Bir ülkenin istihdam verilerini inceleyen bir kamu kurumu, belirli bir sektördeki işletmel… — KPSS İstatistik

Bir ülkenin istihdam verilerini inceleyen bir kamu kurumu, belirli bir sektördeki işletmelerin aylık ortalama personel sayısını ( $\mu$ ) tahmin etmek için $n$ çaplı bağımsız ve aynı dağılımlı bir örneklem $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ toplamıştır. Kitle varyansının $\sigma^2 < \infty$ olduğu bilinmektedir. Kurum uzmanları $\mu$ parametresi için aşağıdaki iki tahmin ediciyi önermiştir:

\hat{\theta}_1 = \bar{X}

\hat{\theta}_2 = \frac{n\bar{X} + a}{n + b}

(Burada $a$ ve $b$ sıfırdan farklı pozitif sabitlerdir.)

Buna göre, önerilen bu tahmin edicilerin yansızlık ve tutarlılık özellikleri ile ilgili aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

$\hat{\theta}_1$ yansız ve tutarlı bir tahmin edici iken, $\hat{\theta}_2$ sonlu örneklemlerde yanlı olmasına rağmen tutarlı bir tahmin edicidir.Cevap
B
Bir tahmin edicinin tutarlı olabilmesi için tüm örneklem çaplarında yansız olması zorunlu olduğundan, yalnızca $\hat{\theta}_1$ tutarlı bir tahmin edicidir.
C
$\hat{\theta}_2$ yanlı bir tahmin edici olduğu için, $n$ sonsuza giderken Hata Kareler Ortalaması (MSE) sürekli artar ve tutarsızdır.
D
Her iki tahmin edici de tutarlıdır; ancak $\hat{\theta}_2$ 'nin tutarlılığı Hata Kareler Ortalaması (MSE) dikkate alınmaksızın yalnızca varyansının sıfıra gitmesiyle ispatlanabilir.
E
$\hat{\theta}_2$ asimptotik olarak yansızdır fakat örneklem çapı büyüdükçe yan miktarı da arttığı için tutarlı bir tahmin edici değildir.

Cevap

Doğru seçenek, birinci tahmin edicinin yansız ve tutarlı, ikinci tahmin edicinin ise yanlı olmasına rağmen tutarlı olduğunu belirten ifadedir.

Verilen senaryoda örneklem ortalaması standart olarak yansız ve tutarlıdır. İkinci tahmin edici olan rasyonel ifade incelendiğinde,

n

sabit bir sayı iken paydadaki

b

sabiti ve paydaki

a

sabiti nedeniyle beklenen değer

\mu

'den farklıdır (yanlıdır). Fakat

n

limit durumunda sonsuza götürüldüğünde ifade

\mu

'ye, varyansı ise sıfıra yakınsar. Bu durum MSE'nin sıfıra yakınsadığını ispatlar, yani tahmin edici asimptotik özellikleri gereği tutarlıdır.

Adım Adım Çözüm

Birinci tahmin edicinin (

\hat{\theta}_1 = \bar{X}

) yansızlık ve tutarlılık durumunu inceleyin.

E(\bar{X}) = \mu

olduğundan yansızdır.

Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}

\lim_{n \to \infty} \frac{\sigma^2}{n} = 0

olduğundan tutarlıdır.

Örneklem ortalaması standart bir tahmin edici olup özellikleri teorem gereği bilinmektedir.

İkinci tahmin edicinin (

\hat{\theta}_2

) beklenen değerini ve asimptotik yansızlığını hesaplayın.

E(\hat{\theta}_2) = \frac{n E(\bar{X}) + a}{n + b} = \frac{n\mu + a}{n + b}

. Bu ifade

\mu

'ye eşit olmadığı için tahmin edici yanlıdır. Ancak

\lim_{n \to \infty} \frac{n\mu + a}{n + b} = \mu

olduğu için asimptotik olarak yansızdır.

Bir tahmin edicinin tutarlılığını incelemek için asimptotik beklenen değerine bakılmalıdır.

İkinci tahmin edicinin varyansının asimptotik davranışını inceleyin.

Var(\hat{\theta}_2) = Var\left(\frac{n\bar{X} + a}{n + b}\right) = \frac{n^2}{(n+b)^2} Var(\bar{X}) = \frac{n^2}{(n+b)^2} \frac{\sigma^2}{n} = \frac{n\sigma^2}{(n+b)^2}

. Limit alındığında

\lim_{n \to \infty} \frac{n\sigma^2}{(n+b)^2} = 0

bulunur.

Tutarlılık için varyansın örneklem çapı büyüdükçe sıfıra gitmesi gerekir.

\hat{\theta}_2

için Hata Kareler Ortalaması (MSE) şartını değerlendirin.

MSE(\hat{\theta}_2) = Var(\hat{\theta}_2) + [Yan(\hat{\theta}_2)]^2

. Hem varyans hem de yan miktarı

n \to \infty

iken sıfıra gittiği için MSE de sıfıra gider. Dolayısıyla

\hat{\theta}_2

tutarlıdır.

MSE'nin sıfıra yakınsaması, olasılıkta yakınsamanın (tutarlılığın) yeterli koşuludur.

Anahtar Kavram

Yanlı bir tahmin edicinin asimptotik yansızlık ve varyansının sıfıra gitmesi koşulları altında tutarlı (consistent) bir tahmin edici olabileceği ilkesi.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru