Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bir kamu personeli seçme sınavında adayların başarılı olma durumu (Başarılı: 1, Başarısız: 0), pp parametreli Bernoulli dağılımına uymaktadır. Bu sınavdan rastgele seçilen nn kişilik bir örneklemde başarılı olanların toplam sayısı T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i olarak tanımlanmıştır. Buna göre, bu kitlenin varyansı olan p(1−p)p(1-p) parametresinin Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    T(n−T)n2\frac{T(n-T)}{n^2}
  2. T(n−T)n(n−1)\frac{T(n-T)}{n(n-1)}Cevap
  3. C
    Tn\frac{T}{n}
  4. D
    T(T−1)n(n−1)\frac{T(T-1)}{n(n-1)}
  5. E
    T(n−T)(n−1)2\frac{T(n-T)}{(n-1)^2}

Cevap

Kitlenin varyansı p(1−p)p(1-p) için UMVUE ifadesi T(n−T)n(n−1)\frac{T(n-T)}{n(n-1)} şeklindedir.
T=∑XiT = \sum X_i istatistiği Bernoulli dağılımı için yeterli ve tam bir istatistiktir. Lehmann-Scheffe teoremi, bu istatistiğin bir fonksiyonu olan yansız bir tahmin edicinin eşsiz ve düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici (UMVUE) olacağını belirtir. E[T(n−T)]=nE[T]−E[T2]E[T(n-T)] = n E[T] - E[T^2] hesaplandığında sonuç n(n−1)p(1−p)n(n-1)p(1-p) olarak bulunur. Bu ifade n(n−1)n(n-1)'e bölündüğünde varyans parametresi için yansızlık sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Yeterli ve tam istatistiği belirle.
T=∑Xi∼Binomial(n,p)T = \sum X_i \sim Binomial(n, p)
Bernoulli dağılımı üstel aileye aittir ve toplam istatistiği bu aile için hem yeterli hem de tamdır.
2
T(n−T)T(n-T) ifadesinin beklenen değerini hesapla.
E[T(n−T)]=n(n−1)p(1−p)E[T(n-T)] = n(n-1)p(1-p)
E[T]=npE[T] = np ve E[T2]=np(1−p)+n2p2E[T^2] = np(1-p) + n^2p^2 değerleri kullanılarak yansızlık katsayısı bulunur.
3
Yansızlık için gerekli düzeltmeyi yap.
E[T(n−T)n(n−1)]=p(1−p)E[\frac{T(n-T)}{n(n-1)}] = p(1-p)
Beklenen değerden elde edilen katsayıya bölünerek aranan parametre için yansız bir yapı elde edilir.
4
Lehmann-Scheffe teoremini uygula.
UMVUE: T(n−T)n(n−1)\frac{T(n-T)}{n(n-1)}
Tam ve yeterli bir istatistiğin fonksiyonu olan yansız tahmin edici eşsizdir ve en küçük varyanslıdır.

Anahtar Kavram

Lehmann-Scheffe Teoremi uyarınca, tam ve yeterli istatistiklerin fonksiyonu olan yansız tahmin ediciler UMVUE özelliğine sahiptir.

Daha Fazla Pratik

Aynı dağılım için p2p^2 parametresinin UMVUE'sini hesaplayarak farkı gözlemleyiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, Xˉ\bar{X} ve Xˉ2\bar{X}^2 üzerinden gidilebilir. E[Xˉ]=pE[\bar{X}] = p ve E[Xˉ2]=p(1−p)n+p2E[\bar{X}^2] = \frac{p(1-p)}{n} + p^2 olduğu bilinmektedir. Bu iki denklemi kullanarak p(1−p)p(1-p) yalnız bırakıldığında UMVUE yapısına ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bu konudan daha fazla soru