Bir E örnek uzayında tanımlı A ve B olayları için P(A) = \frac{2}{3} ve P(B) = \frac{3}{4}… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Bir $E$ örnek uzayında tanımlı $A$ ve $B$ olayları için $P(A) = \frac{2}{3}$ ve $P(B) = \frac{3}{4}$ değerleri verilmiştir.

Buna göre, $A$ ve $B$ olaylarının kesişiminin olasılığı olan $P(A \cap B)$ değerinin alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{3}{4}$
B
$\frac{11}{12}$
C
1
$\frac{13}{12}$ Cevap
E
$\frac{7}{6}$

Cevap

\frac{13}{12}

İki olayın kesişiminin alabileceği en büyük değer, olaylardan olasılığı küçük olanın değerine eşittir (biri diğerinin alt kümesi olduğunda). En küçük değer ise, birleşimlerinin olasılığı en fazla 1 olabileceği gerçeğinden yola çıkarak hesaplanır. Bu soruda Maksimum =

2/3

(

8/12

) ve Minimum =

5/12

bulunur. Toplamları

13/12

'dir.

Adım Adım Çözüm

Olasılık değerlerini karşılaştırmak için paydaları eşitle.

P(A) = \frac{2}{3} = \frac{8}{12}

P(B) = \frac{3}{4} = \frac{9}{12}

Değerleri kıyaslamak ve işlem yapmak için ortak payda gereklidir.

P(A \cap B)

için en büyük değeri (maksimum kesişim) belirle.

En büyük değer, küçük olan kümenin diğerinin alt kümesi olduğu durumdur:

\text{Maks} = P(A) = \frac{8}{12}

Kesişim, kümelerden küçük olanın olasılığını aşamaz (

A \subset B

durumu).

P(A \cap B)

için en küçük değeri (minimum kesişim) belirle.

P(A \cup B) \le 1

kuralından;

P(A) + P(B) - P(A \cap B) \le 1

\Rightarrow \frac{8}{12} + \frac{9}{12} - P(A \cap B) \le 1

\Rightarrow \frac{17}{12} - 1 \le P(A \cap B)

\Rightarrow \text{Min} = \frac{5}{12}

Kesişimin en az olması için birleşim kümesinin örnek uzayı doldurması gerekir (

P(A \cup B)=1

Bulunan en büyük ve en küçük değerleri topla.

\frac{8}{12} + \frac{5}{12} = \frac{13}{12}

Soru bu iki uç değerin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Kesişimin Sınır Değerleri (Bounds of Intersection)

İpuçları

İki kümenin kesişiminin en çok olması için, kümelerden biri diğerinin içinde olmalıdır.

Kesişimin en az olması için, kümelerin birleşimi örnek uzayın tamamını (

1

) kaplamalıdır.

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

formülünde

P(A \cup B)

yerine en fazla 1 yazarak minimum kesişimi bulabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek;

P(A)=8k, P(B)=9k

ve Evrensel=12k diyerek bölgelere değer verilebilir. Maksimum kesişim

8k

, minimum kesişim

(8k+9k)-12k = 5k

olarak görselleştirilebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru