Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme) Yöntemi

Bir kamu kurumunun çağrı merkezine gelen ardışık iki çağrı arasındaki bekleme süresi XX (dakika) sürekli rastgele değişkeni ile modellenmekte olup, XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

fX(x)={2e−2x,x>00,dig˘er durumlardaf_X(x) = \begin{cases} 2e^{-2x}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Sistemin yoğunluk endeksi YY, bekleme süresine bağlı olarak Y=eXY = e^X dönüşümü ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, yoğunluk endeksi YY'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu fY(y)f_Y(y) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. fY(y)=2y3,y>1f_Y(y) = \frac{2}{y^3}, \quad y > 1Cevap
  2. B
    fY(y)=2y2,y>1f_Y(y) = \frac{2}{y^2}, \quad y > 1
  3. C
    fY(y)=2y3,y>0f_Y(y) = \frac{2}{y^3}, \quad y > 0
  4. D
    fY(y)=2y,y>1f_Y(y) = \frac{2}{y}, \quad y > 1
  5. E
    fY(y)=2e−2y,y>1f_Y(y) = 2e^{-2y}, \quad y > 1

Cevap

Doğru fonksiyon, Jakobiyen ile çarpılıp sınırları güncellenmiş olan fY(y)=2y3,  y>1f_Y(y) = \frac{2}{y^3}, \; y > 1 ifadesidir.
Doğru cevap, değişken değiştirme yönteminin tüm adımlarının (ters fonksiyonun bulunması, Jakobiyenin mutlak değerinin çarpım olarak eklenmesi ve tanım aralığının dönüştürülmesi) eksiksiz uygulanmasıyla elde edilen fonksiyondur.

Adım Adım Çözüm

1
Ters fonksiyonun bulunması
X=ln⁡(Y)X = \ln(Y)
Değişken değiştirme kuralını uygulayabilmek için öncelikle XX değişkenini YY cinsinden yalnız bırakarak ifade etmeliyiz.
2
Jakobiyen (türev) değerinin hesaplanması
∣J∣=∣dxdy∣=1y|J| = \left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{y}
Dönüşüm sırasında toplam olasılık alanının 1 olarak korunabilmesi için, ters fonksiyonun yy'ye göre türevinin mutlak değeri kural gereği eklenmelidir.
3
Dönüşüm formülünün uygulanması
fY(y)=2e−2ln⁡(y)⋅1y=2(y−2)⋅y−1=2y3f_Y(y) = 2e^{-2\ln(y)} \cdot \frac{1}{y} = 2(y^{-2}) \cdot y^{-1} = \frac{2}{y^3}
fY(y)=fX(x(y))⋅∣J∣f_Y(y) = f_X(x(y)) \cdot |J| kuralı gereğince XX yerine ln⁡(y)\ln(y) yazılır ve elde edilen ifade Jakobiyen ile çarpılır.
4
Yeni tanım kümesinin (sınırların) belirlenmesi
y>1y > 1
Orijinal dağılımda alt sınır x>0x > 0 olduğu için, bu sınır y=exy = e^x denklemine konularak y>e0=1y > e^0 = 1 elde edilir.

Anahtar Kavram

Tek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme) Yöntemi
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme) Yöntemi