Olasılık Kavramları ve Fonksiyonu

22 soru

Bir $E$ örnek uzayında tanımlı $A$ ve $B$ olayları için $P(A) = \frac{2}{3}$ ve $P(B) = \frac{3}{4}$ değerleri verilmiştir.

Buna göre, $A$ ve $B$ olaylarının kesişiminin olasılığı olan $P(A \cap B)$ değerinin alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{3}{4}

\frac{11}{12}

\frac{13}{12}

\frac{7}{6}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{13}{12}$

Cevap

\frac{13}{12}

İki olayın kesişiminin alabileceği en büyük değer, olaylardan olasılığı küçük olanın değerine eşittir (biri diğerinin alt kümesi olduğunda). En küçük değer ise, birleşimlerinin olasılığı en fazla 1 olabileceği gerçeğinden yola çıkarak hesaplanır. Bu soruda Maksimum =

2/3

(

8/12

) ve Minimum =

5/12

bulunur. Toplamları

13/12

'dir.

Adım Adım Çözüm

Olasılık değerlerini karşılaştırmak için paydaları eşitle.

P(A) = \frac{2}{3} = \frac{8}{12}

P(B) = \frac{3}{4} = \frac{9}{12}

Değerleri kıyaslamak ve işlem yapmak için ortak payda gereklidir.

P(A \cap B)

için en büyük değeri (maksimum kesişim) belirle.

En büyük değer, küçük olan kümenin diğerinin alt kümesi olduğu durumdur:

\text{Maks} = P(A) = \frac{8}{12}

Kesişim, kümelerden küçük olanın olasılığını aşamaz (

A \subset B

durumu).

P(A \cap B)

için en küçük değeri (minimum kesişim) belirle.

P(A \cup B) \le 1

kuralından;

P(A) + P(B) - P(A \cap B) \le 1

\Rightarrow \frac{8}{12} + \frac{9}{12} - P(A \cap B) \le 1

\Rightarrow \frac{17}{12} - 1 \le P(A \cap B)

\Rightarrow \text{Min} = \frac{5}{12}

Kesişimin en az olması için birleşim kümesinin örnek uzayı doldurması gerekir (

P(A \cup B)=1

Bulunan en büyük ve en küçük değerleri topla.

\frac{8}{12} + \frac{5}{12} = \frac{13}{12}

Soru bu iki uç değerin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Kesişimin Sınır Değerleri (Bounds of Intersection)

İpuçları

İki kümenin kesişiminin en çok olması için, kümelerden biri diğerinin içinde olmalıdır.

Kesişimin en az olması için, kümelerin birleşimi örnek uzayın tamamını (

1

) kaplamalıdır.

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

formülünde

P(A \cup B)

yerine en fazla 1 yazarak minimum kesişimi bulabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek;

P(A)=8k, P(B)=9k

ve Evrensel=12k diyerek bölgelere değer verilebilir. Maksimum kesişim

8k

, minimum kesişim

(8k+9k)-12k = 5k

olarak görselleştirilebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 22Soru →

Bir kamu kurumunda personelin yıllık performans değerlendirmesi sonucunda; "beklentinin üzerinde", "beklentiyi karşılayan" ve "geliştirilmesi gereken" şeklinde üç farklı sonuç kategorisi tanımlanmıştır. Rastgele seçilen bir personelin bu kategorilerde yer alma olasılıkları aşağıda verilmiştir:

Performans Kategorisi	Olasılık Değeri
Beklentinin Üzerinde	$2x - 0,1$
Beklentiyi Karşılayan	$3x + 0,2$
Geliştirilmesi Gereken	$x$

Buna göre, seçilen personelin performansının 'beklentinin üzerinde' olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

0,15

0,20

0,30

0,18

0,65

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,20$

Cevap

Seçilen personelin performansının 'beklentinin üzerinde' olma olasılığı

0,20

olarak hesaplanır.

Olasılık teorisinde bir örnek uzayı oluşturan tüm olayların olasılıkları toplamı

1

olmalıdır. Soruda verilen üç kategorinin toplamı

6x + 0,1 = 1

denklemini verir. Buradan

x = 0,15

bulunur. Beklentinin üzerinde olma olasılığı

2x - 0,1

olarak tanımlandığı için,

x

yerine

0,15

yazıldığında

0,3 - 0,1 = 0,2

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Olasılık aksiyomlarını uygula

P(B_u) + P(B_k) + P(G) = 1

Bir örnek uzaydaki tüm ayrık olayların olasılıkları toplamı daima 1'e eşittir.

Verilen ifadeleri yerine koyarak denklem kur

(2x - 0,1) + (3x + 0,2) + x = 1

Kategorilere ait cebirsel olasılık değerlerini toplam olasılık formülüne yerleştiriyoruz.

Denklemi çözerek

x

değerini bul

6x + 0,1 = 1 \Rightarrow 6x = 0,9 \Rightarrow x = 0,15

Benzer terimler toplanır ve sabit sayılar eşitliğin diğer tarafına geçirilerek bilinmeyen yalnız bırakılır.

İstenen olasılık değerini hesapla

P(B_u) = 2(0,15) - 0,1 = 0,3 - 0,1 = 0,2

x

değeri 'beklentinin üzerinde' olma olasılığını veren

2x - 0,1

ifadesinde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Olasılık Fonksiyonu ve Toplam Olasılık Aksiyomu

İpuçları

Bir olasılık deneyindeki tüm çıktıların olasılıkları toplamının her zaman 1 olduğunu hatırlayın.

Tabloda verilen üç farklı ifadenin toplamını 1'e eşitleyen bir denklem kurun ve

x

değerini bulun.

Bulduğunuz

x

değerini, soruda özellikle istenen 'Beklentinin Üzerinde' satırındaki

2x - 0,1

formülünde yerine yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, olasılıkların birbirine oranının verildiği (örneğin birinin olasılığı diğerinin 2 katı) soruları çözerek pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Verilen seçenekleri

x

değerine bağlı olarak test edebilirsiniz. Örneğin doğru seçenek

0,2

ise;

2x - 0,1 = 0,2 \Rightarrow 2x = 0,3 \Rightarrow x = 0,15

olur. Bu

x

değerini diğer tüm kategorilerde yerine yazdığınızda toplamın 1 olup olmadığını kontrol ederek de sonuca gidebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

ÖncekiSayfa 2 / 2

Olasılık Kavramları ve Fonksiyonu

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem