Examkin

Soru

Zorluk: ZorTamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bir kamu kurumu çağrı merkezine gelen saatlik şikayet sayıları, λ\lambda parametreli Poisson dağılımına uymaktadır. Kurumun hizmet kalitesi hedefleri doğrultusunda, belirli bir saatte hiç şikayet gelmeme olasılığı olan θ=e−λ\theta = e^{-\lambda} değeri tahmin edilmek istenmektedir.

Rastgele seçilen nn farklı saate ait şikayet sayıları X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n olduğuna göre, θ\theta parametresi için Lehmann-Scheffe teoremi kullanılarak elde edilen düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (n−1n)∑i=1nXi\left(\frac{n-1}{n}\right)^{\sum_{i=1}^n X_i}Cevap
  2. B
    e−1n∑i=1nXie^{-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i}
  3. C
    1n∑i=1nI(Xi=0)\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n I(X_i = 0)
  4. D
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  5. E
    (1n)∑i=1nXi\left(\frac{1}{n}\right)^{\sum_{i=1}^n X_i}

Cevap

θ\theta parametresi için UMVUE değeri (n−1n)∑i=1nXi\left(\frac{n-1}{n}\right)^{\sum_{i=1}^n X_i} ifadesidir.
Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE bulmak için, θ=e−λ\theta = e^{-\lambda} için basit bir yansız tahmin edici olan I(X1=0)I(X_1=0) fonksiyonunun, tam ve yeterli istatistik T=∑XiT = \sum X_i üzerine koşullu beklenen değeri alınmalıdır. Poisson dağılımının toplanabilirlik özelliğinden yararlanılarak P(X1=0∣T=t)P(X_1 = 0 | T = t) koşullu olasılığı hesaplandığında, paydaki (n−1)t(n-1)^t teriminin paydadaki ntn^t terimine oranı sonucu (n−1n)t\left(\frac{n-1}{n}\right)^t fonksiyonu elde edilir. İstatistiği yerine koyduğumuzda UMVUE bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ile tam ve yeterli istatistiği belirlemek.
T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i istatistiği λ\lambda için yeterli ve tam istatistiktir. Ayrıca T∼Poisson(nλ)T \sim Poisson(n\lambda) dağılımına sahiptir.
Üstel aileye mensup dağılımlarda örneklem toplamı doğal parametre için tam ve yeterli istatistiktir. Lehmann-Scheffe teoremine başlamak için bu gereklidir.
2
Tahmin edilmek istenen θ=e−λ\theta = e^{-\lambda} parametresi için basit bir yansız tahmin edici önermek.
W=I(X1=0)W = I(X_1 = 0) gösterge fonksiyonu seçilir. E[W]=P(X1=0)=e−λE[W] = P(X_1 = 0) = e^{-\lambda} olduğundan WW, θ\theta için yansızdır.
Lehmann-Scheffe teoremi, herhangi bir yansız tahmin edicinin, tam ve yeterli istatistik üzerine koşullandırılmasıyla UMVUE'ye ulaşılacağını söyler.
3
Önerilen yansız tahmin edicinin yeterli istatistik T=tT=t verildiğindeki koşullu beklenen değerini, yani ϕ(t)=E[W∣T=t]=P(X1=0∣∑i=1nXi=t)\phi(t) = E[W | T=t] = P(X_1 = 0 | \sum_{i=1}^n X_i = t) olasılığını hesaplamak.
P(X1=0∣T=t)=P(X1=0 ve ∑i=2nXi=t)P(∑i=1nXi=t)P(X_1 = 0 | T=t) = \frac{P(X_1 = 0 \text{ ve } \sum_{i=2}^n X_i = t)}{P(\sum_{i=1}^n X_i = t)} formülü yazılır.
Rao-Blackwell işlemi kullanılarak varyansın küçültülmesi ve Lehmann-Scheffe ile en iyi yansız tahmin ediciye (UMVUE) ulaşılması hedeflenmektedir.
4
Koşullu olasılık formülündeki pay ve paydayı Poisson dağılım kurallarına göre açarak sadeleştirmek.
Pay: e−λ⋅e−(n−1)λ((n−1)λ)tt!=e−nλ(n−1)tλtt!e^{-\lambda} \cdot \frac{e^{-(n-1)\lambda} ((n-1)\lambda)^t}{t!} = \frac{e^{-n\lambda} (n-1)^t \lambda^t}{t!}. Payda: e−nλ(nλ)tt!\frac{e^{-n\lambda} (n\lambda)^t}{t!}. Oranlandığında (n−1n)t\left(\frac{n-1}{n}\right)^t elde edilir.
X1X_1 ile geriye kalan n−1n-1 gözlemin toplamı bağımsızdır ve ∑i=2nXi∼Poisson((n−1)λ)\sum_{i=2}^n X_i \sim Poisson((n-1)\lambda) dağılımına sahiptir. İşlemler sonucu tt yerine istatistik yazılarak nihai tahmin ediciye ulaşılır.

Anahtar Kavram

Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE
Bu soruyu puanla

Konular

Tamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bu konudan daha fazla soru