Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDüzgün En Güçlü (UMP) Testler

Bir araştırmacı, olasılık yoğunluk fonksiyonu x≥1x \geq 1 ve θ>0\theta > 0 için,

f(x;θ)=θx−(θ+1)f(x; \theta) = \theta x^{-(\theta+1)}

olarak verilen Pareto dağılımına sahip bir kitleden nn hacimli X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemini almıştır.

Bu kitleye ait θ\theta parametresi için H0:θ≤θ0H_0: \theta \leq \theta_0 yokluk hipotezi, H1:θ>θ0H_1: \theta > \theta_0 alternatif hipotezine karşı test edilmek istenmektedir.

Buna göre, Karlin-Rubin teoremine dayanarak elde edilecek Düzgün En Güçlü (UMP) testin ret bölgesi aşağıdakilerden hangisidir? (cc, testin anlamlılık düzeyine bağlı bir sabiti göstermektedir.)

  1. A
    ∑i=1nln⁡Xi>c\sum_{i=1}^n \ln X_i > c
  2. B
    ∑i=1nXi<c\sum_{i=1}^n X_i < c
  3. ∑i=1nln⁡Xi<c\sum_{i=1}^n \ln X_i < cCevap
  4. D
    ∑i=1nXi>c\sum_{i=1}^n X_i > c
  5. E
    Bu hipotez yapısı için Düzgün En Güçlü (UMP) test tanımlanamaz.

Cevap

Karlin-Rubin teoremine göre doğru ret bölgesi ∑i=1nln⁡Xi<c\sum_{i=1}^n \ln X_i < c şeklindedir.
Karlin-Rubin teoremine göre UMP testin ret bölgesi, olabilirlik oranını (MLR) monoton yapan yeterli istatistiğin yönü ile alternatif hipotezin yönü kullanılarak belirlenir. Pareto dağılımında olabilirlik oranı, ∑ln⁡Xi\sum \ln X_i istatistiğine göre eksi işaretli üsten dolayı monoton azalandır. Azalan bir fonksiyon söz konusu olduğunda ve alternatif hipotez büyük yönlü (>>) olduğunda, test istatistiğinin küçük (<<) değerleri için H0H_0 reddedilir.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturun.
L(θ)=∏i=1nθXi−(θ+1)=θn(∏i=1nXi)−(θ+1)L(\theta) = \prod_{i=1}^n \theta X_i^{-(\theta+1)} = \theta^n \left( \prod_{i=1}^n X_i \right)^{-(\theta+1)}
Monoton Olabilirlik Oranını (MLR) bulmak için öncelikle olabilirlik fonksiyonuna ihtiyaç vardır.
2
θ1>θ0\theta_1 > \theta_0 koşulu altında olabilirlik oranını yazın ve düzenleyin.
L(θ1)L(θ0)=(θ1θ0)n(∏i=1nXi)−(θ1−θ0)\frac{L(\theta_1)}{L(\theta_0)} = \left(\frac{\theta_1}{\theta_0}\right)^n \left( \prod_{i=1}^n X_i \right)^{-(\theta_1 - \theta_0)}
Test istatistiğini ve oranın bu istatistiğe göre artan mı azalan mı olduğunu belirlemek için oran hesaplanır.
3
Oran fonksiyonunun monotonluk yönünü belirleyin.
Çarpım ifadesi exp⁡(−(θ1−θ0)∑ln⁡Xi)\exp\left( -(\theta_1 - \theta_0) \sum \ln X_i \right) olarak yazılabilir. θ1>θ0\theta_1 > \theta_0 olduğundan, bu oran ∑ln⁡Xi\sum \ln X_i istatistiğine göre kesin olarak monoton azalan bir fonksiyondur.
Karlin-Rubin teoreminde ret bölgesinin yönü, istatistiğin monotonluk yönüne göre tayin edilir.
4
Karlin-Rubin teoremini uygulayarak ret bölgesini tanımlayın.
H1:θ>θ0H_1: \theta > \theta_0 alternatif hipotezi için, MLR fonksiyonu ∑ln⁡Xi\sum \ln X_i istatistiğine göre monoton azalan olduğundan, ret bölgesi istatistiğin küçük değerlerinde aranır: ∑i=1nln⁡Xi<c\sum_{i=1}^n \ln X_i < c.
Eğer oran azalan fonksiyonsa, alternatif hipotez yönündeki büyük değişimler istatistiğin küçük değerlerine karşılık gelir.

Anahtar Kavram

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) ve Karlin-Rubin Teoremi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Düzgün En Güçlü (UMP) Testler

Bu konudan daha fazla soru