Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorCramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

θ>0\theta > 0 parametreli bir XX rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x;θ)={θxθ−1,0<x<10,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \theta x^{\theta-1}, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

olarak verilmiştir.

Bu dağılımdan çekilen nn çaplı bağımsız ve aynı dağılımlı bir örneklem temelinde, P(X>e−1)P(X > e^{-1}) olasılığının yansız bir tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı (CRLB) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    θ2e−θn\frac{\theta^2 e^{-\theta}}{n}
  2. B
    θ2(1−e−θ)2n\frac{\theta^2 (1 - e^{-\theta})^2}{n}
  3. C
    θ2n\frac{\theta^2}{n}
  4. θ2e−2θn\frac{\theta^2 e^{-2\theta}}{n}Cevap
  5. E
    θe−2θn\frac{\theta e^{-2\theta}}{n}

Cevap

İstenen yansız tahmin edici için Cramer-Rao alt sınırı θ2e−2θn\frac{\theta^2 e^{-2\theta}}{n} olarak hesaplanır.
Cramer-Rao Alt Sınırı, bir θ\theta parametresinin fonksiyonu olan g(θ)g(\theta)'nın yansız bir tahmin edicisi için [g′(θ)]2n⋅I1(θ)\frac{[g'(\theta)]^2}{n \cdot I_1(\theta)} formülü ile hesaplanır. Öncelikle Fisher bilgi miktarı bulunur: ln⁡f(x;θ)=ln⁡θ+(θ−1)ln⁡x\ln f(x; \theta) = \ln \theta + (\theta-1)\ln x olduğundan, ikinci türevin beklenen değerinin negatifi I1(θ)=1θ2I_1(\theta) = \frac{1}{\theta^2} sonucunu verir. İkinci aşamada, tahmin edilecek olan hedef fonksiyon belirlenir. Bu, XX'in e−1e^{-1}'den büyük olma olasılığıdır: P(X>e−1)=∫e−11θxθ−1dx=1−e−θP(X > e^{-1}) = \int_{e^{-1}}^1 \theta x^{\theta-1} dx = 1 - e^{-\theta}. CRLB formülünde bu fonksiyonun θ\theta'ya göre türevinin karesine ihtiyaç duyulur. Türev e−θe^{-\theta} olup karesi e−2θe^{-2\theta}'dır. Tüm bileşenler formülde yerine konulduğunda e−2θn(1/θ2)=θ2e−2θn\frac{e^{-2\theta}}{n(1/\theta^2)} = \frac{\theta^2 e^{-2\theta}}{n} doğru alt sınır değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Tek bir gözlem için log-olabilirlik fonksiyonunun türevleri üzerinden Fisher bilgi miktarını (I1(θ)I_1(\theta)) hesapla.
ln⁡f(x;θ)=ln⁡θ+(θ−1)ln⁡x  ⟹  ∂2ln⁡f∂θ2=−1θ2\ln f(x; \theta) = \ln \theta + (\theta-1)\ln x \implies \frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2} = -\frac{1}{\theta^2}. Buradan I1(θ)=−E[−1θ2]=1θ2I_1(\theta) = -E\left[-\frac{1}{\theta^2}\right] = \frac{1}{\theta^2} elde edilir.
Cramer-Rao eşitsizliği formülünün paydası, örneklem çapı ile tekil Fisher bilgi miktarının çarpımıdır (n⋅I1(θ)n \cdot I_1(\theta)).
2
Tahmin edilecek olan fonksiyonu, g(θ)=P(X>e−1)g(\theta) = P(X > e^{-1}) olasılığını entegre ederek parametreye bağlı olarak tanımla.
g(θ)=∫e−11θxθ−1dx=[xθ]e−11=1θ−(e−1)θ=1−e−θg(\theta) = \int_{e^{-1}}^1 \theta x^{\theta-1} dx = \left[ x^\theta \right]_{e^{-1}}^1 = 1^\theta - (e^{-1})^\theta = 1 - e^{-\theta}
Parametrenin değil, onun bir fonksiyonunun (belirli bir olasılık değerinin) yansız tahmini için alt sınır aranmaktadır.
3
Bulunan g(θ)g(\theta) fonksiyonunun θ\theta'ya göre türevini (g′(θ)g'(\theta)) al.
g′(θ)=ddθ(1−e−θ)=−e−θ⋅(−1)=e−θg'(\theta) = \frac{d}{d\theta}(1 - e^{-\theta}) = -e^{-\theta} \cdot (-1) = e^{-\theta}
Genelleştirilmiş Cramer-Rao alt sınırının pay kısmı, tahmin edilen fonksiyonun türevinin karesinden ([g′(θ)]2[g'(\theta)]^2) oluşur.
4
Bulunan değerleri CRLB formülünde yerine koy ve nihai ifadeyi sadeleştir.
CRLB=[g′(θ)]2n⋅I1(θ)=(e−θ)2n⋅(1/θ2)=e−2θn/θ2=θ2e−2θn\text{CRLB} = \frac{[g'(\theta)]^2}{n \cdot I_1(\theta)} = \frac{(e^{-\theta})^2}{n \cdot (1/\theta^2)} = \frac{e^{-2\theta}}{n / \theta^2} = \frac{\theta^2 e^{-2\theta}}{n}
Yansız tahmin edicinin varyansı için teorik minimum sınırı veren nihai matematiksel işlemdir.

Anahtar Kavram

Parametrenin Bir Fonksiyonu İçin Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB) ve Olasılık Dönüşümü
Bu soruyu puanla

Konular

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru