Bir kitleye ait X_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele örnekleminin kitl… — KPSS İstatistik

Bir kitleye ait $X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele örnekleminin kitle ortalaması $\mu$ ve kitle varyansı $\sigma^2$ olarak bilinmektedir. $\mu^2$ parametresini tahmin etmek amacıyla örneklem ortalamasının karesi olan $\hat{\theta} = \bar{X}^2$ tahmin edicisi kullanılmaktadır.

Buna göre, $\hat{\theta}$ tahmin edicisinin $\mu^2$ parametresi için yan (bias) miktarı aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{\sigma^2}{n}$ Cevap
B
$\frac{\sigma^2}{n^2}$
C
$\sigma^2$
D
$-\frac{\sigma^2}{n}$
E
$0$

Cevap

Yan miktarı

\frac{\sigma^2}{n}

olarak hesaplanır.

Tahmin edicinin beklenen değeri

E[\bar{X}^2] = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}

olarak bulunur. Yan miktarı tanımı gereği

E[\hat{\theta}] - \theta

işlemi yapıldığında

\mu^2

terimleri birbirini götürür ve geriye pozitif yan miktarı olan

\frac{\sigma^2}{n}

kalır.

Adım Adım Çözüm

Örneklem ortalamasının beklenen değeri ve varyansını belirle.

E[\bar{X}] = \mu

Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}

Bağımsız ve aynı dağılımlı örneklemlerde örneklem ortalamasının beklenen değeri kitle ortalamasına, varyansı ise kitle varyansının örneklem çapına bölümüne eşittir.

Varyans formülünü kullanarak tahmin edicinin beklenen değerini hesapla.

E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2

Var(T) = E[T^2] - (E[T])^2

temel istatistiksel özdeşliği kullanılarak ikinci moment elde edilir.

Yan (bias) miktarı tanımını uygula.

B(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \theta = (\mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}) - \mu^2 = \frac{\sigma^2}{n}

Yan miktarı, bir tahmin edicinin beklenen değeri ile tahmin edilen gerçek parametre arasındaki farktır.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerde Yanlılık ve İkinci Moment İlişkisi

Alternatif Yöntem

Eğer

\mu^2

için yansız bir tahmin edici istenirse,

\bar{X}^2

değerinden yan miktarının yansız bir tahmini (örneğin

S^2/n

) çıkarılarak

T = \bar{X}^2 - \frac{S^2}{n}

tahmin edicisi oluşturulabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru