Ortalaması \mu ve varyansı \sigma^2 (0 < \sigma^2 < \infty) olan bir kitleye ait X_1, X_2,… — KPSS İstatistik

Ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ ( $0 < \sigma^2 < \infty$ ) olan bir kitleye ait $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemi çekilmiştir. Kitle ortalaması $\mu$ 'yü tahmin etmek amacıyla aşağıdaki üç nokta tahmin edicisi tanımlanmıştır:

$T_1 = \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$
$T_2 = X_1$
$T_3 = \frac{1}{n+2} \sum_{i=1}^{n} X_i$

Bu tahmin edicilerin yansızlık (unbiasedness) ve tutarlılık (consistency) özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A
$T_2$ yansız bir tahmin edici olduğu için aynı zamanda tutarlıdır, $T_3$ ise yanlı olduğu için tutarsızdır.
B
$T_3$ 'ün varyansı örneklem çapı ( $n$ ) arttıkça küçülmediği için $T_3$ tutarsız bir tahmin edicidir.
$T_2$ yansız olmasına rağmen varyansı $n \to \infty$ için sıfıra gitmediğinden tutarsızdır; $T_3$ ise yanlı olmasına karşın tutarlı bir tahmin edicidir.Cevap
D
$T_1$ ve $T_2$ 'nin her ikisi de yansız tahmin ediciler oldukları için asimptotik olarak Hata Kareler Ortalamaları (MSE) sıfıra yakınsar.
E
$T_3$ 'ün Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesaplandığında, yan miktarının karesi $n \to \infty$ iken sıfıra yakınsamadığı için $T_3$ tutarsızdır.

Cevap

T_2

yansız olmasına rağmen varyansı

n \to \infty

için sıfıra gitmediğinden tutarsızdır;

T_3

ise yanlı olmasına karşın tutarlı bir tahmin edicidir.

Tutarlılık için yeter koşul, tahmin edicinin Hata Kareler Ortalamasının (MSE)

n

sonsuza giderken sıfıra yakınsamasıdır.

T_2

tahmin edicisi yansızdır (

Bias=0

) fakat varyansı

\sigma^2

olup

n

'den bağımsızdır. Bu nedenle MSE'si sıfıra gitmez ve tutarsızdır. Öte yandan

T_3

tahmin edicisi yanlıdır (yan miktarı

\frac{-2\mu}{n+2}

), ancak hem varyansı hem de yan miktarının karesi

n \to \infty

iken sıfıra yakınsadığı için MSE sıfıra gider. Bu durum onu asimptotik yansız ve tutarlı yapar. Böylece yansızlığın tutarlılık için gerekli veya yeterli bir koşul olmadığını açıkça görürüz.

Adım Adım Çözüm

Tahmin edicilerin beklenen değerlerini bularak yansızlık durumlarını incelemek.

E(T_1) = \mu

(yansız),

E(T_2) = E(X_1) = \mu

(yansız),

E(T_3) = \frac{n}{n+2}\mu

(yanlı).

Tutarlılık analizinde kullanılacak Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesabı için yan miktarlarını (Bias) belirlemek.

Tahmin edicilerin varyanslarını hesaplamak.

Var(T_1) = \frac{\sigma^2}{n}

Var(T_2) = \sigma^2

Var(T_3) = \frac{n\sigma^2}{(n+2)^2}

MSE formülündeki (

MSE = Varyans + Yan^2

) varyans bileşenini elde etmek.

n \to \infty

iken MSE limitlerini alarak tutarlılıklarını değerlendirmek.

\lim_{n \to \infty} MSE(T_1) = 0

(tutarlı),

\lim_{n \to \infty} MSE(T_2) = \sigma^2 \neq 0

(tutarsız),

\lim_{n \to \infty} MSE(T_3) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n\sigma^2 + 4\mu^2}{(n+2)^2} \right) = 0

(tutarlı).

Tutarlılık için yeter koşul olan MSE'nin asimptotik olarak sıfıra gitme prensibini uygulamak.

Anahtar Kavram

Yansızlık ve Tutarlılık Arasındaki İlişki

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru