Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı

Bir endüstriyel sistemde kullanılan belirli bir sensör tipinin arızalanana kadar geçen çalışma süresi, beklenen değeri θ\theta olan üstel dağılım göstermektedir. Bu sensörlerden nn (n>1n > 1) adedi bağımsız olarak test edilmiş ve elde edilen çalışma sürelerinin örneklem ortalaması Xˉ\bar{X} olarak hesaplanmıştır. Sistem mühendisleri, sensörün bozulma oranını ifade eden λ=1θ\lambda = \frac{1}{\theta} parametresini tahmin etmek amacıyla, en çok olabilirlik tahmin edicisi olan λ^=1Xˉ\hat{\lambda} = \frac{1}{\bar{X}} istatistiğini kullanmaya karar vermişlerdir.

Buna göre, λ^\hat{\lambda} tahmin edicisinin λ\lambda parametresi için yan miktarı (bias) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    00
  2. B
    1nθ\frac{1}{n\theta}
  3. C
    n(n−1)θ\frac{n}{(n-1)\theta}
  4. 1(n−1)θ\frac{1}{(n-1)\theta}Cevap
  5. E
    −1nθ-\frac{1}{n\theta}

Cevap

1(n−1)θ\frac{1}{(n-1)\theta} formülü ile ifade edilen seçenektir.
Yan miktarı formülü B(λ^)=E[λ^]−λB(\hat{\lambda}) = E[\hat{\lambda}] - \lambda olarak tanımlanır. Xi∼U¨stel(θ)X_i \sim \text{Üstel}(\theta) olduğunda örneklem toplamı olan ∑Xi∼Gamma(n,θ)\sum X_i \sim \text{Gamma}(n, \theta) dağılımına sahip olur. Bu durumda en çok olabilirlik tahmin edicisi olan λ^=n∑Xi\hat{\lambda} = \frac{n}{\sum X_i} istatistiğinin beklenen değeri hesaplandığında E[λ^]=n(n−1)θE[\hat{\lambda}] = \frac{n}{(n-1)\theta} bulunur. Buradan, tahmin edilmek istenen gerçek parametre değeri olan λ=1θ\lambda = \frac{1}{\theta} çıkarıldığında yan miktarı 1(n−1)θ\frac{1}{(n-1)\theta} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem toplamının dağılımını belirleme
Y=∑i=1nXi∼Gamma(n,θ)Y = \sum_{i=1}^n X_i \sim \text{Gamma}(n, \theta)
Üstel dağılıma sahip bağımsız rastgele değişkenlerin toplamı Gamma dağılımı gösterir.
2
Toplamın tersinin beklenen değerini hesaplama
E[1Y]=1(n−1)θE\left[\frac{1}{Y}\right] = \frac{1}{(n-1)\theta}
Gamma dağılımının özellikleri veya integral tanımı kullanılarak (−1).(-1). moment hesaplanır.
3
λ^\hat{\lambda} tahmin edicisinin beklenen değerini bulma
E[λ^]=E[nY]=n(n−1)θE[\hat{\lambda}] = E\left[\frac{n}{Y}\right] = \frac{n}{(n-1)\theta}
Örneklem ortalaması Xˉ=Y/n\bar{X} = Y/n olduğundan, λ^=n/Y\hat{\lambda} = n/Y şeklindedir ve beklenen değer operatörünün doğrusallığı kullanılır.
4
Yan miktarını (bias) hesaplama
B(λ^)=E[λ^]−λ=n(n−1)θ−1θ=1(n−1)θB(\hat{\lambda}) = E[\hat{\lambda}] - \lambda = \frac{n}{(n-1)\theta} - \frac{1}{\theta} = \frac{1}{(n-1)\theta}
Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile tahmin edilmek istenen parametrenin gerçek değeri arasındaki farktır.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerin Yansızlığı ve Yan Miktarı (Bias) Hesaplaması
Bu soruyu puanla

Konular

Yansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı

Bu konudan daha fazla soru