Bir kamu kurumunda, bir teknik personelin günlük araç yakıt tüketimi X (litre) sürekli ras… — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumunda, bir teknik personelin günlük araç yakıt tüketimi $X$ (litre) sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, & 0 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Bu personelin günlük toplam yakıt maliyet indeksi $Y = X^2 + 1$ fonksiyonu ile hesaplandığına göre, maliyet değişkeni $Y$ 'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$f_Y(y) = \frac{1}{4}, \quad 1 < y < 5$ Cevap
B
$f_Y(y) = \frac{\sqrt{y-1}}{2}, \quad 1 < y < 5$
C
$f_Y(y) = \frac{1}{4}, \quad 0 < y < 4$
D
$f_Y(y) = y - 1, \quad 1 < y < 5$
E
$f_Y(y) = \frac{1}{2}, \quad 1 < y < 5$

Cevap

Maliyet değişkeni

Y

'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu

1 < y < 5

aralığında

1/4

değerine eşittir.

Doğru çözümde

x = \sqrt{y-1}

ters dönüşümü yapılarak

|dx/dy| = 1/(2\sqrt{y-1})

Jakobiyen terimi hesaplanmıştır.

f_X(x)

fonksiyonunda

x

yerine

\sqrt{y-1}

yazılıp bu terimle çarpıldığında kareköklü ifadeler birbirini götürerek

1/4

sabit değeri elde edilir. Ayrıca

x

değerleri 0 ile 2 arasındayken

y

değerleri 1 ile 5 arasında değiştiği için doğru tanım aralığı da sağlanmış olur.

Adım Adım Çözüm

Ters dönüşüm fonksiyonunu belirleme

x = \sqrt{y-1}

Değişken değiştirme yönteminde

x

y

cinsinden ifade edilmelidir (

0 < x < 2

olduğu için pozitif kök alınır).

Jakobiyen (türev) terimini hesaplama

|J| = \left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{2\sqrt{y-1}}

Yeni yoğunluk fonksiyonu, eski fonksiyonun türevsel değişim oranıyla ölçeklenmesini gerektirir.

Tanım aralığını (destek) dönüştürme

x=0 \Rightarrow y=1

x=2 \Rightarrow y=5

x

'in sınırları

0 < x < 2

olduğu için

y

'nin sınırları

1 < y < 5

olarak güncellenmelidir.

Dönüşüm formülünü uygulama

f_Y(y) = f_X(\sqrt{y-1}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y-1}} = \frac{\sqrt{y-1}}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y-1}} = \frac{1}{4}

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |(g^{-1})'(y)|

kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Tek Değişkenli Sürekli Rastgele Değişkenlerin Dönüşümü (Jakobiyen Yöntemi)

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular