Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bir fabrikada üretilen parçaların kusurlu olma olasılığı pp'dir. Bu fabrikadan rastgele seçilen nn adet parçanın kusurlu olup olmama durumu X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n Bernoulli rastgele değişkenleri ile modellenmektedir (P(Xi=1)=pP(X_i=1)=p).

Kalite kontrol birimi, kitle varyansı olan θ=p(1−p)\theta = p(1-p) parametresini tahmin etmek istemektedir.

T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i istatistiğinin pp için tam ve yeterli (complete and sufficient) olduğu bilindiğine göre, Lehmann-Scheffe teoremi uyarınca θ\theta'nın Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. T(n−T)n(n−1)\frac{T(n-T)}{n(n-1)}Cevap
  2. B
    T(n−T)n2\frac{T(n-T)}{n^2}
  3. C
    T2n2\frac{T^2}{n^2}
  4. D
    Tn\frac{T}{n}
  5. E
    T2−Tn(n−1)\frac{T^2 - T}{n(n-1)}

Cevap

Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE), tam ve yeterli istatistik olan T'nin bir fonksiyonu olan T(n−T)n(n−1)\frac{T(n-T)}{n(n-1)} ifadesidir.
Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli bir istatistiğin (bu soruda T) yansız bir fonksiyonu, tahmin ettiği parametre için UMVUE'dir. Parametremiz θ=p(1−p)\theta = p(1-p)'dir. T∼Binomial(n,p)T \sim Binomial(n,p) olduğundan E(T)=npE(T) = np ve E(T2)=np(1−p)+n2p2E(T^2) = np(1-p) + n^2p^2 olduğunu biliyoruz. Bizden beklenen değeri p(1−p)p(1-p) olan ve sadece T'ye bağlı bir fonksiyon bulmamız istenmektedir. İlgili momentler yerine konulduğunda E(nT−T2)=n2p−np+np2−n2p2=n(n−1)p(1−p)E(nT - T^2) = n^2p - np + np^2 - n^2p^2 = n(n-1)p(1-p) sonucuna ulaşılır. Her iki taraf n(n−1)n(n-1)'e bölündüğünde, T(n−T)n(n−1)\frac{T(n-T)}{n(n-1)} istatistiğinin beklenen değerinin p(1−p)p(1-p) olduğu görülür. T, tam ve yeterli olduğundan, Lehmann-Scheffe teoremi gereği bu ifade hedeflenen parametre için UMVUE'dir.

Adım Adım Çözüm

1
TT'nin dağılımı ve momentlerini belirleme
T∼Binomial(n,p)T \sim Binomial(n,p) olduğundan, E(T)=npE(T) = np ve E(T2)=Var(T)+[E(T)]2=np(1−p)+n2p2=np−np2+n2p2E(T^2) = Var(T) + [E(T)]^2 = np(1-p) + n^2p^2 = np - np^2 + n^2p^2 olarak bulunur.
Lehmann-Scheffe teoremini uygulamak için tam ve yeterli istatistik olan TT'nin beklenen değer özelliklerini bilmemiz gerekir.
2
p(1−p)p(1-p) için yansız bir g(T)g(T) fonksiyonu arama
g(T)=nT−T2g(T) = nT - T^2 fonksiyonunun beklenen değerini hesaplayalım: E(nT−T2)=nE(T)−E(T2)=n(np)−(np−np2+n2p2)E(nT - T^2) = nE(T) - E(T^2) = n(np) - (np - np^2 + n^2p^2).
Parametremiz θ=p(1−p)\theta = p(1-p) olduğu için, beklenen değeri bu ifadeye orantılı olacak şekilde TT'ye bağlı bir polinom oluşturuyoruz.
3
Beklenen değer ifadesini sadeleştirip yansızlık katsayısını bulma
n2p−np+np2−n2p2=n(n−1)p−n(n−1)p2=n(n−1)p(1−p)n^2p - np + np^2 - n^2p^2 = n(n-1)p - n(n-1)p^2 = n(n-1)p(1-p) elde edilir.
Bulduğumuz ifadenin hedeflenen p(1−p)p(1-p) parametresinin tam olarak n(n−1)n(n-1) katı olduğunu doğruluyoruz.
4
Lehmann-Scheffe teoremini uygulayarak UMVUE'yi elde etme
E(nT−T2n(n−1))=p(1−p)E\left(\frac{nT - T^2}{n(n-1)}\right) = p(1-p) olduğundan ve ifade sadece tam/yeterli istatistik TT'ye bağlı olduğundan, UMVUE T(n−T)n(n−1)\frac{T(n-T)}{n(n-1)} olarak bulunur.
Teoreme göre, tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu her zaman tekil (unique) Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicidir.

Anahtar Kavram

Tamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)
Bu soruyu puanla

Konular

Tamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bu konudan daha fazla soru