Examkin

Soru

Zorluk: OrtaCramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bir kamu destek projesinde, verilen hibelerin hedeflenen kitleye ulaşma oranı XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu θ>−1\theta > -1 parametresine bağlı olarak aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x;θ)={(θ+1)xθ,0<x<10,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} (\theta + 1) x^\theta, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bir denetçi, nn farklı projeyi birbirinden bağımsız olarak incelemiş ve X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n oranlarından oluşan bir rastgele örneklem elde etmiştir.

Buna göre, θ\theta parametresinin yansız bir tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı (CRLB) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    n(θ+1)2\frac{n}{(\theta + 1)^2}
  2. B
    (θ+1)2(\theta + 1)^2
  3. (θ+1)2n\frac{(\theta + 1)^2}{n}Cevap
  4. D
    θ+1n\frac{\theta + 1}{n}
  5. E
    1n(θ+1)2\frac{1}{n(\theta + 1)^2}

Cevap

Doğru yanıt, Cramer-Rao alt sınırının tam olarak hesaplandığı (θ+1)2/n(\theta + 1)^2 / n ifadesidir.
Cramer-Rao alt sınırı (CRLB), yansız bir tahmin edicinin sahip olabileceği minimum varyansı ifade eder ve 1/(n⋅I(θ))1 / (n \cdot I(\theta)) formülü ile hesaplanır. Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonunun logaritması alınıp θ\theta'ya göre ikinci türevi hesaplandığında −1/(θ+1)2-1/(\theta+1)^2 değeri elde edilir. Bunun beklenen değerinin negatif işareti olan Fisher bilgi miktarı I(θ)=1/(θ+1)2I(\theta) = 1/(\theta+1)^2'dir. nn hacimli örneklem için CRLB formülünde yerine konulduğunda sonuç (θ+1)2/n(\theta+1)^2 / n olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun logaritması alınır.
ln⁡f(x;θ)=ln⁡(θ+1)+θln⁡x\ln f(x; \theta) = \ln(\theta + 1) + \theta \ln x
Log-olabilirlik fonksiyonunun türevini alabilmek için fonksiyonun logaritmik olarak daha kolay türevlenebilir bir forma getirilmesi gerekir.
2
Logaritmik fonksiyonun θ\theta parametresine göre birinci ve ikinci türevleri hesaplanır.
Birinci türev: ∂∂θln⁡f(x;θ)=1θ+1+ln⁡x\frac{\partial}{\partial \theta} \ln f(x; \theta) = \frac{1}{\theta + 1} + \ln x
İkinci türev: ∂2∂θ2ln⁡f(x;θ)=−1(θ+1)2\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \ln f(x; \theta) = -\frac{1}{(\theta + 1)^2}
Fisher bilgi miktarına ulaşmak için log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci mertebeden türevinin bulunması zorunludur.
3
Tek bir gözlem için Fisher Bilgi Miktarı (I(θ)I(\theta)) hesaplanır.
I(θ)=−E[−1(θ+1)2]=1(θ+1)2I(\theta) = -E\left[ -\frac{1}{(\theta + 1)^2} \right] = \frac{1}{(\theta + 1)^2}
Cramer-Rao alt sınırı formülünün temel bileşeni olan Fisher bilgisi değeri türetilir.
4
nn çaplı örneklem için Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB) formülü uygulanır.
CRLB=1n⋅I(θ)=1n⋅1(θ+1)2=(θ+1)2nCRLB = \frac{1}{n \cdot I(\theta)} = \frac{1}{n \cdot \frac{1}{(\theta + 1)^2}} = \frac{(\theta + 1)^2}{n}
Yansız bir tahmin edicinin teorik olarak sahip olabileceği minimum varyans değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB) Hesaplaması
Bu soruyu puanla

Konular

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru