Examkin

Soru

Zorluk: ZorCramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bir mühendislik çalışmasında, bir sistemin bozulma süresi (ay cinsinden) XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve aynı dağılımlı bir rastgele örneklem olmak üzere, sistemin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x;θ)={xθe−x22θ,x>00,dig˘erf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{x}{\theta} e^{-\frac{x^2}{2\theta}}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Burada θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametredir.

Buna göre, τ(θ)=θ\tau(\theta) = \sqrt{\theta} parametresinin yansız bir tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı (CRLB) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    θ2n\frac{\theta^2}{n}
  2. B
    θn\frac{\theta}{n}
  3. C
    θ2n\frac{\theta}{2n}
  4. θ4n\frac{\theta}{4n}Cevap
  5. E
    14n\frac{1}{4n}

Cevap

Cramer-Rao alt sınırı θ4n\frac{\theta}{4n} olarak bulunur.
Cramer-Rao alt sınırı, hedeflenen fonksiyonun türevinin karesinin, n hacimli örneklemin Fisher bilgi miktarına bölünmesiyle hesaplanır. Rayleigh dağılımına benzer bu olasılık fonksiyonunda skor fonksiyonunun özelliklerini kullanarak E[X2]=2θE[X^2] = 2\theta elde edilir. Buradan Fisher bilgi miktarı In(θ)=n/θ2I_n(\theta) = n/\theta^2 çıkar. τ(θ)=θ\tau(\theta) = \sqrt{\theta} fonksiyonunun türevinin karesi ise 1/(4θ)1/(4\theta)'dir. Payı paydaya oranladığımızda sonuç θ/(4n)\theta / (4n) olur.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun logaritmasını (log-olabilirlik) almak.
ln⁡f(x;θ)=ln⁡x−ln⁡θ−x22θ\ln f(x; \theta) = \ln x - \ln \theta - \frac{x^2}{2\theta}
Fisher bilgi miktarını (Information) hesaplamak için öncelikle fonksiyonun logaritmasının birinci ve ikinci türevlerine ihtiyaç vardır.
2
Logaritmik fonksiyonun θ\theta'ya göre birinci ve ikinci türevlerini hesaplamak.
Birinci türev: ∂ln⁡f∂θ=−1θ+x22θ2\frac{\partial \ln f}{\partial \theta} = -\frac{1}{\theta} + \frac{x^2}{2\theta^2}. İkinci türev: ∂2ln⁡f∂θ2=1θ2−x2θ3\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2} = \frac{1}{\theta^2} - \frac{x^2}{\theta^3}
İkinci türevin beklenen değerinin negatif işaretlisi, tek bir gözlem için Fisher bilgi miktarını verir.
3
Skor fonksiyonunun (birinci türev) beklenen değerinin sıfır olmasından faydalanarak E[X2]E[X^2] değerini bulmak ve Fisher bilgi miktarını hesaplamak.
E[−1θ+X22θ2]=0  ⟹  E[X2]=2θE\left[-\frac{1}{\theta} + \frac{X^2}{2\theta^2}\right] = 0 \implies E[X^2] = 2\theta. Buradan I1(θ)=−E[1θ2−X2θ3]=−(1θ2−2θθ3)=1θ2I_1(\theta) = -E\left[\frac{1}{\theta^2} - \frac{X^2}{\theta^3}\right] = -\left(\frac{1}{\theta^2} - \frac{2\theta}{\theta^3}\right) = \frac{1}{\theta^2}.O¨rneklemic\cin:. Örneklem için: In(θ)=nθ2I_n(\theta) = \frac{n}{\theta^2}$
Cramer-Rao formülünün paydası olan örneklem Fisher bilgi miktarına (In(θ)I_n(\theta)) ulaşmak için bu işlem gereklidir.
4
Tahmin edilmek istenen fonksiyonun τ(θ)\tau(\theta) türevini alıp, Cramer-Rao alt sınırı formülünü uygulamak.
τ(θ)=θ  ⟹  τ′(θ)=12θ\tau(\theta) = \sqrt{\theta} \implies \tau'(\theta) = \frac{1}{2\sqrt{\theta}}. CRLB = [τ′(θ)]2In(θ)=1/(4θ)n/θ2=θ24nθ=θ4n\frac{[\tau'(\theta)]^2}{I_n(\theta)} = \frac{1/(4\theta)}{n/\theta^2} = \frac{\theta^2}{4n\theta} = \frac{\theta}{4n}
Doğrudan θ\theta yerine θ\sqrt{\theta} parametresi araştırıldığından, pay kısmına fonksiyonun türevinin karesi gelmelidir.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı
Bu soruyu puanla

Konular

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru