Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDüzgün En Güçlü (UMP) Testler

Bir elektronik cihazın bileşenlerinin yaşam sürelerinin, beklenen değeri β\beta olan üstel dağılıma sahip olduğu bilinmektedir. Bu cihazdan rasgele seçilen nn adet bileşenin yaşam süreleri X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olarak gözlemlenmiştir.

Bu bileşenlerin ortalama yaşam süresinin belirli bir β0\beta_0 değerinden daha küçük olup olmadığını araştırmak için H0:β≥β0H_0: \beta \geq \beta_0 yokluk hipotezi, H1:β<β0H_1: \beta < \beta_0 alternatif hipotezine karşı test edilecektir.

Buna göre, Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliği ve Karlin-Rubin teoremi dikkate alındığında, bu test için Düzgün En Güçlü (UMP) testin red bölgesi (kritik bölge) aşağıdakilerden hangisi şeklinde olmalıdır?

  1. A
    ∑i=1nXi>c\sum_{i=1}^n X_i > c
  2. B
    ∣∑i=1nXi−nβ0∣>c\left| \sum_{i=1}^n X_i - n\beta_0 \right| > c
  3. C
    ∏i=1nXi<c\prod_{i=1}^n X_i < c
  4. ∑i=1nXi<c\sum_{i=1}^n X_i < cCevap
  5. E
    min⁡(X1,X2,…,Xn)<c\min(X_1, X_2, \dots, X_n) < c

Cevap

∑i=1nXi<c\sum_{i=1}^n X_i < c
Üstel dağılım için olabilirlik fonksiyonu oluşturulduğunda, yeterli istatistiğin T=∑XiT = \sum X_i olduğu görülür. β2>β1\beta_2 > \beta_1 koşulu altında olabilirlik oranı incelendiğinde, fonksiyonun ∑Xi\sum X_i değerine göre monoton artan olduğu (MLR özelliği sağlandığı) saptanır. Karlin-Rubin teoremine göre, MLR özelliği TT'ye göre sağlanıyorsa H1:β<β0H_1: \beta < \beta_0 şeklindeki sol yönlü alternatif hipotez için Düzgün En Güçlü (UMP) testin red bölgesi istatistiğin küçük değerlerini almalıdır; yani ∑i=1nXi<c\sum_{i=1}^n X_i < c formundadır.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonunu ve yeterli istatistiği belirleme
L(β)=∏i=1n1βe−Xi/β=β−ne−1β∑XiL(\beta) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\beta} e^{-X_i/\beta} = \beta^{-n} e^{-\frac{1}{\beta}\sum X_i} olarak bulunur.
UMP testi oluşturabilmek için öncelikle yeterli istatistiğe bağlı olan olabilirlik oranının yapısı incelenmelidir.
2
Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğini test etme
β2>β1\beta_2 > \beta_1 için L(β2)L(β1)\frac{L(\beta_2)}{L(\beta_1)} oranı hesaplandığında, oranın ∑Xi\sum X_i değerine göre monoton artan olduğu tespit edilir.
Karlin-Rubin teoreminin uygulanabilmesi için ailenin, belirli bir T(X)T(X) istatistiğine göre MLR özelliğini sağlayıp sağlamadığı kanıtlanmalıdır.
3
Karlin-Rubin teoremi aracılığıyla red bölgesini oluşturma
MLR özelliği T=∑XiT = \sum X_i'ye göre sağlandığı için, H1:β<β0H_1: \beta < \beta_0 alternatif hipotezine karşı UMP red bölgesi T<cT < c, yani ∑Xi<c\sum X_i < c olarak tayin edilir.
Sol kuyruk (tek yönlü) alternatif testinde red bölgesinin yönü de kritik değerden küçük olacak şekilde belirlenir.

Anahtar Kavram

Düzgün En Güçlü (UMP) Testler ve Karlin-Rubin Teoremi
Bu soruyu puanla

Konular

Düzgün En Güçlü (UMP) Testler

Bu konudan daha fazla soru