Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme) Yöntemi

Bir tarım araştırmasında, belirli bir bitki türünün gelişim süresi (ay olarak) XX sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

fX(x)={121x2,1<x<40,dig˘er durumlardaf_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{21}x^2, & 1 < x < 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu bitkinin verimlilik endeksi Y=XY = \sqrt{X} dönüşümü ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, YY rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu fY(y)f_Y(y) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 221y5,1<y<2 \frac{2}{21}y^5, \quad 1 < y < 2 Cevap
  2. B
    121y4,1<y<2 \frac{1}{21}y^4, \quad 1 < y < 2
  3. C
    221y5,1<y<4 \frac{2}{21}y^5, \quad 1 < y < 4
  4. D
    142y3,1<y<2 \frac{1}{42}y^3, \quad 1 < y < 2
  5. E
    221y3,1<y<2 \frac{2}{21}y^3, \quad 1 < y < 2

Cevap

Yoğunluk fonksiyonunun 221y5\frac{2}{21}y^5 ve tanım aralığının 1<y<21 < y < 2 olduğu seçenektir.
Tek değişkenli dönüşüm yönteminde olasılık yoğunluk fonksiyonu fY(y)=fX(g−1(y))⋅∣dxdy∣f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |\frac{dx}{dy}| formülüyle bulunur. X=y2X = y^2 ifadesi fX(x)f_X(x) içinde yerine konulduğunda 121(y2)2\frac{1}{21}(y^2)^2 elde edilir ve bu ifade Jakobiyen olan 2y2y ile çarpılarak 221y5\frac{2}{21}y^5 sonucuna ulaşılır. Ayrıca 1<x<41 < x < 4 sınırları Y=XY = \sqrt{X} kuralına göre 1<y<21 < y < 2 olarak güncellenir.

Adım Adım Çözüm

1
Dönüşüm fonksiyonunun tersini bulmak
Y=X  ⟹  X=Y2Y = \sqrt{X} \implies X = Y^2 (Yani g−1(y)=y2g^{-1}(y) = y^2)
Tek değişkenli dönüşüm yönteminde XX, YY cinsinden ifade edilmelidir.
2
Jakobiyen (türev) değerini hesaplamak
dxdy=ddy(y2)=2y\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}(y^2) = 2y. Mutlak değeri ∣2y∣=2y|2y| = 2y (y>0y > 0 olduğu için).
Olasılığın korunması için alan değişimi oranı (Jakobiyen) formüle dahil edilmelidir.
3
XX'in tanım aralığını YY'ye uyarlamak
1<x<41 < x < 4 eşitsizliğinde xx yerine y2y^2 yazılırsa 1<y2<41 < y^2 < 4 elde edilir. Buradan aralık 1<y<21 < y < 2 olarak bulunur.
Yeni fonksiyonun hangi aralıkta geçerli olduğunu belirlemek zorunludur.
4
Yeni olasılık yoğunluk fonksiyonunu hesaplamak
fY(y)=fX(g−1(y))⋅∣dxdy∣=121(y2)2⋅2y=121y4⋅2y=221y5f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{21}(y^2)^2 \cdot 2y = \frac{1}{21}y^4 \cdot 2y = \frac{2}{21}y^5
Değişken değiştirme formülü eksiksiz olarak uygulanmalıdır.

Anahtar Kavram

Tek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme) Yöntemi ile Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bulma
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme) Yöntemi