Examkin

Soru

Zorluk: OrtaCramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bir araştırmacı, bir popülasyondaki belirli bir özelliğe sahip bireylerin oranını (θ\theta) incelemektedir. Bu amaçla, X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemi, P(Xi=1)=θP(X_i = 1) = \theta ve P(Xi=0)=1−θP(X_i = 0) = 1 - \theta olmak üzere Bernoulli dağılımından çekilmiştir.

Araştırmacı, popülasyon varyansını ifade eden g(θ)=θ(1−θ)g(\theta) = \theta(1-\theta) parametresi ile ilgilenmektedir.

Buna göre, g(θ)g(\theta) parametresinin yansız bir tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı (CRLB) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    θ(1−θ)n\frac{\theta(1-\theta)}{n}
  2. B
    (1−2θ)2nθ(1−θ)\frac{(1-2\theta)^2}{n \theta (1-\theta)}
  3. θ(1−θ)(1−2θ)2n\frac{\theta(1-\theta)(1-2\theta)^2}{n}Cevap
  4. D
    (1−2θ)2n\frac{(1-2\theta)^2}{n}
  5. E
    θ(1−θ)(1−2θ)n\frac{\theta(1-\theta)(1-2\theta)}{n}

Cevap

İstenilen parametre fonksiyonu için Cramer-Rao alt sınırı θ(1−θ)(1−2θ)2n\frac{\theta(1-\theta)(1-2\theta)^2}{n} olarak bulunur.
Verilen dağılım Bernoulli dağılımıdır. Bernoulli dağılımı için tek bir gözlemin Fisher bilgisi I1(θ)=1θ(1−θ)I_1(\theta) = \frac{1}{\theta(1-\theta)} olarak hesaplanır. nn çaplı bir örneklem için toplam Fisher bilgisi In(θ)=nθ(1−θ)I_n(\theta) = \frac{n}{\theta(1-\theta)} olur. Tahmin etmek istediğimiz fonksiyon g(θ)=θ(1−θ)g(\theta) = \theta(1-\theta)'dır. Bu fonksiyonun θ\theta'ya göre türevi g′(θ)=1−2θg'(\theta) = 1-2\theta'dır. Parametrenin bir fonksiyonu için Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB) formülü [g′(θ)]2In(θ)\frac{[g'(\theta)]^2}{I_n(\theta)} şeklindedir. Değerler formülde yerine konulduğunda (1−2θ)2nθ(1−θ)=θ(1−θ)(1−2θ)2n\frac{(1-2\theta)^2}{\frac{n}{\theta(1-\theta)}} = \frac{\theta(1-\theta)(1-2\theta)^2}{n} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bernoulli dağılımı için tek bir gözlemin log-olabilirlik fonksiyonunun (ln⁡f(x;θ)\ln f(x; \theta)) türevini al.
∂ln⁡f∂θ=Xθ−1−X1−θ\frac{\partial \ln f}{\partial \theta} = \frac{X}{\theta} - \frac{1-X}{1-\theta}
Fisher bilgi matrisini bulmak için log-olabilirlik fonksiyonunun birinci ve ikinci türevlerine ihtiyaç vardır.
2
Log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevini al ve eksi beklenen değerini bularak tek bir gözlem için Fisher bilgisini (I1(θ)I_1(\theta)) hesapla.
I1(θ)=−E[−Xθ2−1−X(1−θ)2]=θθ2+1−θ(1−θ)2=1θ(1−θ)I_1(\theta) = -E\left[-\frac{X}{\theta^2} - \frac{1-X}{(1-\theta)^2}\right] = \frac{\theta}{\theta^2} + \frac{1-\theta}{(1-\theta)^2} = \frac{1}{\theta(1-\theta)}
Cramer-Rao alt sınırı formülünün paydasında yer alan nn birimlik toplam Fisher bilgisini (In(θ)=n⋅I1(θ)I_n(\theta) = n \cdot I_1(\theta)) elde etmek için.
3
Tahmin edilecek parametre fonksiyonunun (g(θ)=θ(1−θ)g(\theta) = \theta(1-\theta)) türevini al.
g′(θ)=1−2θg'(\theta) = 1 - 2\theta
Bir fonksiyonun yansız tahmin edicisi için CRLB formülünün pay kısmı [g′(θ)]2[g'(\theta)]^2 şeklindedir.
4
Cramer-Rao alt sınırı formülünü uygula: CRLB=[g′(θ)]2In(θ)CRLB = \frac{[g'(\theta)]^2}{I_n(\theta)}.
CRLB=(1−2θ)2nθ(1−θ)=θ(1−θ)(1−2θ)2nCRLB = \frac{(1-2\theta)^2}{\frac{n}{\theta(1-\theta)}} = \frac{\theta(1-\theta)(1-2\theta)^2}{n}
İstenilen g(θ)g(\theta) parametresi için varyansın teorik alt sınırını belirlemek için.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB) ve Parametre Fonksiyonu Dönüşümü

Alternatif Yöntem

Cramer-Rao alt sınırının alternatif formülü olan In(θ)=nE[(∂ln⁡f∂θ)2]I_n(\theta) = n E[(\frac{\partial \ln f}{\partial \theta})^2] varyans yaklaşımı kullanılarak da Fisher bilgisi hesaplanabilir ve ardından parametre fonksiyonu dönüşüm işlemi karesel olarak aynı şekilde uygulanabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru