Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bir araştırmacı, kitle varyansı bilinen (σ2=1\sigma^2=1) ancak kitle ortalaması (μ\mu) bilinmeyen normal dağılıma sahip bir kitleden nn hacimli rastgele bir örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) almıştır.

Araştırmacı, θ=eμ\theta = e^\mu parametresini tahmin etmek amacıyla aşağıdaki iki tahmin ediciyi önermektedir:

θ^1=eXˉ\hat{\theta}_1 = e^{\bar{X}}
θ^2=eXˉ−12n\hat{\theta}_2 = e^{\bar{X} - \frac{1}{2n}}

Burada Xˉ\bar{X} örneklem ortalamasıdır.

Buna göre, bu iki tahmin edicinin yansızlık (unbiasedness) ve tutarlılık (consistency) özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Her iki tahmin edici de yansızdır ve tutarlıdır.
  2. B
    θ^1\hat{\theta}_1 yansız ve tutarlıdır; θ^2\hat{\theta}_2 ise yanlı ve tutarlı değildir.
  3. θ^1\hat{\theta}_1 yanlı fakat tutarlıdır; θ^2\hat{\theta}_2 ise yansız ve tutarlıdır.Cevap
  4. D
    Her iki tahmin edici de yanlıdır, ancak yalnızca θ^1\hat{\theta}_1 tutarlıdır.
  5. E
    θ^1\hat{\theta}_1 yanlı ve tutarlı değildir; θ^2\hat{\theta}_2 ise yansız fakat tutarlı değildir.

Cevap

θ^1\hat{\theta}_1'in beklenen değeri log-normal özellikten dolayı tam θ\theta olmadığından yanlıdır fakat olasılıkta yakınsadığı için tutarlıdır. θ^2\hat{\theta}_2 ise düzeltme katsayısıyla tam yansız hale getirilmiştir ve o da tutarlıdır.
Doğru seçenek θ^1\hat{\theta}_1'in yanlı fakat tutarlı, θ^2\hat{\theta}_2'nin ise hem yansız hem de tutarlı olduğunu ifade eden seçenektir. Xˉ\bar{X}'in normal dağılımından dolayı eXˉe^{\bar{X}}'in beklenen değeri Moment Çıkaran Fonksiyon ile hesaplandığında θe1/(2n)\theta e^{1/(2n)} bulunur, bu nedenle θ^1\hat{\theta}_1 yanlıdır. Ancak n→∞n \to \infty iken olasılıkta Xˉ→μ\bar{X} \to \mu yakınsaması Sürekli Dönüşüm Teoremi gereği eXˉ→eμe^{\bar{X}} \to e^\mu sonucunu verir ve tutarlıdır. θ^2\hat{\theta}_2'de ise e−1/(2n)e^{-1/(2n)} düzeltme faktörü beklenen değeri tam θ\theta'ya eşitler (yansızdır) ve limit durumunda bu faktör 11'e gittiğinden tutarlılığı etkilemez.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem ortalamasının dağılımını ve Moment Çıkaran Fonksiyonunu (MGF) belirleme
Xˉ∼N(μ,1/n)\bar{X} \sim N(\mu, 1/n) ve MXˉ(t)=E(etXˉ)=eμt+t2/(2n)M_{\bar{X}}(t) = E(e^{t\bar{X}}) = e^{\mu t + t^2/(2n)} elde edilir.
Üstel dönüşümlerin beklenen değerini doğru hesaplamak için MGF tanımına ve Xˉ\bar{X}'in dağılım özelliklerine ihtiyaç vardır.
2
İlk tahmin edicinin (θ^1\hat{\theta}_1) beklenen değerini hesaplayarak yansızlığını kontrol etme
E(θ^1)=E(eXˉ)=MXˉ(1)=eμ+1/(2n)=θe1/(2n)≠θE(\hat{\theta}_1) = E(e^{\bar{X}}) = M_{\bar{X}}(1) = e^{\mu + 1/(2n)} = \theta e^{1/(2n)} \neq \theta sonucuna ulaşılır. Dolayısıyla θ^1\hat{\theta}_1 yanlıdır.
Tahmin edicinin beklenen değeri tam olarak parametreye eşit olmadığında (burada e1/(2n)e^{1/(2n)} çarpanı kadar yan vardır), tahmin edici yanlı kabul edilir.
3
İkinci tahmin edicinin (θ^2\hat{\theta}_2) beklenen değerini hesaplama
E(θ^2)=E(eXˉ−1/(2n))=e−1/(2n)⋅E(eXˉ)=e−1/(2n)⋅θe1/(2n)=θE(\hat{\theta}_2) = E(e^{\bar{X} - 1/(2n)}) = e^{-1/(2n)} \cdot E(e^{\bar{X}}) = e^{-1/(2n)} \cdot \theta e^{1/(2n)} = \theta sonucuna ulaşılır. Dolayısıyla θ^2\hat{\theta}_2 yansızdır.
Üstteki sabit eksi çarpan, önceki adımdaki yan miktarını tam olarak dengeleyecek şekilde tasarlanmıştır.
4
Her iki tahmin edicinin olasılıkta yakınsamasını (tutarlılığını) test etme
n→∞n \to \infty iken olasılıkta Xˉ→pμ\bar{X} \xrightarrow{p} \mu olduğundan, Sürekli Dönüşüm Teoremi gereği eXˉ→peμ=θe^{\bar{X}} \xrightarrow{p} e^\mu = \theta olur (θ^1\hat{\theta}_1 tutarlı). Yine n→∞n \to \infty iken 1/(2n)→01/(2n) \to 0 olduğu için Xˉ−1/(2n)→pμ\bar{X} - 1/(2n) \xrightarrow{p} \mu ve dolayısıyla eXˉ−1/(2n)→pθe^{\bar{X} - 1/(2n)} \xrightarrow{p} \theta elde edilir (θ^2\hat{\theta}_2 tutarlı).
Tutarlılık için örneklem hacmi sonsuza giderken tahmin edicinin hedeflenen parametreye olasılıkta yakınsaması yeterlidir; yanlılık asimptotik olarak kaybolduğunda ve varyans sıfıra gittiğinde tutarlılık sağlanır.

Anahtar Kavram

Tutarlılık (Consistency) ve Beklenen Değer Dönüşümleri (Sürekli Dönüşüm Teoremi & Jensen Eşitsizliği)
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bu konudan daha fazla soru