Examkin

Soru

Zorluk: KolayTamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bir kamu kurumunun arşiv dairesinde dosyaların dijitalleşme süreleri (dakika), ortalaması μ=15\mu = 15 olan normal dağılıma uymaktadır. Arşivden rastgele seçilen nn adet dosyanın dijitalleşme süreleri X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n ile gözlemlendiğine göre, kitle varyansı σ2\sigma^2 için düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 1n∑i=1n(Xi−15)2\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - 15)^2Cevap
  2. B
    1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2
  3. C
    1n∑i=1n(Xi−Xˉ)2\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2
  4. D
    ∑i=1n(Xi−15)2\sum_{i=1}^n (X_i - 15)^2
  5. E
    Xˉ−15\bar{X} - 15

Cevap

Varyans parametresi için UMVUE, bilinen ortalamadan sapmaların karelerinin ortalaması olan 1n∑i=1n(Xi−15)2\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - 15)^2 ifadesidir.
Normal dağılımda kitle ortalaması μ\mu biliniyorsa, T=∑(Xi−μ)2T = \sum (X_i - \mu)^2 istatistiği σ2\sigma^2 için tam ve yeterlidir. Bu istatistiğin yansız bir düzenlemesi olan Tn\frac{T}{n} ifadesi, Lehmann-Scheffe teoremi gereğince benzersiz bir şekilde UMVUE'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Yeterli ve tam istatistiği belirleyin.
T=∑i=1n(Xi−15)2T = \sum_{i=1}^n (X_i - 15)^2
Normal dağılım üstel aileye aittir ve ortalama bilindiğinde ∑(Xi−μ)2\sum (X_i - \mu)^2 istatistiği σ2\sigma^2 için yeterli ve tamdır.
2
Yansızlık kontrolü yapın.
E[1nT]=σ2E[\frac{1}{n} T] = \sigma^2
(Xi−15)2σ2\frac{(X_i - 15)^2}{\sigma^2} ifadesi 1 serbestlik dereceli Ki-kare dağılımına uyar, dolayısıyla toplamın beklenen değeri nσ2n\sigma^2 olur.
3
Lehmann-Scheffe teoremini uygulayın.
UMVUE elde edildi.
Tam ve yeterli bir istatistiğin yansız herhangi bir fonksiyonu, o parametre için yegane (unique) UMVUE'dir.

Anahtar Kavram

Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli bir istatistiğin yansız fonksiyonu olan tahmin edici, düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicidir (UMVUE).
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Tamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bu konudan daha fazla soru