455−65=390455 - 65 = 390.
Kombinasyonun geometrik uygulamasında geçerli üçgen sayısı, tüm olasılıklardan imkansız (doğrusal) durumların farkıdır.

Anahtar Kavram

Doğrusal olmayan noktalarla üçgen oluşturma kuralı: (n3)−(Dog˘rusal olanların kombinasyonları)\binom{n}{3} - \text{(Doğrusal olanların kombinasyonları)}

İpuçları

1
Önce üçgen üzerinde toplam kaç adet benzersiz nokta olduğunu belirleyin. Köşelerin (A,B,CA, B, C) her iki kenara da dâhil olduğunu unutmayın.
2
Tüm noktalardan rastgele 3 nokta seçildiğinde (kombinasyon), bunların üçgen oluşturmaması için ne gereklidir? Aynı doğru üzerindeki 3 nokta üçgen oluşturmaz.
3
Toplam nokta sayısı 15'tir. (153)\binom{15}{3} değerinden, her bir kenar üzerindeki noktaların kendi aralarındaki 3'lü kombinasyonlarını ((53),(63),(73)\binom{5}{3}, \binom{6}{3}, \binom{7}{3}) çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, paralel iki doğru üzerindeki noktalardan kaç üçgen oluşturulabileceğini soran soruları çözünüz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak 'Bir nokta bir kenardan, diğer iki nokta diğer kenarlardan' veya 'Her kenardan bir nokta' yöntemleri ile de sayılabilir, ancak bu yöntem işlem kalabalığı nedeniyle hataya daha açıktır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru