Bir meteoroloji istasyonunda, belirli bir bölgedeki rüzgar hızının (X) dağılımı, parametre… — KPSS İstatistik

Bir meteoroloji istasyonunda, belirli bir bölgedeki rüzgar hızının ( $X$ ) dağılımı, parametresi $\theta > 0$ olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonu ile modellenmektedir:

f(x; \theta) = \frac{2x}{\theta} e^{-\frac{x^2}{\theta}}, \quad x > 0

Bu dağılımdan alınan $n$ çaplı rastgele bir örneklem $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ kullanılarak $\theta$ parametresi hakkında hipotez testleri yapılacaktır.

Düzgün En Güçlü (UMP) test kuramı dikkate alındığında, bu testlere ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A
$H_0: \theta \leq \theta_0$ hipotezine karşı $H_1: \theta > \theta_0$ hipotezini test etmek için UMP testin ret bölgesi, $c$ uygun bir sabit olmak üzere $\sum_{i=1}^n x_i < c$ şeklindedir.
B
Çift yönlü $H_0: \theta = \theta_0$ hipotezine karşı $H_1: \theta \neq \theta_0$ alternatif hipotezini test eden ve tüm $\theta \neq \theta_0$ noktalarında testin gücünü maksimize eden bir UMP test her zaman mevcuttur.
Karlin-Rubin teoremi uyarınca, $H_0: \theta \geq \theta_0$ hipotezine karşı $H_1: \theta < \theta_0$ hipotezi için UMP testin ret bölgesi $\sum_{i=1}^n x_i^2 < c$ eşitsizliği ile belirlenir.Cevap
D
Neyman-Pearson lemması kullanılarak elde edilen basit hipotez testinde, olabilirlik oranı (likelihood ratio) yalnızca $\sum_{i=1}^n \ln(x_i)$ istatistiğine monoton olarak bağlıdır.
E
Monoton olabilirlik oranı özelliğinden dolayı, $H_0: \theta \leq \theta_0$ hipotezine karşı $H_1: \theta > \theta_0$ hipotezini test etmek için UMP testin kritik bölgesi $\sum_{i=1}^n x_i^2 < c$ eşitsizliği ile ifade edilir.

Cevap

Karlin-Rubin teoremi uyarınca,

H_0: \theta \geq \theta_0

hipotezine karşı

H_1: \theta < \theta_0

hipotezi için UMP testin ret bölgesi

\sum_{i=1}^n x_i^2 < c

eşitsizliği ile belirlenir.

Verilen Rayleigh tipi dağılım için

\theta_2 > \theta_1

iken olabilirlik oranı incelendiğinde, bu oranın

T = \sum x_i^2

istatistiğinin monoton artan bir fonksiyonu olduğu görülür. Karlin-Rubin teoremi uyarınca,

H_1: \theta < \theta_0

şeklindeki küçük yönlü alternatif hipotez için UMP testin ret bölgesi olabilirlik oranının (dolayısıyla

T

istatistiğinin) küçük değerlerinden oluşmalıdır. Bu nedenle doğru ret bölgesi

\sum_{i=1}^n x_i^2 < c

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

n

çaplı örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturun.

L(\theta) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{2x_i}{\theta} e^{-\frac{x_i^2}{\theta}} \right) = \frac{2^n \prod_{i=1}^n x_i}{\theta^n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i^2}

Neyman-Pearson ve Karlin-Rubin teoremlerini uygulayabilmek için öncelikle olabilirlik fonksiyonunun ifade edilmesi gerekir.

\theta_2 > \theta_1

durumu için olabilirlik oranını (likelihood ratio) yazarak monotonluk özelliğini (MLR) belirleyin.

\frac{L(\theta_2)}{L(\theta_1)} = \left(\frac{\theta_1}{\theta_2}\right)^n e^{\left(\frac{1}{\theta_1} - \frac{1}{\theta_2}\right) \sum_{i=1}^n x_i^2}

Test istatistiğini ve ret bölgesinin yönünü belirlemek için oranın hangi istatistiğe göre monoton arttığını veya azaldığını incelemeliyiz.

Elde edilen oranın monotonluk yönünü matematiksel olarak analiz edin.

\theta_2 > \theta_1 > 0

olduğundan

\frac{1}{\theta_1} - \frac{1}{\theta_2} > 0

olur. Bu durumda olabilirlik oranı,

T = \sum_{i=1}^n x_i^2

istatistiğinin monoton artan (strictly increasing) bir fonksiyonudur.

Üstel kısımdaki katsayının pozitif olması, oranın

T

istatistiği ile aynı yönde artacağını gösterir.

Karlin-Rubin teoremini kullanarak alternatif hipotezlerin yönüne göre ret bölgelerini tespit edin.

H_1: \theta < \theta_0

alternatif hipotezi için ret bölgesi,

T

istatistiğinin küçük değerlerinde aranır, yani

\sum_{i=1}^n x_i^2 < c

olur.

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

T

istatistiğine göre artan olduğunda, alternatif hipotezin eşitsizlik yönü (

<

veya

>

) ret bölgesinin eşitsizlik yönü ile doğrudan örtüşür.

Anahtar Kavram

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) ve Karlin-Rubin Teoremi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru