Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorLorenz Eğrisi Analizi

İktisadi kalkınma ve gelir dağılımı analizlerinde, bir ülkedeki kişisel gelir dağılımı L(p)=pαL(p) = p^\alpha (burada pp nüfusun birikimli payı, LL gelirin birikimli payı ve α≥1\alpha \geq 1 bir parametredir) şeklinde bir Lorenz eğrisi fonksiyonu ile modellenmiştir. Bu ülkede Gini katsayısının 1/31/3 olarak hesaplandığı varsayımı altında, toplumun yüzde kaçı ülkedeki ortalama gelir seviyesinden (aritmetik ortalama) daha düşük bir gelire sahiptir?

  1. A
    25
  2. B
    33,3
  3. 50Cevap
  4. D
    66,7
  5. E
    75

Cevap

Toplumun yüzde 50'si ortalama gelir seviyesinden daha düşük gelir elde etmektedir.
Doğru yanıt olan yüzde 50, Gini katsayısı yardımıyla belirlenen α=2\alpha=2 parametresine sahip Lorenz eğrisinin (L(p)=p2L(p)=p^2), eğiminin 1 olduğu noktadır. Lorenz eğrisinin türevi, o dilimdeki gelirin ortalama gelire oranını verir (L′(p)=x/μL'(p) = x/\mu). Bu nedenle 2p=12p=1 eşitliği, ortalama gelire sahip bireyin nüfusun tam ortasında (p=0,5p=0,5) olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
Gini katsayısı ile Lorenz eğrisi parametresi (α\alpha) arasındaki ilişkiyi kurmak.
G=α−1α+1G = \frac{\alpha - 1}{\alpha + 1} olduğu bilinmektedir. 1/3=α−1α+11/3 = \frac{\alpha - 1}{\alpha + 1} denkleminden α=2\alpha = 2 olarak bulunur.
L(p)=pαL(p) = p^\alpha formundaki Lorenz eğrilerinde Gini katsayısı alan integrali ile bu formüle indirgenir.
2
Ortalama gelir seviyesine sahip bireyin Lorenz eğrisi üzerindeki konumunu belirlemek.
Lorenz eğrisinin türevinin 1'e eşit olduğu nokta (L′(p)=1L'(p) = 1), gelirin ortalama gelire (μ\mu) eşit olduğu noktadır.
Lorenz eğrisinin tanımı gereği L′(p)=x(p)μL'(p) = \frac{x(p)}{\mu} bağıntısı mevcuttur; burada x(p)x(p) ilgili yüzdelik dilimdeki geliri ifade eder.
3
Fonksiyonun türevini alarak denklemi çözmek.
L(p)=p2L(p) = p^2 ise L′(p)=2pL'(p) = 2p olur. 2p=12p = 1 eşitliğinden p=0,5p = 0,5 elde edilir.
Nüfusun birikimli payı p=0,5p=0,5 olan nokta, ortalama gelirin sınırıdır.
4
Bulunan değeri yüzde cinsine çevirmek.
0,5×100=%500,5 \times 100 = \%50.
Soruda nüfusun yüzde kaçı olduğu sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Lorenz eğrisinin türevinin ortalama gelir ile ilişkisi (L′(p)=x/μL'(p) = x/\mu)

İpuçları

1
Gini katsayısı 1/31/3 ise Lorenz eğrisinin tam eşitlik doğrusu ile arasında kalan alanın büyüklüğünü düşünün.
2
Ortalama gelir seviyesi, Lorenz eğrisinin eğiminin tam eşitlik doğrusunun eğimine (yani 1'e) eşit olduğu noktada gerçekleşir.
3
L(p)=p2L(p) = p^2 fonksiyonunun türevini alıp 1'e eşitleyerek ortalama gelirdeki nüfus payını bulun.

Daha Fazla Pratik

Farklı α\alpha değerleri için Gini katsayısı ve ortalama gelir noktası arasındaki duyarlılık analizini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, Gini katsayısı formülünü G=1−2∫L(p)dpG = 1 - 2\int L(p)dp üzerinden α\alpha parametresini çekerek başlayabilir ve ardından L′(p)=1L'(p)=1 geometrik özelliğini kullanabilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Lorenz Eğrisi Analizi

Bu konudan daha fazla soru