X sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir: f_X(x) =… — KPSS İstatistik

$X$ sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{3}{10}(x^2 + 1), & 1 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $Y = \frac{1}{X}$ dönüşümü ile elde edilen $Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A
$f_Y(y) = \frac{3(y^2+1)}{10y^2}, \quad \frac{1}{2} < y < 1$
B
$f_Y(y) = \frac{3(y^2+1)}{10}, \quad \frac{1}{2} < y < 1$
$f_Y(y) = \frac{3(y^2+1)}{10y^4}, \quad \frac{1}{2} < y < 1$ Cevap
D
$f_Y(y) = \frac{3(y^2+1)}{10y^3}, \quad \frac{1}{2} < y < 1$
E
$f_Y(y) = \frac{3(y^2+1)}{10y^4}, \quad 1 < y < 2$

Cevap

Doğru fonksiyon

f_Y(y) = \frac{3(y^2+1)}{10y^4}, \quad \frac{1}{2} < y < 1

olarak hesaplanır.

Doğru dönüşüm için öncelikle

X

Y

cinsinden yalnız bırakılır:

x = 1/y

. Yeni sınırlar

1 < x < 2

yerine konularak

1/2 < y < 1

olarak bulunur. Dönüşümün türevinin mutlak değeri (Jakobiyen)

|dx/dy| = |-1/y^2| = 1/y^2

şeklindedir. Tüm bu ifadeler olasılık yoğunluk fonksiyonunda yerine yazıldığında

f_Y(y) = f_X(1/y) \cdot |dx/dy| = \frac{3}{10}\left(\frac{1}{y^2} + 1\right) \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{3(y^2+1)}{10y^4}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Dönüşümün ters fonksiyonunu ve tanım aralığını bulmak.

y = \frac{1}{x} \implies x = \frac{1}{y}

olarak bulunur. Sınırlar için:

1 < x < 2 \implies 1 < \frac{1}{y} < 2 \implies \frac{1}{2} < y < 1

elde edilir.

Yeni değişken

Y

'nin tanım kümesini ve

X

Y

cinsinden belirlememiz gerekir.

Jakobiyen (türev) değerini hesaplamak.

\frac{dx}{dy} = -\frac{1}{y^2} \implies |J| = \left|-\frac{1}{y^2}\right| = \frac{1}{y^2}

Tek değişkenli dönüşüm teoreminde olasılık yoğunluğunu korumak için, alan değişimini temsil eden türevin mutlak değeri (Jakobiyen) ile çarpım yapılmalıdır.

Olasılık yoğunluk fonksiyonunda yerine koyma işlemini gerçekleştirmek.

f_Y(y) = f_X\left(\frac{1}{y}\right) \cdot |J| = \frac{3}{10}\left(\left(\frac{1}{y}\right)^2 + 1\right) \cdot \frac{1}{y^2}

Genel dönüşüm kuralı

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |J|

formülüyle uygulanır.

İfadeyi cebirsel olarak düzenlemek.

f_Y(y) = \frac{3}{10}\left(\frac{1+y^2}{y^2}\right) \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{3(y^2+1)}{10y^4}

Fonksiyonu şıklarda verilen en sade halinde ifade etmek için parantez içi toplanır ve çarpılır.

Anahtar Kavram

Tek değişkenli sürekli dönüşümlerde, ters fonksiyonun bulunarak olasılık yoğunluk fonksiyonunda yerine yazılması ve mutlak değerli Jakobiyen terimi ile çarpılması.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular