Examkin

Asal Sayılar

34 soru

Soru 21Soru →
aa, bb ve cc birer asal sayı olmak üzere,
a⋅b−a⋅c=2a2+15 a \cdot b - a \cdot c = 2a^2 + 15
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Doğru cevap 18'dir.
Denklem düzenlendiğinde b−c=2a+15/ab-c = 2a + 15/a elde edilir. aa asal sayısı 15'i bölmek zorunda olduğundan 3 veya 5 olabilir. a=5a=5 denendiğinde b=15b=15 çıkar ve bu asal değildir. a=3a=3 denendiğinde b=13b=13 ve c=2c=2 asalları bulunur. Toplamları 18'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi düzenle ve aa parantezine al.
a(b−c)=2a2+15a(b - c) = 2a^2 + 15
Ortak çarpan parantezine alarak bilinmeyenleri gruplandırmak gerekir.
2
Eşitliğin her iki tarafını aa sayısına bölerek b−cb-c ifadesini yalnız bırak.
b−c=2a2+15a=2a+15ab - c = \frac{2a^2 + 15}{a} = 2a + \frac{15}{a}
Tam sayı ve kesirli kısmı ayırarak aa sayısının alabileceği değerleri belirlemek için.
3
aa sayısının alabileceği asal değerleri belirle.
Sonucun tam sayı olması için aa, 15'i tam bölmelidir. aa asal olduğu için a∈{3,5}a \in \{3, 5\} olabilir.
Asal sayı tanımı ve bölünebilme kuralı gereği.
4
a=5a = 5 durumunu incele.
b−c=2(5)+155=10+3=13b - c = 2(5) + \frac{15}{5} = 10 + 3 = 13. İki asal sayının farkı tek sayı (13) ise biri çift (2) olmalıdır. c=2c=2 dersek b−2=13⇒b=15b-2=13 \Rightarrow b=15. Ancak 15 asal değildir.
Bu durum elenir.
5
a=3a = 3 durumunu incele.
b−c=2(3)+153=6+5=11b - c = 2(3) + \frac{15}{3} = 6 + 5 = 11. Fark tek sayı olduğundan c=2c=2 olmalıdır. b−2=11⇒b=13b-2=11 \Rightarrow b=13. 13 asaldır, bu durum geçerlidir.
Tüm şartlar (a, b, c asal) sağlandı.
6
Bulunan değerleri topla.
a+b+c=3+13+2=18a + b + c = 3 + 13 + 2 = 18
Soruda istenen toplamın hesabı.

Anahtar Kavram

Asal sayıların çarpan özellikleri ve 'Çift Asal Sayı' (2) kuralı.

İpuçları

1
İfadeyi aa parantezine alarak a⋅(b−c)a \cdot (b - c) şeklinde yazmayı deneyin.
2
Eşitliğin her iki tarafını aa'ya bölünce b−c=2a+15ab-c = 2a + \frac{15}{a} elde edilir. aa sayısı 15'i bölmelidir.
3
bb ve cc asal sayılarının farkı tek bir sayı çıkıyorsa, bu sayılardan biri mutlaka çift asal sayı olan 2'dir.

Daha Fazla Pratik

İki asal sayının toplamının veya farkının tek/çift olma durumlarını inceleyen sorular çözülmesi önerilir.

Alternatif Yöntem

Değer vererek deneme yöntemi: aa'nın 2a² içeren bir ifadeyi bölmesi gerektiğinden küçük asallar (2, 3, 5) denenerek daha hızlı sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 22Soru →
a,ba, b ve cc birbirinden farklı asal sayılardır.
a<b<ca < b < c olmak üzere,
a⋅b+a⋅c=3a2+12a \cdot b + a \cdot c = 3a^2 + 12
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

a=2, b=5 ve c=7 değerleri için toplam 14 bulunur.
Verilen denklem düzenlendiğinde b+c=3a+12/ab+c = 3a + 12/a elde edilir. a bir asal sayı olduğundan 12'yi bölen asal sayılar (2 ve 3) denenir. Sadece a=2 değeri için elde edilen b=5 ve c=7 asalları sorudaki a<b<ca<b<c sıralama şartını sağlar. Bu sayıların toplamı 14'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliği a ortak parantezine alarak düzenle.
a(b+c)=3a2+12a(b + c) = 3a^2 + 12
Değişkenleri analiz etmek için çarpım formuna getirmek gerekir.
2
Her iki tarafı a sayısına bölerek b + c ifadesini yalnız bırak.
b+c=3a+12ab + c = 3a + \frac{12}{a}
b ve c tam sayı (asal sayı) olduğu için, eşitliğin sağ tarafındaki 12a\frac{12}{a} ifadesi de tam sayı olmalıdır.
3
a sayısının alabileceği asal değerleri belirle.
12'yi tam bölen asal sayılar: 2 ve 3.
a bir asal sayıdır ve 12'nin böleni olmalıdır.
4
a = 2 durumu için b ve c değerlerini kontrol et.
b+c=3(2)+122=6+6=12b + c = 3(2) + \frac{12}{2} = 6 + 6 = 12. Toplamı 12 olan farklı asal sayılar (5, 7) çiftidir.
a < b < c koşuluna bakıldığında 2<5<72 < 5 < 7 eşitsizliği sağlanır. Bu durum geçerlidir.
5
a = 3 durumu için b ve c değerlerini kontrol et.
b+c=3(3)+123=9+4=13b + c = 3(3) + \frac{12}{3} = 9 + 4 = 13. Toplamı 13 olan asallar (2, 11) olabilir.
a < b < c koşuluna bakıldığında 3<2<113 < 2 < 11 eşitsizliği SAĞLANMAZ. Bu durum geçersizdir.
6
Geçerli değerleri topla.
a+b+c=2+5+7=14a + b + c = 2 + 5 + 7 = 14
Tek geçerli çözüm kümesi a=2, b=5, c=7'dir.

Anahtar Kavram

Asal sayılar kümesinde tanımlı denklemlerde, bölünebilme kuralları ve sıralama eşitsizlikleri (a<b<c) kullanılarak çözüm kümesi daraltılır.

İpuçları

1
Eşitliğin sol tarafını a parantezine alarak b+c ifadesini yalnız bırakmaya çalışın.
2
Elde ettiğiniz b+c=3a+12ab+c = 3a + \frac{12}{a} ifadesinde, sonucun tam sayı olması için a'nın 12'yi bölen bir asal sayı olması gerektiğini kullanın.
3
a için olası değerler 2 ve 3'tür. Her iki durumu deneyip a<b<ca < b < c sıralamasını sağlayan tek durumu belirleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, p(q−r)=19p(q-r) = 19 gibi çarpım durumundaki asal sayı sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemde a'nın katsayılarına bakarak a'nın küçük bir asal sayı olması gerektiği tahmin edilebilir. a=2 denenerek doğrudan çözüm aranabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 23Soru →
a,ba, b ve cc asal sayılar olmak üzere,
a=b3−c3a = b^3 - c^3
eşitliği veriliyor.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Doğru cevap 24'tür.
Verilen eşitlikte aa bir asal sayıdır. b3−c3b^3 - c^3 ifadesi (b−c)(b2+bc+c2)(b-c)(b^2+bc+c^2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Asal bir sayının pozitif çarpanları sadece 1 ve kendisidir. b2+bc+c2b^2+bc+c^2 ifadesi asal sayılar için daima 1'den büyüktür, bu nedenle b−cb-c çarpanı 1 olmak zorundadır. Aralarındaki fark 1 olan asal sayılar sadece 3 ve 2'dir (b=3,c=2b=3, c=2). Bu değerler yerine konulduğunda a=33−23=19a = 3^3 - 2^3 = 19 bulunur. İstenen toplam 19+3+2=2419+3+2=24 olur.

Adım Adım Çözüm

1
b3−c3b^3 - c^3 ifadesini çarpanlarına ayırma özdeşliği kullanarak yazma.
a=(b−c)⋅(b2+b⋅c+c2)a = (b - c) \cdot (b^2 + b \cdot c + c^2)
İki küp farkı özdeşliği: x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) şeklindedir.
2
aa sayısının asal sayı olma özelliğini kullanarak çarpanları analiz etme.
b−c=1b - c = 1 olmalıdır.
aa bir asal sayı olduğundan, çarpanlarından biri 1, diğeri kendisi (aa) olmalıdır. İkinci çarpan (b2+bc+c2)(b^2 + bc + c^2) pozitif tam sayılar için 1'den büyük olacağından, küçük çarpan olan (b−c)(b-c) 1'e eşit olmalıdır.
3
Aralarındaki fark 1 olan asal sayıları belirleme.
b=3b = 3 ve c=2c = 2
Tüm asal sayılar içerisinde aralarındaki fark 1 olan (ardışık) tek asal sayı çifti 3 ve 2'dir. (Diğer tüm asal sayılar tektir ve aralarındaki fark en az 2'dir).
4
aa sayısının değerini hesaplama.
a=33−23=27−8=19a = 3^3 - 2^3 = 27 - 8 = 19
Bulunan bb ve cc değerleri denklemde yerine konulur.
5
Sonuçların toplamını bulma.
a+b+c=19+3+2=24a + b + c = 19 + 3 + 2 = 24
Soru a+b+ca+b+c toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Asal sayıların çarpanları sadece 1 ve kendisidir. Aralarındaki fark 1 olan yegane asal sayılar 2 ve 3'tür.

İpuçları

1
b3−c3b^3 - c^3 ifadesini (b−c)(b2+bc+c2)(b-c)(b^2+bc+c^2) özdeşliği ile çarpanlarına ayırmayı deneyin.
2
aa sayısı asal olduğuna göre, çarpanlarından biri mutlaka 1 olmalıdır. Hangi çarpanın 1 olabileceğini düşünün.
3
b−c=1b - c = 1 olmalıdır. Aralarındaki fark 1 olan (ardışık) asal sayılar sadece 3 ve 2'dir.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla a=b2−c2a = b^2 - c^2 eşitliğinde asal sayıları inceleyen bir soru çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 24Soru →

Asal sayılar, sadece 11'e ve kendisine tam bölünebilen, 11'den büyük doğal sayılardır. Buna göre, en küçük asal sayı ile iki basamaklı en küçük asal sayının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1313

Cevap

En küçük asal sayı 22 ve iki basamaklı en küçük asal sayı 1111 olduğundan toplamları 1313 olur.
Doğru cevap olan 1313 değeri, asal sayılar kümesinin en küçük elemanı olan 22 ile iki basamaklı sayılar arasındaki ilk asal sayı olan 1111 sayısının toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
En küçük asal sayıyı belirle.
22
Asal sayılar 11'den büyüktür ve en küçük asal sayı 22'dir. Ayrıca 22, tek çift asal sayıdır.
2
İki basamaklı en küçük asal sayıyı belirle.
1111
1010 sayısı çift olduğu için asal değildir; 1111 ise sadece 11 ve kendisine bölündüğü için en küçük iki basamaklı asal sayıdır.
3
Bulunan sayıları topla.
2+11=132 + 11 = 13
Soruda istenen iki değerin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Asal Sayı Tanımı ve Özellikleri

İpuçları

1
Asal sayıların 11'den büyük olması gerektiğini ve en küçüğünün çift olduğunu hatırla.
2
En küçük asal sayı 22'dir. Şimdi iki basamaklı sayıları 1010'dan başlayarak kontrol et.
3
1010 çift olduğu için asal olamaz. 1111 sayısının bölenlerini düşünerek devam et.

Daha Fazla Pratik

İlk beş asal sayının toplamını bularak pratiğini geliştirebilirsin.
Tahmini Süre:45s
Soru 25Soru →
a,ba, b ve cc birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,
a⋅(b+c)=154 a \cdot (b + c) = 154
eşitliği veriliyor.
Buna göre, a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 595

Cevap

Doğru cevap 595'tir.
Verilen eşitlikte aa'nın 154'ün asal çarpanlarından biri (2, 7, 11) olması gerekir. a=2a=2 için b+c=77b+c=77 (tek) olması gerektiğinden bb veya cc'den biri 2 olmalıdır, ancak a=2a=2 olduğu için bu 'farklılık' şartına uymaz. a=11a=11 için b+c=14b+c=14 olur; olası çiftler (3,11) ve (7,7) de farklılık şartına uymaz. a=7a=7 için b+c=22b+c=22 olur ve (5,17) ikilisi şartları sağlar. Bu durumda çarpım 7⋅5⋅17=5957 \cdot 5 \cdot 17 = 595 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliği analiz et ve aa'nın olası değerlerini belirle.
aa bir asal sayı ve 154'ün çarpanı olmalıdır. 154=2⋅7⋅11154 = 2 \cdot 7 \cdot 11 olduğundan a∈{2,7,11}a \in \{2, 7, 11\} olabilir.
Çarpım sonucunun bir tam sayı olması için çarpanların, sonucun bölenleri olması gerekir.
2
a=2a = 2 durumunu incele.
2⋅(b+c)=154  ⟹  b+c=772 \cdot (b + c) = 154 \implies b + c = 77. bb ve cc asal sayı olduğundan, toplamları tek sayı (77) ise biri mutlaka çift (2) olmalıdır. Ancak a=2a=2 olduğundan ve sayılar birbirinden farklı olduğundan bb veya cc 2 olamaz. Bu durumda çözüm yoktur.
Asal sayılarda teklik-çiftlik (parite) kontrolü.
3
a=11a = 11 durumunu incele.
11⋅(b+c)=154  ⟹  b+c=1411 \cdot (b + c) = 154 \implies b + c = 14. Toplamı 14 olan asal sayı ikilileri: (3, 11) ve (7, 7). Ancak a=11a=11 olduğundan (3, 11) seçilemez (c≠ac \neq a). (7, 7) ise b≠cb \neq c şartını sağlamaz. Bu durumda da çözüm yoktur.
Verilen 'birbirinden farklı' şartının kontrolü.
4
a=7a = 7 durumunu incele ve olası (b,c)(b, c) ikililerini bul.
7⋅(b+c)=154  ⟹  b+c=227 \cdot (b + c) = 154 \implies b + c = 22. Toplamı 22 olan asal sayı ikilileri: (3,19)(3, 19) ve (5,17)(5, 17). (11,11)(11, 11) farklılık şartını sağlamaz.
Olası tüm asal sayı çiftlerini listeleme.
5
Bulunan ikililer için a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımını hesapla ve en büyüğünü seç.
Durum 1: {7,3,19}  ⟹  7⋅3⋅19=399\{7, 3, 19\} \implies 7 \cdot 3 \cdot 19 = 399. Durum 2: {7,5,17}  ⟹  7⋅5⋅17=595\{7, 5, 17\} \implies 7 \cdot 5 \cdot 17 = 595. En büyük değer 595'tir.
Maksimum değeri bulma.

Anahtar Kavram

Asal sayıların parite (teklik-çiftlik) özellikleri ve çarpan analizi

İpuçları

1
154 sayısını asal çarpanlarına ayırarak aa sayısının alabileceği olası değerleri belirleyiniz (154=2⋅7⋅11154 = 2 \cdot 7 \cdot 11).
2
aa'nın her bir olası değeri için b+cb+c toplamını bulunuz ve bu toplamı veren 'birbirinden farklı' asal sayı ikililerinin varlığını kontrol ediniz.
3
a=2a=2 olduğunda b+c=77b+c=77 olur. İki asal sayının toplamı tek sayı (77) ise, biri mutlaka 2 olmalıdır. Ancak aa zaten 2 olduğu için bu durum mümkün müdür?

Daha Fazla Pratik

İki asal sayının kareleri farkının bir asal sayıya eşit olduğu durumları inceleyen sorular çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 26Soru →

Sadece 11'e ve kendisine tam bölünebilen, 11'den büyük doğal sayılara "asal sayı" denir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi bir asal sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

İki sayısı en küçük asal sayıdır ve sadece bir ile kendisine bölünür.
İki sayısı, asal sayı tanımına tam olarak uyar; 11'den büyüktür ve çarpanları sadece 11 ve 22'dir. Ayrıca çift olan tek asal sayı olması bakımından özel bir yere sahiptir.

Adım Adım Çözüm

1
Asal sayı tanımını kontrol etme
Asal sayılar 11'den büyük olmalı ve sadece iki böleni (11 ve kendisi) olmalıdır.
Bir sayının asal olup olmadığını belirlemek için önce tanıma uygunluğu kontrol edilir.
2
Seçeneklerdeki sayıların bölenlerini inceleme
11: Asal değildir (11'den büyük olmalı).
99: 1,3,91, 3, 9 (Bölen sayısı 2'den fazla).
1515: 1,3,5,151, 3, 5, 15 (Bölen sayısı 2'den fazla).
2121: 1,3,7,211, 3, 7, 21 (Bölen sayısı 2'den fazla).
22: 1,21, 2 (Sadece iki böleni var).
Tanıma uyan tek sayıyı bulmak için her sayının çarpanlarına bakılır.

Anahtar Kavram

Asal sayıların tanımı ve en küçük asal sayı olan 2'nin özelliği.

İpuçları

1
Asal sayılar 11'den başlamaz, 22 ile başlar.
2
Seçeneklerdeki tek sayıların 33'e bölünüp bölünmediğini kontrol edin.
3
Çift sayılar arasında sadece 22 asaldır, diğer tüm çift sayılar 22'ye bölündüğü için asal olamazlar.

Daha Fazla Pratik

İki basamaklı en küçük ve en büyük asal sayıları bulmaya çalışarak pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayıları çarpanlarına ayırarak (bölen listesi yaparak) sadece iki böleni olanı işaretleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 27Soru →
x1x_1 ve x2x_2 birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere, kökleri x1x_1 ve x2x_2 olan
x2−Mx+N=0x^2 - Mx + N = 0
ikinci dereceden denklemi veriliyor.
M+N=41M + N = 41

olduğuna göre, N−MN - M farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Doğru cevap 11'dir.
Verilen denklemde kök-katsayı bağıntıları kullanıldığında MM kökler toplamı, NN ise kökler çarpımıdır. x1+x2+x1x2=41x_1 + x_2 + x_1 x_2 = 41 eşitliğinde her iki tarafa 1 eklenirse (x1+1)(x2+1)=42(x_1+1)(x_2+1)=42 elde edilir. Köklerin asal sayı olma şartını sağlayan tek çözüm x1=2x_1=2 ve x2=13x_2=13 değerleridir. Buradan N=26N=26 ve M=15M=15 bulunur, farkları 11'dir.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci dereceden denklem özelliklerini (kök-katsayı bağıntıları) kullanın.
M=x1+x2M = x_1 + x_2 (Kökler Toplamı) ve N=x1⋅x2N = x_1 \cdot x_2 (Kökler Çarpımı).
Verilen denklem x2−(toplam)x+(c\carpım)=0x^2 - (toplam)x + (çarpım) = 0 formatındadır.
2
Bulunan ifadeleri verilen eşitlikte yerine yazın.
x1+x2+x1⋅x2=41x_1 + x_2 + x_1 \cdot x_2 = 41
M ve N değerlerini asal kökler cinsinden ifade edip çözüme gitmek için.
3
Eşitliğin her iki tarafına 1 ekleyerek ifadeyi çarpanlarına ayırın (Simon Taktiği).
x1x2+x1+x2+1=42  ⟹  (x1+1)(x2+1)=42x_1 x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 42 \implies (x_1 + 1)(x_2 + 1) = 42
İki bilinmeyenli bir denklemde tamsayı/asal sayı çözümlerini bulmak için çarpım haline getirmek gerekir.
4
42 sayısının çarpanlarını inceleyerek x1x_1 ve x2x_2'nin asal sayı olduğu durumu belirleyin.
Çarpan çiftleri: (1,42), (2,21), (3,14), (6,7). Asal sayı şartını sağlayan tek çift: (3,14)  ⟹  x1+1=3,x2+1=14  ⟹  x1=2,x2=13(3, 14) \implies x_1+1=3, x_2+1=14 \implies x_1=2, x_2=13.
Diğer çarpanlar asal olmayan sayılar üretir (örn: 6 ve 7 seçilirse kökler 5 ve 6 olur, 6 asal değildir).
5
M ve N değerlerini hesaplayıp farkı bulun.
M=2+13=15M = 2 + 13 = 15, N=2⋅13=26N = 2 \cdot 13 = 26. Sonuç: N−M=26−15=11N - M = 26 - 15 = 11.
Soruda istenen nihai değeri bulmak için.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Denklemler ve Asal Sayı Özellikleri

İpuçları

1
İkinci dereceden bir denklemde MM katsayısı kökler toplamını, NN katsayısı ise kökler çarpımını temsil eder.
2
Verilen x1+x2+x1⋅x2=41x_1 + x_2 + x_1 \cdot x_2 = 41 eşitliğini çözmek için eşitliğin her iki tarafına 1 ekleyerek çarpanlara ayırmayı deneyin.
3
(x1+1)(x2+1)=42(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 42 eşitliğinde, çarpanlardan her birinin 'bir asal sayının 1 fazlası' olması gerektiğini unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Kökleri tamsayı olan benzer denklemlerde negatif köklerin de olabileceği durumları inceleyin.

Alternatif Yöntem

Deneme-Yanılma: 41 sayısı çok büyük olmadığı için, küçük asal sayıları (2, 3, 5, 7...) deneyerek x1+x2+x1x2=41x_1 + x_2 + x_1 x_2 = 41 eşitliğini sağlayan çift aranabilir. x1=2x_1=2 için 2+x2+2x2=41  ⟹  3x2=39  ⟹  x2=132 + x_2 + 2x_2 = 41 \implies 3x_2 = 39 \implies x_2=13. Her ikisi de asal olduğu için çözüm doğrulanır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 28Soru →
x,yx, y ve zz asal sayılardır.
z=13⋅(x−y) z = 13 \cdot (x - y)
olduğuna göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Toplamın değeri 18'dir.
Verilen z=13⋅(x−y)z = 13 \cdot (x - y) eşitliğinde, zz asal olduğu için çarpanlardan biri zorunlu olarak 1 olmalıdır. 1313 asal bir sayı olduğundan 1 olamaz, bu nedenle (x−y)=1(x - y) = 1 ve z=13z = 13 olmalıdır. Asal sayılar içinde farkı 1 olan tek çift 3 ve 2'dir. Böylece x=3,y=2,z=13x=3, y=2, z=13 bulunur ve toplamları 18 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliği ve asal sayı tanımını analiz et.
z=13⋅(x−y)z = 13 \cdot (x - y) eşitliğinde zz bir asal sayı olduğundan, pozitif çarpanları sadece 1 ve kendisidir.
Asal sayıların tanımı gereği.
2
Çarpanları belirle.
Eşitliğin sağ tarafında 13 çarpanı vardır. zz asal olduğu için, zz mutlaka 13 olmalıdır. Bu durumda diğer çarpan olan (x−y)(x - y) ifadesi 1'e eşit olmalıdır.
Eğer x−yx-y 1'den büyük bir tam sayı olsaydı, zz sayısı 13'ün katı olurdu ve asal olmazdı (z=13 durumu hariç).
3
xx ve yy değerlerini bul.
x−y=1x - y = 1 eşitliğini sağlayan asal sayılar aranır. Aralarındaki fark 1 olan yegane asal sayı çifti 3 ve 2'dir (3−2=13 - 2 = 1). Dolayısıyla x=3x=3 ve y=2y=2 olur.
2 hariç tüm asal sayılar tektir. İki tek sayının farkı çift olacağından, farkın 1 olabilmesi için sayılardan biri çift asal sayı olan 2 olmalıdır.
4
Toplamı hesapla.
x+y+z=3+2+13=18x + y + z = 3 + 2 + 13 = 18 bulunur.
Bulunan değerlerin toplanması.

Anahtar Kavram

Asal Sayıların Çarpanları ve Ardışık Asallar

İpuçları

1
Bir asal sayının çarpanları sadece 1 ve kendisidir.
2
13⋅(x−y)13 \cdot (x-y) ifadesinin asal olması için (x−y)(x-y) kaç olmalıdır?
3
Aralarındaki fark 1 olan asal sayılar hangileridir?

Daha Fazla Pratik

Ardışık sayıların ve asal sayıların özelliklerini birleştiren benzer sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 29Soru →

a,ba, b ve cc birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,

a3−b3=c a^3 - b^3 = c

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Toplamın sonucu 24'tür.
Verilen küp farkı ifadesi (a−b)(a2+ab+b2)=c(a-b)(a^2+ab+b^2)=c şeklinde açıldığında, cc asal olduğu için çarpanlardan küçüğü olan (a−b)(a-b) mutlaka 1'e eşit olmalıdır. Aralarındaki fark 1 olan yegane asal sayılar 3 ve 2'dir (a=3,b=2a=3, b=2). Bu değerler yerine konulduğunda c=19c=19 bulunur. Toplamları 3+2+19=243+2+19=24 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen a3−b3=ca^3 - b^3 = c ifadesini iki küp farkı özdeşliğinden yararlanarak çarpanlarına ayırırız.
(a−b)⋅(a2+a⋅b+b2)=c(a - b) \cdot (a^2 + a \cdot b + b^2) = c
Asal sayı olan cc'nin çarpanlarını görebilmek için ifadeyi çarpım durumuna getirmek gerekir.
2
cc bir asal sayı olduğundan, çarpanlarından biri mutlaka 1, diğeri ise kendisi olmalıdır. İki parantezden hangisinin 1 olacağını belirleriz.
aa ve bb asal sayı olduklarından (en az 2), ikinci çarpan a2+ab+b2a^2 + ab + b^2 kesinlikle 1'den büyüktür. Bu durumda zorunlu olarak a−b=1a - b = 1 olmalıdır.
Asal sayıların çarpanları sadece 1 ve kendisidir.
3
Aralarındaki fark 1 olan asal sayıları tespit ederiz.
Aralarındaki fark 1 olan tek asal sayı çifti 3 ve 2'dir. Dolayısıyla a=3a = 3 ve b=2b = 2 olur.
2 dışındaki tüm asal sayılar tektir. İki tek sayının farkı çift (en az 2) olacağından, farkın 1 olabilmesi için sayılardan biri çift asal sayı olan 2 olmalıdır.
4
aa ve bb değerlerini yerine koyarak cc sayısını bulur ve asal olup olmadığını kontrol ederiz.
c=33−23=27−8=19c = 3^3 - 2^3 = 27 - 8 = 19. 19 bir asal sayıdır, şart sağlanır.
Denklemdeki eşitliğin doğruluğunu ve cc'nin asal olma şartını teyit etmek.
5
Bulunan a,b,ca, b, c değerlerini toplarız.
a+b+c=3+2+19=24a + b + c = 3 + 2 + 19 = 24.
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Asal sayıların çarpan özellikleri ve iki küp farkı özdeşliği.

İpuçları

1
a3−b3a^3 - b^3 ifadesini çarpanlarına ayırmayı dene: (a−b)(a2+ab+b2)(a-b)(a^2+ab+b^2).
2
Eşitliğin sağ tarafındaki cc sayısı bir asal sayıdır. Bir asal sayının pozitif tam sayı çarpanları neler olabilir? Bu çarpanlardan biri ifadedeki (a−b)(a-b) olabilir mi?
3
(a−b)(a-b) ifadesi 1 olmak zorundadır. Aralarındaki fark 1 olan asal sayılar hangileridir?

Daha Fazla Pratik

İki kare farkı içeren ve sonucun asal sayı olduğu benzer sorular çözülebilir (a2−b2=pa^2 - b^2 = p).
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 30Soru →

x,yx, y ve zz birbirinden farklı asal sayılardır.

x+13z=13yx + 13z = 13y

olduğuna göre, x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 78

Cevap

Verilen şartları sağlayan asal sayıların çarpımı 78'dir.
Verilen denklem x=13(y−z)x = 13(y - z) biçiminde yazılabilir. xx bir asal sayı olduğu için, sağ taraftaki çarpanlardan birinin 11 olması zorunludur. Eğer 1313 asal çarpan ise, diğer çarpan olan (y−z)(y - z) ifadesi 11'e eşit olmalıdır. Aralarındaki fark 11 olan tek asal sayı çifti 33 ve 22 olduğu için y=3y=3 ve z=2z=2 bulunur. Buradan x=13x=13 elde edilir. Sayıların çarpımı 13×3×2=7813 \times 3 \times 2 = 78 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemi ortak çarpan parantezine alarak düzenleyin.
x=13y−13z⇒x=13(y−z)x = 13y - 13z \Rightarrow x = 13(y - z)
xx değişkenini tek başına bırakmak, çarpanlar üzerinden yorum yapmayı sağlar.
2
xx sayısının asal olma şartını analiz edin.
y−z=1y - z = 1 olmalıdır.
xx bir asal sayı ve 1313 de bir asal sayı olduğuna göre, x=13⋅(y−z)x = 13 \cdot (y-z) ifadesinde (y−z)(y-z) çarpanı 11'den farklı bir tam sayı olursa xx sayısı asal olamaz (13'ün katı bir bileşik sayı olur).
3
Aralarındaki fark 1 olan asal sayıları belirleyin.
y=3y = 3 ve z=2z = 2
Aralarındaki fark 1 olan yegâne asal sayı çifti 3 ve 2'dir (çünkü diğer tüm asal sayılar tektir ve farkları çifttir).
4
xx değerini hesaplayın.
x=13⋅(3−2)=13x = 13 \cdot (3 - 2) = 13
y−z=1y-z=1 eşitliği denklemde yerine konur.
5
İstenen çarpımı bulun.
x⋅y⋅z=13⋅3⋅2=78x \cdot y \cdot z = 13 \cdot 3 \cdot 2 = 78
Bulunan x,y,zx, y, z değerleri çarpılır.

Anahtar Kavram

Asal sayılar kümesinde aralarındaki fark 1 olan tek çift (3,2)(3, 2) çiftidir.

İpuçları

1
Denklemi xx ifadesini yalnız bırakacak şekilde düzenlemeyi deneyin.
2
x=13(y−z)x = 13(y - z) eşitliğinde xx asal olduğuna göre, y−zy - z farkının kaç olması gerektiğini düşünün.
3
Aralarındaki fark 1 olan asal sayıları hatırlayın: Sadece 3 ve 2 bu şartı sağlar.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde xx ve yy asal sayıları için x2−y2=13x^2 - y^2 = 13 gibi farkı asal olan denklem sorularını inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 31Soru →
x,yx, y ve zz birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,
x⋅(y+z)=2x2+35 x \cdot (y + z) = 2x^2 + 35
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Sayıların toplamı 26'dır.
Verilen denklem y+z=2x+35/xy+z = 2x + 35/x şeklinde düzenlendiğinde, xx sayısının 35'in asal böleni olması gerektiği görülür (x=5x=5 veya x=7x=7). x=5x=5 durumunda y+z=17y+z=17 olur ancak 17'yi veren asal çift yoktur (2+15, 15 asal değil). x=7x=7 durumunda y+z=19y+z=19 olur, bu da 22 ve 1717 asal sayılarıyla sağlanır. x,y,zx, y, z birbirinden farklı (7,2,177, 2, 17) olduğundan çözüm geçerlidir. Toplamları 26'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliği sadeleştir
x⋅(y+z)=2x2+35x \cdot (y + z) = 2x^2 + 35 ifadesinde her iki tarafı xx'e böl: y+z=2x+35x y + z = 2x + \frac{35}{x}
yy ve zz tam sayı olduğu için eşitliğin sağ tarafı da tam sayı olmalıdır.
2
xx için olası değerleri belirle
xx asal sayısı 35'i tam bölmelidir. 35'in asal çarpanları: 5 ve 7. O halde x=5x=5 veya x=7x=7 olabilir.
Bir asal sayı, ancak kendisinin katlarını tam böler.
3
x=5x=5 durumunu sına
y+z=2(5)+35/5=10+7=17y + z = 2(5) + 35/5 = 10 + 7 = 17. Toplamları 17 olan iki asal sayı arıyoruz. Tek sayı (17) elde etmek için biri 2 olmalıdır (çünkü tüm diğer asallar tektir ve tek+tek=çift olur). 2+15=172 + 15 = 17. Ancak 15 asal değildir.
x=5x=5 için çözüm yoktur.
4
x=7x=7 durumunu sına
y+z=2(7)+35/7=14+5=19y + z = 2(7) + 35/7 = 14 + 5 = 19. Toplamları 19 olan asallar: Biri 2 olmalıdır. 2+17=192 + 17 = 19. 2 ve 17 asaldır. Sayılar: x=7,y=2,z=17x=7, y=2, z=17 (veya y=17,z=2y=17, z=2).
Bu değerler birbirinden farklı asal sayı şartını sağlar (2,7,172, 7, 17).
5
Toplamı hesapla
x+y+z=7+2+17=26x + y + z = 7 + 2 + 17 = 26.
Bulunan tek geçerli çözüm kümesinin toplamı.

Anahtar Kavram

Asal sayılarla bölünebilme ve asalların toplamında teklik-çiftlik (parite) analizi.

İpuçları

1
Eşitliğin her iki tarafını xx parantezine almayı veya xx'e bölerek y+zy+z'yi yalnız bırakmayı deneyin.
2
y+z=2x+35/xy+z = 2x + 35/x elde edeceksiniz. Burada 35/x35/x ifadesinin tam sayı olması için xx hangi asal değerleri alabilir?
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 32Soru →
a,ba, b ve cc asal sayılardır.
a⋅(b+c)=75 a \cdot (b + c) = 75
eşitliği verilmektedir. Buna göre a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Toplamın alabileceği en büyük değer 28'dir.
Verilen eşitlikte çarpım tek sayı (75) olduğundan çarpanların hepsi tek olmalıdır. aa bir asal sayı olduğu için 75'in asal çarpanları olan 3 veya 5 olabilir. Ayrıca b+cb+c toplamı da tek sayı olmalıdır. İki sayının toplamının tek olması için biri tek, biri çift olmalıdır. Asal sayılar içinde çift olan tek sayı 2'dir. Bu durumda bb veya cc'den biri kesinlikle 2'dir. İki senaryo oluşur: a=3a=3 için b+c=25b+c=25 (2+23 asaldır, toplam 28) ve a=5a=5 için b+c=15b+c=15 (2+13 asaldır, toplam 20). En büyük değer 28'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliği analiz et
aa sayısı 75'in bir asal çarpanı olmalıdır. 75'in asal çarpanları 3 ve 5'tir. Yani a=3a = 3 veya a=5a = 5 olabilir.
Bir asal sayı ile bir tamsayının çarpımı 75 ise, bu asal sayı 75'i tam bölmelidir.
2
Teklik-Çiftlik durumunu incele
Çarpım 75 (tek sayı) olduğundan, çarpanların her ikisi de tek olmalıdır. Yani (b+c)(b+c) tek sayıdır. İki asal sayının toplamının tek olabilmesi için, bunlardan biri çift (yani 2), diğeri tek olmalıdır.
Tek sayı ×\times Tek sayı = Tek sayı. Tek + Tek = Çift olacağından, toplamın tek olması için sayılardan biri çift olmak zorundadır.
3
Olası durumları hesapla
1. Durum (a=3a=3): b+c=25b+c = 25. b=2b=2 ise c=23c=23 (Asal). Toplam: 3+2+23=283+2+23 = 28.
2. Durum (a=5a=5): b+c=15b+c = 15. b=2b=2 ise c=13c=13 (Asal). Toplam: 5+2+13=205+2+13 = 20.
Her iki durumu da test edip asal sayı şartlarını sağlayan kümeleri bulmak gerekir.
4
Karşılaştırma yap
Bulunan toplamlar 20 ve 28'dir. En büyük değer 28'dir.
Soru bizden olası en büyük toplamı istemektedir.

Anahtar Kavram

Asal sayılarla işlemlerde teklik-çiftlik analizi (özellikle 2'nin tek çift asal sayı olması)

İpuçları

1
75 sayısı tek bir sayıdır. Çarpımları tek olan sayıların her biri tek olmalıdır.
2
b+cb+c toplamı tek sayı olmalıdır. Asal sayılar içinde çift olan sadece 2 sayısı vardır.
3
aa sayısı 75'in asal çarpanı olmalıdır (3 veya 5). Her iki durumu deneyerek bb ve cc'nin asal olup olmadığını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Çarpımları çift sayı olan asal sayı sorularında 2 çarpanının rolünü inceleyen sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 33Soru →
aa ve bb birer asal sayı olmak üzere,
a2−7b=4a^2 - 7b = 4
eşitliği verilmektedir.

Buna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

a=5 ve b=3 asal sayıları için denklem sağlandığından, bu sayıların çarpımı 15 olur.
Verilen denklem a2−4=7ba^2 - 4 = 7b şeklinde yazılıp (a−2)(a+2)=7b(a-2)(a+2)=7b olarak çarpanlarına ayrıldığında, a+2=7a+2=7 eşitliğinden a=5a=5 ve a−2=3a-2=3 olduğundan b=3b=3 elde edilir. Her iki sayı da asal sayı şartını sağladığı için çarpımları 15'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemi düzenleyelim.
a2−4=7ba^2 - 4 = 7b
Değişkeni yalnız bırakmak ve çarpanlara ayırmaya hazır hale getirmek için sabit terimi karşıya attık.
2
Sol tarafı iki kare farkı özdeşliği ile çarpanlarına ayıralım.
(a−2)(a+2)=7b(a - 2)(a + 2) = 7b
x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) özdeşliğini kullandık.
3
Çarpanları analiz edelim.
a+2=7a+2=7 ve a−2=ba-2=b veya tam tersi.
77 ve bb asal sayı olduğundan, 7b7b çarpımının çarpanları sadece 1,7,b1, 7, b ve 7b7b olabilir.
4
Değerleri bulalım.
a=5a=5 ve b=3b=3
a+2=7a+2=7 ise a=5a=5 olur. Bu durumda (5−2)(5+2)=3⋅7(5-2)(5+2) = 3 \cdot 7 olduğundan b=3b=3 bulunur. Hem 5 hem de 3 asal sayıdır.
5
İstenen çarpımı hesaplayalım.
5×3=155 \times 3 = 15
a⋅ba \cdot b çarpımı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Asal sayıların çarpan özellikleri ve iki kare farkı özdeşliğinin birlikte kullanımı.

İpuçları

1
Denklemi a2−4=7ba^2 - 4 = 7b şeklinde düzenleyerek sol tarafı çarpanlarına ayırmayı deneyin.
2
(a−2)(a+2)=7b(a-2)(a+2) = 7b eşitliğinde sağ taraftaki çarpanlar 77 ve bb olduğu için a+2a+2 çarpanını 77 sayısına eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

İki kare farkının asal sayılara eşit olduğu durumları (örneğin x2−y2=13x^2 - y^2 = 13) inceleyerek pekiştirme yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 34Soru →
x,yx, y ve zz birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,
x⋅y+z=51x \cdot y + z = 51
x⋅(y+z)=64x \cdot (y + z) = 64
eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34

Cevap

Verilen denklemlerden x=2x=2, y=19y=19 ve z=13z=13 asal sayıları elde edilir ve toplamları 34'tür.
İkinci denklem genişletilip (xy+xz=64xy + xz = 64) ilk denklemdeki xy=51−zxy = 51 - z ifadesi yerine yazıldığında z(x−1)=13z(x-1) = 13 sonucuna ulaşılır. 13 asal bir sayı olduğu için çarpanları sadece 1 ve 13'tür. zz asal olduğundan z=13z=13 ve x−1=1x-1=1 (yani x=2x=2) bulunur. Bu değerler ilk denklemde yerine yazıldığında y=19y=19 elde edilir. Üçü de farklı asal sayılar olduğu için toplamları 34 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci denklemi dağıtarak birinci denklemle ilişkilendirin.
x⋅y+x⋅z=64x \cdot y + x \cdot z = 64
Birinci denklemdeki x⋅yx \cdot y ifadesini burada yerine yazabilmek için parantezi açmak gerekir.
2
Birinci denklemden x⋅yx \cdot y değerini çekip ikinci denklemde yerine yazın.
(51−z)+x⋅z=64(51 - z) + x \cdot z = 64
Değişken sayısını azaltarak çözülebilir bir denklem elde etmek hedeflenir.
3
Denklemi düzenleyerek zz ve xx arasındaki ilişkiyi bulun.
x⋅z−z=13⇒z⋅(x−1)=13x \cdot z - z = 13 \Rightarrow z \cdot (x - 1) = 13
13 sayısının asal olması, çarpanların bulunmasını kolaylaştırır.
4
13 asal bir sayı olduğundan çarpanlarını değerlendirin.
z=13z = 13 ve x−1=1⇒x=2x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2
zz ve xx asal sayı olduğundan z=13z=13 olmalıdır (z=1z=1 asal değildir).
5
xx ve zz değerlerini kullanarak yy değerini hesaplayın.
2⋅y+13=51⇒2y=38⇒y=192 \cdot y + 13 = 51 \Rightarrow 2y = 38 \Rightarrow y = 19
Bulunan x=2x=2 ve z=13z=13 değerleri birinci denklemde yerine konur.
6
Bulunan tüm asal sayıları toplayın.
2+19+13=342 + 19 + 13 = 34
Soruda istenen toplam değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Asal sayıların temel özellikleri ve denklem sistemlerinde yerine koyma metodu.
ÖncekiSayfa 2 / 2
Asal Sayılar Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2 | Examkin