Examkin

Soru

Zorluk: KolayMonoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Bir kamu bankasında görevli müfettişler, kredi başvurularındaki hatalı bildirimlerin parasal tutarlarını analiz etmektedir. Bu tutarların X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2) dağılımına sahip olduğu ve varyansın σ2=400\sigma^2 = 400 olarak bilindiği varsayılmaktadır. μ\mu parametresi için monoton olabilirlik oranı (MLR) özelliği incelenirken, μ1<μ2\mu_1 < \mu_2 durumunda olabilirlik oranının (L(μ2)/L(μ1)L(\mu_2)/L(\mu_1)) monoton artan bir fonksiyonu olduğu istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Gözlemlerin aritmetik ortalaması (Xˉ\bar{X})Cevap
  2. B
    Gözlemlerin toplamının ters işaretlisi (−∑i=1nXi-\sum_{i=1}^n X_i)
  3. C
    Örneklem varyansı (S2S^2)
  4. D
    Örneklemdeki en büyük değer (X(n)X_{(n)})
  5. E
    Gözlemlerin kareleri toplamı (∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2)

Cevap

Gözlemlerin aritmetik ortalaması (Xˉ\bar{X})
Normal dağılımda kitle ortalaması μ\mu parametresi için olabilirlik oranı, örneklem toplamı ∑Xi\sum X_i istatistiğinin monoton artan bir fonksiyonudur. Aritmetik ortalama (Xˉ\bar{X}), örneklem toplamının birebir ve artan bir dönüşümü olduğu için olabilirlik oranı bu istatistiğe göre de monoton artan bir özellik gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonunun yazılması
L(μ)=(2πσ2)−n/2exp⁡[−12σ2∑i=1n(xi−μ)2]L(\mu) = (2\pi \sigma^2)^{-n/2} \exp\left[-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2\right]
Verilerin normal dağılımdan geldiği bilindiği için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu oluşturulur.
2
Olabilirlik oranının oluşturulması
L(μ2)L(μ1)=exp⁡[μ2−μ1σ2∑i=1nxi−n(μ22−μ12)2σ2]\frac{L(\mu_2)}{L(\mu_1)} = \exp\left[\frac{\mu_2 - \mu_1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n x_i - \frac{n(\mu_2^2 - \mu_1^2)}{2\sigma^2}\right]
İki farklı parametre değeri μ1\mu_1 ve μ2\mu_2 için oran kurularak üstel ifadeler sadeleştirilir.
3
Monotonluk yönünün tayin edilmesi
μ2>μ1\mu_2 > \mu_1 ve σ2>0\sigma^2 > 0 olduğu için ∑xi\sum x_i katsayısı pozitiftir; oran ∑xi\sum x_i (ve dolayısıyla xˉ\bar{x}) ile artar.
Eksponansiyel fonksiyonun argümanındaki istatistiğin katsayısı pozitifse, fonksiyon o istatistiğe göre monoton artandır.

Anahtar Kavram

Normal Dağılımda Ortalamaya Göre Monoton Olabilirlik Oranı

Daha Fazla Pratik

Varyansın bilinmediği durumda ortalama için MLR ve UMP testlerin varlığını araştırınız.

Alternatif Yöntem

Üstel aile (exponential family) formundan yararlanarak, f(x∣θ)=h(x)c(θ)exp⁡(w(θ)T(x))f(x|\theta) = h(x)c(\theta)\exp(w(\theta)T(x)) yapısında w(θ)w(\theta) fonksiyonunun monotonluğu üzerinden de T(x)T(x)'in MLR sağladığı doğrudan görülebilir.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Bu konudan daha fazla soru