Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı

Bir kitlenin (0,θ)(0, \theta) aralığında düzgün (üniform) dağılıma sahip olduğu bilinmektedir. Bu kitleden alınan nn çaplı bağımsız rastgele örneklemin gözlem değerleri X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olmak üzere, örneklemin en büyük sıra istatistiği Y=max⁡(X1,X2,…,Xn)Y = \max(X_1, X_2, \dots, X_n) olarak tanımlanmıştır.

Bilinmeyen θ\theta parametresini tahmin etmek için θ^=Y\hat{\theta} = Y tahmin edicisi kullanıldığında, bu tahmin edicinin yan miktarı (bias) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    θn+1\frac{\theta}{n+1}
  2. B
    −θn-\frac{\theta}{n}
  3. −θn+1-\frac{\theta}{n+1}Cevap
  4. D
    00
  5. E
    θ2\frac{\theta}{2}

Cevap

Tahmin edicinin yan miktarı −θn+1-\frac{\theta}{n+1} değeridir.
Doğru cevap, en büyük sıra istatistiğinin beklenen değerinin hesaplanıp gerçek parametre değerinden çıkarılmasıyla elde edilen −θn+1-\frac{\theta}{n+1} değerini gösteren seçenektir. Düzgün dağılımda en büyük sıra istatistiğinin beklenen değeri her zaman θ\theta'dan küçüktür (E(Y)=nn+1θE(Y) = \frac{n}{n+1}\theta). Bu durum, söz konusu tahmin edicinin parametreyi olduğundan küçük tahmin etme eğiliminde olduğunu (negatif yan) matematiksel olarak kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
En büyük sıra istatistiği olan YY'nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (g(y)g(y)) belirle.
Düzgün dağılım için F(x)=xθF(x) = \frac{x}{\theta} ve f(x)=1θf(x) = \frac{1}{\theta}'dır. g(y)=n[F(y)]n−1f(y)=n(yθ)n−11θ=nyn−1θng(y) = n[F(y)]^{n-1}f(y) = n\left(\frac{y}{\theta}\right)^{n-1}\frac{1}{\theta} = \frac{n y^{n-1}}{\theta^n} bulunur.
Bir tahmin edicinin yan miktarını hesaplayabilmek için öncelikle o istatistiğin örnekleme dağılımının bilinmesi gerekir.
2
YY istatistiğinin beklenen değerini (E(Y)E(Y)) hesapla.
E(Y)=∫0θynyn−1θndy=nθn∫0θyndy=nθn[yn+1n+1]0θ=nn+1θE(Y) = \int_{0}^{\theta} y \frac{n y^{n-1}}{\theta^n} dy = \frac{n}{\theta^n} \int_{0}^{\theta} y^n dy = \frac{n}{\theta^n} \left[ \frac{y^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{\theta} = \frac{n}{n+1}\theta olarak elde edilir.
Yansızlık incelemesi, tahmin edicinin beklenen değerinin tahmin edilmek istenen parametreye eşit olup olmadığının kontrol edilmesiyle yapılır.
3
Yan miktarını (B(θ^)B(\hat{\theta})) formülü uygulayarak bul.
B(Y)=E(Y)−θ=nn+1θ−θ=nθ−(n+1)θn+1=−θn+1B(Y) = E(Y) - \theta = \frac{n}{n+1}\theta - \theta = \frac{n\theta - (n+1)\theta}{n+1} = -\frac{\theta}{n+1} bulunur.
Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile gerçek parametre değeri arasındaki cebirsel farktır.

Anahtar Kavram

Yansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı
Bu soruyu puanla

Konular

Yansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı

Bu konudan daha fazla soru