Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bir hidroloji istasyonunda, bir nehrin yıllık debisinin kritik eşiği aşma durumu (Aştı: 1, Aşmadı: 0) pp parametreli bağımsız Bernoulli denemeleri ile izlenmektedir. nn yıllık bir gözlem süresi sonunda, nehrin kritik eşiği toplam T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i kez aştığı saptanmıştır. Nehrin ardışık iki yıl boyunca kritik eşiği aşma olasılığı olan p2p^2 parametresinin Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. T(T−1)n(n−1)\frac{T(T-1)}{n(n-1)}Cevap
  2. B
    T2n2\frac{T^2}{n^2}
  3. C
    Tn\frac{T}{n}
  4. D
    T(T−1)n2\frac{T(T-1)}{n^2}
  5. E
    T2n(n−1)\frac{T^2}{n(n-1)}

Cevap

Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE), toplam başarı sayısının T(T−1)/n(n−1)T(T-1)/n(n-1) şeklinde oranlanmasıyla elde edilir.
Doğru cevap olan ifade, Bernoulli örnekleminde tam yeterli istatistik olan toplam gözlem değerinin (TT) bir fonksiyonudur. E[T(T−1)]=n(n−1)p2E[T(T-1)] = n(n-1)p^2 eşitliği sağlandığı için bu ifade p2p^2 parametresi için yansızdır. Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam yeterli bir istatistiğe dayanan yansız bir tahmin edici, düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicidir (UMVUE).

Adım Adım Çözüm

1
Dağılımın ve yeterli istatistiğin belirlenmesi
T=∑XiT = \sum X_i tam yeterli istatistiktir.
Bernoulli dağılımı üstel aileye aittir ve TT istatistiği bu aile için tam ve yeterlidir.
2
TT istatistiğinin beklenen değerinin hesaplanması
E[T]=npE[T] = np ve E[T2]=np(1−p)+n2p2E[T^2] = np(1-p) + n^2p^2
T∼Binom(n,p)T \sim Binom(n, p) dağılımına sahiptir.
3
p2p^2 için yansız bir fonksiyon kurgulanması
E[T(T−1)]=E[T2]−E[T]=np−np2+n2p2−np=n(n−1)p2E[T(T-1)] = E[T^2] - E[T] = np - np^2 + n^2p^2 - np = n(n-1)p^2
Amacımız beklenen değeri p2p^2 olan bir istatistik bulmaktır.
4
Lehmann-Scheffe teoreminin uygulanması
E[T(T−1)n(n−1)]=p2E[\frac{T(T-1)}{n(n-1)}] = p^2
Tam yeterli istatistiğin yansız her fonksiyonu biricik UMVUE'dir.

Anahtar Kavram

Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde varyans olan p(1−p)p(1-p) parametresi için UMVUE hesaplaması yaparak sonuçları karşılaştırınız.
Tahmini Süre:1m 40s
Bu soruyu puanla

Konular

Tamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bu konudan daha fazla soru